【精品解析】山东省潍坊市2025年中考数学真题

山东省潍坊市2025年中考数学真题
1．（2025·潍坊）实数4的相反数是（　　）
A．-4 B．4 C．2 D．
2．（2025·潍坊）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·潍坊）若一元二次方程有两个相等的实根，则的值为（　　）
A．-1 B．0 C． D．1
4．（2025·潍坊）计算的结果是（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．
5．（2025·潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·潍坊）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·潍坊）下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等
8．（2025·潍坊）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．为的中点
C．方程的解是 D．当时，
9．（2025·潍坊）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（　　）
A．边的长为6 B．在上时，
C．在上时， D．随的增大而增大
10．（2025·潍坊）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表．
．．． -1 0 1 2 ．．．
．．． c 2 2 ．．．
下列说法正确的是（　　）
A．若，则函数图象的开口向上
B．关于的方程的两个根是-1和4
C．点（a，c）在一次函数的图象上
D．代数式的最大值为
11．（2025·潍坊）计算：　 　．
12．（2025·潍坊）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为4，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为　 　．
13．（2025·潍坊）如图，在□中，点在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将△ADB'沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则　 　．（用含的式子表示）
14．（2025·潍坊）如图1，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值4；如图2，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；点是函数（为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为　 　．
15．（2025·潍坊）
（1）先化简，再求值：，其中满足．
（2）解方程组：
16．（2025·潍坊） 如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中的坐标分别为（0，1），．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）．
（1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标；
（2）将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形．
17．（2025·潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
（1）求型、型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
18．（2025·潍坊）如图，在△ABC中，点分别是边的中点，与相交于点，连接．证明：
（1）；
（2）△ADF≌△CFE．
19．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
20．（2025·潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
21．（2025·潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
（1）若点为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段长度的最大值．
（2）若该二次函数与轴的一交点为，且，求的取值范围．
22．（2025·潍坊）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．
【阅读观察】
材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比直称作黄金分割比，而的比值为与互为倒数．
材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段的黄金分割点）
方法1：如图3，①过点作； ②在直线上截取，连接； ③在上截取； ④在上截取点即为所求． 方法2：如图4， ①以为边作正方形； ②取中点，连接； ③以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； ④以为边在一侧作正方形交于点，可得．点即为所求．
【思考探究】
（1）说明图3中；
（2）用不同于（1）的方法，说明图4中．
（3）【迁移拓展】
如图5，作圆内接正五边形：
①作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接；
②作的平分线，交于点；
③过点作的垂线，交于点，连接；
④截取，连接．五边形即为所求．
若，根据以上作法，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数4的相反数是-4
故答案为：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得：
该物体可能是
故答案为：B
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实根
∴
解得：c=1
故答案为：D
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据分式的加法即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AB=a
在图甲中
∵∠A=∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=BC=AB=a
∴甲行走的路程=AC+BC=2a
在图乙中
AE+BE=AB=a
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°
∴△DAE和△FEB都是等边三角形
∴AD=DE=AE，DF=FB=EB
∴乙行走的路程=AD+DE+DF+FB=2(AE+BE)=2a
在图丙中
延长AG，BH交于点P
∵∠A=∠B=60°
∴AP=AB=a
∵GH∴AG+GH+HB∴丙行走的路程为=AG+GH+HB<2a
∴
故答案为：D
【分析】设AB=a，分别在三个图中，结合三角形判定定理及性质，三角三边关系求出三人行走的路线，再比较大小即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有8种等可能的结果，其中相邻两个方格所涂颜色不同的的结果有2种
∴相邻两个方格所涂颜色不同的概率是
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出相邻两个方格所涂颜色不同的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
7．【答案】A,D
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；真命题与假命题；逆命题；立方根的性质
【解析】【解答】解：A：逆命题为：若，则，正确，符合题意；
B：逆命题为：若，则|a|不一定大于|b|，错误不符合题意；
C：逆命题为：平行于三角形一边的线段不一定是三角形的中位线，错误，不符合题意；
D：逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，符合题意
故答案为：AD
【分析】根据题意求出各选项的逆命题，再判断真假即可求出答案.
