第二十二章　二次函数单元 检测试题（含解析）2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．抛物线y=2（x+1）2-3的顶点坐标是（　　）
A．(1，3) B．(-1，3) C．(-1，-3) D．(-2，3)
2．将抛物线向右平移一个单位，所得的抛物线的解析式为（　　）．
A．+1 B．-1 C． D．
3．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2
4．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，
得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位
B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位
D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　）
A．1 B．9 C．16 D．24
9．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点(1，0)，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为，，则其中正确的选项是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④⑤
10．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11. 抛物线y=3(x-2)2+3的顶点坐标是　 　。
12.已知关于 的函数 图象与坐标轴有且只有 个交点，则 ．
13.抛物线 与 轴有 个交点．
14.若抛物线 经过点 ，则 ．
15．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ．
16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为　 　．
17．二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为　 　．
18．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积为　 　.
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
20．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+b+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒 个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22. 如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．红星公司销售一种成本为50元/件的产品，原月销售单价为60元/件．一个月可售出5万件，现公司打算提价销售，经市场调查表明，当月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．设月销售单价为x元/件，月销售量为y万件，月销售利润为w万元．
（1）求出y与x之间的函数关系式，不需要写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向贫困山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于80元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．
24． 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B C C C B B
二、填空题
11. 【答案】 (2，3)
12. ，，，
13.
14.
15．【答案】2
16．﹣1＜x＜3．
17．【答案】x=-1或x=3
18．【答案】70
三.解答题
19．（1）解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：
解得：
所以抛物线为：
（2）解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，
而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
20．（1）解：∵直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点
点A的坐标为(-3，0)，点B的坐标为(0，3)
将A(-3，0)、B(0，3)代入y=x2+bx+c，得：
，解得：
抛物线解析式为y=x2+4x+3
（2）解：当运动时间为t秒时，点M的坐标为(-t，0)，点N的坐标为(t-3，t，)
∴AM=3-t，AN= t
∵△AMN为直角三角形，∠MAN=45°
∴△AMN为等腰直角三角形(如图)
当∠ANM=90°时，有AM= AN，即3-t=2t
解得：t=1；
当∠AMN=90°时，有t-3=-t，
解得：t= ；
综上所述：当t为1秒或 秒时，△AMN为直角三角形
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. 【答案】解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得
，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+3．
联立 ，
解得： 或 ，
∴点B的坐标为（4，1）．
过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC= ．
同理：∠ACO=45°，AC=3 ，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴tan∠BAC= ；
（2）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，
则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，
∴ ．
∴AG=3PG=3x．
则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣3x，
整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．
②如图2②，
当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG= PG= x，则P（x，3﹣ x），
把P（x，3﹣ x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣ x，
整理得：x2﹣ x=0，解得：x1=0（舍去），x2= ，∴P（ ， ）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：点P的坐标为P（ ， ）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）．
23．（1）解：由题意得：y；
（2）解：设利润为w万元，由（1）及题意得：
，
∵，
∴当x=80时，；
答：当月销售单价是80元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元．
（3）解：设捐款后月销售利润为Z，由题意得：
=，
∴对称轴为直线x=80+，
∵该公司捐款当月的月销售单价不高于80元/件，且，即开口向下，
∴z随x的增大而增大，
∴当x=80时，捐款后月销售利润最大，
即，
解得：a=4．
24．（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
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