人教B版必修四《第十章 复数》2025年单元测试卷（含解析）

人教B版必修四《第十章复数》 2025年单元测试卷
一、单选题
1.复数满足，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知复数的实部为正数，虚部为，，则( )
A. B. C. D.
4.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
5.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知复数其中是虚数单位的实部与虚部相等，则实数等于( )
A. B. C. D.
7.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
8.设复数满足，在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
9.已知，，为虚数单位，则“复数是纯虚数”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.若复数满足为虚数单位，则在复平面内的共轭复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11.若，则( )
A. B. C. D.
12.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知复数，均不为，则( )
A. B. C. D.
14.已知复数，则( )
A. B. 复数对应的平面向量的坐标为
C. D. 复数在复平面上对应的点在虚轴上
15.已知复数其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
16.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. 复数为纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C. D. 的最大值为
17.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限
三、填空题
18.已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形为复平面的坐标原点，则复数 ______．
19.复数，分别对应复平面内的点，，且，线段的中点对应的复数为是虚数单位，则 ______．
20.已知复数，为虚数单位，若为纯虚数，则实数 ______．
21.设是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，则复数和复数在复平面内对应的两点之间的距离是______．
四、解答题
22.设复数其中，，，其中．
设，若，求出实数的值；
若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求实数的取值范围．
23.已知复数为虚数单位．
求；
若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
24.已知复数，其中是虚数单位，．
若是纯虚数，求；
当时，求．
25.已知，，，是复平面内的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，，且．
求，；
若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】可对选项逐个检查，选项，，故A错，
选项，，故B错，
选项，，故C错，
故选：．
3.【答案】
【解析】复数的实部为正数，虚部为，
则，
，
则，解得，
故．
故选：．
4.【答案】
【解析】因为复数对应的点的坐标为，
所以，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】 ，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】 因为复数其中是虚数单位的实部与虚部相等，所以，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】复数满足，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】在复平面内对应的点为，，
，
，化简得．
故选：．
9.【答案】
【解析】 复数，
若是纯虚数，
且，
且，
即，，充分性成立，
当，时，满足，但不是纯虚数，必要性不成立，
复数是纯虚数是的充分不必要条件．
故选：．
10.【答案】
【解析】 因为，即，
所以，
所以，其所对应的点为，位于第一象限．
故选：．
11.【答案】
【解析】 ，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】，
复数的虚部是．
故选：．
13.【答案】
【解析】复数，均不为，
对于，不妨令，则，，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，由复数的运算性质，可得，故C正确；
对于，，
故，故D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】 因为，，，
则，，A正确；
复数对应的平面向量的坐标为，B错误；
，，C错误；
数在复平面上对应的点在虚轴上，D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】因为复数，所以，
则，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
16.【答案】
【解析】因为，所以复数为纯虚数，因此选项A正确：
因为，所以复数对应的点为，
而，，所以对应的点位于第一象限，因此选项B不正确；
，
所以选项C正确；
，
所以表示单位圆上的点到的距离，
因此的最大值为，所以选项D正确，
故选：．
17.【答案】
【解析】 ，
对于，复数的虚部是，故A错误
对于，，故B错误；
对于，复数的共轭复数是，故C正确；
对于，，在复平面内，对应点的坐标为，位于第四象限，故D正确，
故选CD．
18.【答案】
【解析】设，
则，
复数，，
则，，
故，即，解得，
故．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】以，为邻边的平行四边形为矩形，
，，
．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】，，
则，
为纯虚数，
则，解得．
故答案为：．
21.【答案】
【解析】，则，解得，
所以复数和复数在复平面内对应的两点之间的距离是
．
故答案为：．
22.【答案】；
．
【解析】，，，其中，，
则，，，
，
，解得；
，，
与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，
与互为共轭复数，即，
当时，则，，为零，不符合题意，
当时，则，，化简整理可得，，
，
，解得，
实数的取值范围为．
23.【答案】根据题意，可得．
所以；
由得，因为是关于的方程的一个根，
所以方程的另一个根为，
可得，即，，化简得，．
24.【答案】是纯虚数，
，解得．
，则；
当时，，
，
则．
25.【答案】由已知可得，，
则，，
所以，则，解得，，
所以，，
因为
在复平面内对应的点在第四象限，则，
解得，即实数的范围为
第1页，共10页