8．【答案】B,D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
将代入，可得：k2=2
∴正比例函数为y=2x
将，代入，可得：
，解得：
一次函数为y=-2x+4
当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2
∴B(2，0)
∴，A选项错误
∵，B(2，0)，
∴点P为PA的中点，B选项正确
∵一次函数与正比例函数交于点
∴方程的解是，C选项错误
当x<1时，，D选项正确
故答案为：BD
【分析】根据待定系数法将点P坐标代入正比函数解析式，将点A，P坐标点代入一次函数解析式可得正比例函数为y=2x，一次函数为y=-2x+4，根据x轴上点的坐标特征可得B(2，0)，再根据题意作差可判断A选项，根据线段中点坐标公式可判断B选项，根据图象信息可判断C，D选项.
9．【答案】A,C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于点F
∵AB∥CD，∠BAD=90°
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCF为矩形
∴
∴BF=AF=3
在Rt△BFC中，，A选项正确
当点P在BC上时
∵PE⊥AB，∠B=60°，AB=6，BE=x
∴AE=AB-BE=6-x，
∴，B选项错误
当点P在CD上时
则
∴，C选项正确
当时，Y随着x的增大而减小，D选项错误
故答案为：AC
【分析】作CF⊥AB于点F，根据矩形判定定理可得四边形ADCF为矩形，则，BF=AF=3，根据余弦定义及特殊角的三角函数值可判断A；当点P在BC上时，根据边之间的关系可得AE，解直角三角形可得PE，再根据三角形面积可判断B；当点P在CD上时解直角三角形可得P'E'，再根据三角形面积可判断C，根据一次函数性质可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：将(1，2)，(2，2)代入
可得：
∴
∴二次函数的对称轴为直线
当时，2+2a≤0
∴a≤-1
∴抛物线的开口向下，A错误
∵二次函数的对称轴为直线
∴x=-1与x=4的函数值相同，均为m
∴关于x的方程的两个根是-1和4，B正确
∵c=2+2a
∴(a，c)为(a，2a+2)
∴点（a，c）在一次函数的图象上，C正确
∵
∴当时，代数式的最大值为，D正确
故答案为：BCD
【分析】根据图象将(1，2)，(2，2)代入可得，再根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵母线与高的夹角为，母线长为4，
∴圆锥的地面圆的半径
∴圆锥侧面展开图的面积
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得圆锥的地面圆的半径，再根据圆锥侧面展开图的特征，结合扇形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∵点在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在边上
∴
∵将△ADB'沿折叠，点的对应点恰好落在上
∴
∴
∵∠CB'E+∠AB'E+∠BAB'=180°
∴
∴
故答案为：
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据旋转性质可得，，根据角之间的关系可得∠BAB'，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
，当，有最小值4
，当，有最小值
，当，有最小值
.....
∴，当，有最小值
故答案为：
【分析】根据前两个图象的周长，总结规律即可求出答案.
15．【答案】（1）解：
因为，
所以
（2）解：
由①，得，③
将③代入②，得
解得，
将代入③，得
所以
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项，再根据平方差公式化简，再整体代值计算即可求出答案.
（2）根据代入消元法解方程组即可求出答案.
16．【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示，见解析；
对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是（2，-5）
（2）解：画出平移后的菱形，如图所示.
【知识点】作图﹣平移；平面直角坐标系的构成；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）根据点的坐标建立直角坐标系，再根据中心对称性质即可求出答案.
（2）根据平移的性质作图即可.
17．【答案】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为（x-3）万元，
根据题意，得，
解得， 3分
经检验，是原分式方程的根，并符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元.
（2）解：设配备型机器人台，则配备型机器人（10-y）台，
根据题意，得，
解得，
根据（1）可知，型，型机器人各买了10台，
所以的取值为1，2，3，
所以，方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为（x-3）万元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人（10-y）台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：因为点分别是边的中点，
所以是的中位线，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）证明：连接，
因为点分别是边的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得， 再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得， 则， 即可求出答案.
（2）连接，根据三角形中位线定理可得， 根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则， 再根据边之间关系可得， 根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
20．【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：①因为为二次函数的顶点，
所以
解得
所以，二次函数表达式为.
②因为正比例函数经过点，
所以，
所以，正比例函数表达式为，
设，则，
所以，
所以，当时，线段的长度取得最大值.
