22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广东三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 邯郸模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣m的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　）
A．D点 B．C点 C．B点 D．A点
3．（2025春 崇川区校级月考）二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025春 阜宁县月考）抛物线y＝2x2﹣4的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（0，﹣4） C．（﹣1，﹣2） D．（2，0）
5．（2025春 蜀山区校级月考）已知，则y关于x的二次函数y＝mx2+n的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 迁安市期末）下列是二次函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 苍梧县期末）二次函数y＝2x2的图象是（　　）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
8．（2025 南召县开学）抛物线y＝﹣x2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
二．填空题（共5小题）
9．（2025 芜湖一模）写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　 　 ．
10．（2025春 海淀区校级月考）二次函数满足：当自变量x≥1时，函数值y随x的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式 　 　 ．（写出一个即可）
11．（2024秋 徐州期末）二次函数y＝﹣2x2的图象的开口向　 　 ．
12．（2024秋 南宁期末）抛物线y＝2x2的开口方向是 　 　 ．
13．（2024秋 包头期末）抛物线y＝x2+2的顶点坐标为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 崇川区校级月考）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
15．（2023 迁安市模拟）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广东三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象的性质即可判断．
【解答】解：∵由二次函数y＝x2+2可知，对称轴为直线x＝0，a＞0，c＞0，
∴A图象符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握其性质是解题的关键．
2．（2025 邯郸模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣m的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　）
A．D点 B．C点 C．B点 D．A点
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据解析式可得对称轴为y轴，进而结合选项，即可求解．
【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，
∴坐标原点可能是C点，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025春 崇川区校级月考）二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】B
【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），正确；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），不一致；
故选：B．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
4．（2025春 阜宁县月考）抛物线y＝2x2﹣4的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（0，﹣4） C．（﹣1，﹣2） D．（2，0）
【考点】二次函数的性质．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数y＝ax2+c（a≠0）的顶点为（0，c）求解即可．
【解答】解：二次函数的性质得抛物线y＝2x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4），
故选：B．
【点评】此题考查了y＝ax2+c（a≠0）的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2025春 蜀山区校级月考）已知，则y关于x的二次函数y＝mx2+n的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】B
【分析】根据确定m和n的符号，再根据二次函数图象与系数关系即可求解．
【解答】解：∵，
∴m（n+1）＞0，
又∵mn＜0，
∴n（n+1）＜0，
∵n+1＞n，
∴n+1＞0，n＜0，
∴﹣1＜n＜0，
∴m＞0，
∴y＝mx2+n的图象开口向上，与y轴的交点在（0，﹣1）与（0，0）之间，
观察四个选项，只有B项的图象符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．
6．（2024秋 迁安市期末）下列是二次函数图象的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象是抛物线解答即可．
【解答】解：根据二次函数的图象是抛物线判断如下：
A．该图象是反比例函数图象；
B．该图象是二次函数图象；
C．该图象不是函数图象；
D．该图象是一次函数图象．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，正确记忆相关知识点是解题关键．
7．（2024秋 苍梧县期末）二次函数y＝2x2的图象是（　　）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象特征进行判断即可求解．
【解答】解：二次函数的图象是抛物线．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键．
8．（2025 南召县开学）抛物线y＝﹣x2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】对于二次函数y＝ax2+c（a≠0），其顶点坐标为（0，c），据此可得答案．
【解答】解：抛物线顶点坐标是（0，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 芜湖一模）写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　y＝x2+2，答案不唯一．　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】对称轴是y轴，即直线x0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，答案不唯一．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标及对称轴的方法．通常有两种方法：
（1）公式法：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是直线x；
（2）配方法：将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
10．（2025春 海淀区校级月考）二次函数满足：当自变量x≥1时，函数值y随x的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式 　y＝x2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】y＝x2（答案不唯一）．
【分析】根据自变量x≥1时，函数值y随x的增大而增大，可以写出一个开口向上，对称轴在x＝1左侧的二次函数的解析式即可．
【解答】解：由题意，满足条件的二次函数的解析式可以为：y＝x2；
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键．
11．（2024秋 徐州期末）二次函数y＝﹣2x2的图象的开口向　下　 ．
【考点】二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，根据这一性质直接判断．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2，a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
故本题答案为：下．
【点评】本题考查了抛物线的开口方向的性质，抛物线的开口方向只与解析式的二次项系数符号有关．
12．（2024秋 南宁期末）抛物线y＝2x2的开口方向是 　向上　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】向上．
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质可以得到该抛物线的开口方向．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2，a＝2，
∴该抛物线的开口方向向上，
故答案为：向上．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2024秋 包头期末）抛物线y＝x2+2的顶点坐标为　（0，2）　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（0，2）．
【分析】由二次函数顶点式坐标公式，直接得到答案．
【解答】解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查抛物线顶点坐标，熟练掌握顶点坐标公式是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 崇川区校级月考）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先将点A的坐标分别代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数解析式联立得到一元二次方程，解方程求得B点的坐标；
（2）设直线与y轴的交点为C，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3），
则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a；代入yx+b，解得：b＝2；
将两方程联立得：x2x+2，解方程得：x＝2或，
则B点的坐标为（，）；
（2）设直线yx+2与y轴的交点为C，则点C（0，2），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC
2×（2）
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，抛物线与直线交点的求法，函数图象上点的坐标特征，（2）把△AOB分成两个三角形求面积更简便．
15．（2023 迁安市模拟）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2求出a，得到这个二次函数的表达式，再将x＝﹣2代入即可求出y的值；
（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向，把抛物线解析式化为顶点式，进而求出对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，
a 32＝3，解得a，
所以这个二次函数的表达式为yx2；
当x＝﹣2时，y（﹣2）2；
（2）∵yx2，a0，
∴图象开口向上；
对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，考查了求顶点坐标，对称轴，开口方向，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
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