第二十二章　二次函数单元 检测试题（含解析）2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．二次函数的图像是一条抛物线，则下列说法正确的是（　）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标是(1，1)
C．抛物线与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而减小
2. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或5 C．5 D．﹣5
3.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（　　）
A．-3 B．3 C．±2 D．±3
4．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，
得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范
围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8. 根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是（　　）
0 0.5 1 1.5 2
-1 -0.5 1 3.5 7
A． B． C． D．
9．某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（ 1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点A（ 3，y1），点B（ ，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为　 　．
12．已知二次函数y＝3（x﹣3）（x+2），则该函数对称轴为直线 　 　．
13. 如果函数是二次函数，那么k的值一定是_____
14．关于的一元二次方程两根为，，则方程的两根为 ．
15．已知一条抛物线的开口大小与y=x2相同但方向相反，且顶点坐标是（2，3），则该抛物线的关系式是 ．
16．某商品原价为元，后连续两次以同一个百分率降价，若设此百分率为，那么两次降价后该商品的售价为 元（用含与的代数式表示）．
17．如图，二次函数y=2x2+m的图像经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C，D在x轴上，点A，B恰好在二次函数的图像上，则图中阴影部分的面积之和为 .
18．已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为ts，四边形APQC的面积为ymm2．
（1）y与t之间的函数关系式；
（2）求自变量t的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不
能，说明理由．
20．在平面直角坐标系中，设二次函数（）．
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；
（3）抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设垂直于墙的一边长为．
（1）当为何值时，菜园的面积为；
（2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
23．春节期间商家销售某种纪念品，进价为12元/只，售价为20元/只，为了促销，该商家决定凡是一次购买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元[例如：某人买20只这种纪念品，于是每只降价 元，就可以按19元/只的价格购买]，但是最低价为16元/只，
（1）求顾客一次至少购买多少只，才能以最低价购买？
（2）求出当一次购买 只时，总利润 （元）与购买量 （只）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客一次购买了46只，另一位顾客一次购买了50只，商家发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的数量越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？
24．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、点位于对称轴的左侧，设点的纵坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于的中点时，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，点在整个运动过程中，满足以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B C C C B B
二、填空题
11．【答案】-1
12．【答案】x＝
13. 【答案】 0
14．x1=-1，x2=1．
15．y=﹣x2+4x﹣1
16．
17．8
18．y=（x﹣1）2+3
三.解答题
19．【答案】（1）解：∵出发时间为t，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s，
∴PB＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴y＝ ×12×24﹣ ×（12﹣2t）×4t
＝4t2﹣24t+144．
（2）解：∵t＞0，12﹣2t＞0，
∴0＜t＜6．
（3）解：不能，
4t2﹣24t+144＝172，
解得：t1＝7，t2＝﹣1（不合题意，舍去）
因为0＜t＜6．所以t＝7不在范围内，
所以四边形APQC的面积不能等于172mm2．
【解析】【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
20．【答案】（1）解：
对称轴是：．
（2）解：∵，
根据二次函数图象的性质可得，
当时，取最大值4，
把代入二次函数可得，
，
解得：，（舍去），
∴顶点坐标为．
（3）解：∵，，对于，都有在，
∴，不关于对称，
∴，
∴
即，，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得对称轴为；
（2）利用二次函数的性质可得当时，取最大值4，再将x=3代入解析式可得，求出a的值，即可得到顶点坐标；
（3）根据题意可得，即，，再求出t的取值范围即可。
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. （1）10； （2）当 时，菜园的面积最大，最大面积是 ．
23．（1）解：设顾客一次至少购买m只，才能以最低价购买，
根据题意得：20 0.10（m 10）＝16，解得：m＝50．
答：顾客一次至少购买50只，才能以最低价购买；
（2）当10＜x＜50时，y＝[20 0.10（x 10） 12]x＝ 0.1x2＋9x，
当x≥50时，y＝（16 12）x＝4x，
即：y＝ ；
（3）为了使每次卖的数量越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价至少要提高到16.5元/只，理由是：
由（2）得，当10＜x＜50时，y＝ 0.1x2＋9x＝ 0.1（x 45）2＋202.5，
∴当10＜x≤45时，y随着x的增大而增大，x＝45时，y最大，
所以取x＝45，得最低售价为20 0.10×（45 10）＝16.5，
因此最低价至少要提高到16.5元/只．
24．（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：点，点，
直线解析式为，
当时，，
点，
点位于的中点，
点，
设直线解析式为，
，
，
直线解析式为，
联立方程组可得：，
解得：或舍去，
点；
（3）解：若为边，
以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，，
又，
点与点重合，
，，
，，
，
；
若为对角线，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
设点，则点，
，
，
，
舍去，，
；
中小学教育资源及组卷应用平台
综上所述：或．