（2）解：因为二次函数经过点，
所以，即，
令，
解得，
因为二次函数与轴的一交点为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①将点A坐标代入解析式，结合二次函数对称轴公式即可求出答案.
②待定系数法将点A坐标代入正比例函数可得正比例函数表达式为， 设，则， 根据边之间的关系可得 ，结合二次函数性质即可求出答案.
（2）将点A坐标代入二次函数解析式可得， 根据x轴上点的坐标特征可得，则， 再根据不等式的性质即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设，则，
在中，根据勾股定理，得，
所以，
所以，
所以
（2）解：延长交于点，
在Rt中，根据勾股定理，得
所以，
因为，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
（3）证明：因为半径，所以，
过点作于点，
因为平分，
所以，
所以
所以，
所以，
在中，
设，则，
解得，
所以．
连接，在中，，
所以.
在Rt中，，
所以．
根据垂径定理，得，
所以，
因为，
所以，
所以.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长交于点，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形及正方形面积可得，即，整理变形即可求出答案.
（3）过点作于点，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，连接，根据勾股定理可得，，根据垂径定理，得，则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1山东省潍坊市2025年中考数学真题
1．（2025·潍坊）实数4的相反数是（　　）
A．-4 B．4 C．2 D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数4的相反数是-4
故答案为：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·潍坊）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得：
该物体可能是
故答案为：B
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·潍坊）若一元二次方程有两个相等的实根，则的值为（　　）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实根
∴
解得：c=1
故答案为：D
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
4．（2025·潍坊）计算的结果是（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据分式的加法即可求出答案.
5．（2025·潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AB=a
在图甲中
∵∠A=∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=BC=AB=a
∴甲行走的路程=AC+BC=2a
在图乙中
AE+BE=AB=a
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°
∴△DAE和△FEB都是等边三角形
∴AD=DE=AE，DF=FB=EB
∴乙行走的路程=AD+DE+DF+FB=2(AE+BE)=2a
在图丙中
延长AG，BH交于点P
∵∠A=∠B=60°
∴AP=AB=a
∵GH∴AG+GH+HB∴丙行走的路程为=AG+GH+HB<2a
∴
故答案为：D
【分析】设AB=a，分别在三个图中，结合三角形判定定理及性质，三角三边关系求出三人行走的路线，再比较大小即可求出答案.
6．（2025·潍坊）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有8种等可能的结果，其中相邻两个方格所涂颜色不同的的结果有2种
∴相邻两个方格所涂颜色不同的概率是
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出相邻两个方格所涂颜色不同的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
7．（2025·潍坊）下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等
【答案】A,D
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；真命题与假命题；逆命题；立方根的性质
【解析】【解答】解：A：逆命题为：若，则，正确，符合题意；
B：逆命题为：若，则|a|不一定大于|b|，错误不符合题意；
C：逆命题为：平行于三角形一边的线段不一定是三角形的中位线，错误，不符合题意；
D：逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，符合题意
故答案为：AD
【分析】根据题意求出各选项的逆命题，再判断真假即可求出答案.
8．（2025·潍坊）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．为的中点
C．方程的解是 D．当时，
【答案】B,D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
将代入，可得：k2=2
∴正比例函数为y=2x
将，代入，可得：
，解得：
一次函数为y=-2x+4
当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2
∴B(2，0)
∴，A选项错误
∵，B(2，0)，
∴点P为PA的中点，B选项正确
∵一次函数与正比例函数交于点
∴方程的解是，C选项错误
当x<1时，，D选项正确
故答案为：BD
【分析】根据待定系数法将点P坐标代入正比函数解析式，将点A，P坐标点代入一次函数解析式可得正比例函数为y=2x，一次函数为y=-2x+4，根据x轴上点的坐标特征可得B(2，0)，再根据题意作差可判断A选项，根据线段中点坐标公式可判断B选项，根据图象信息可判断C，D选项.
9．（2025·潍坊）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（　　）
A．边的长为6 B．在上时，
C．在上时， D．随的增大而增大
【答案】A,C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于点F
∵AB∥CD，∠BAD=90°
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCF为矩形
∴
∴BF=AF=3
在Rt△BFC中，，A选项正确
当点P在BC上时
∵PE⊥AB，∠B=60°，AB=6，BE=x
∴AE=AB-BE=6-x，
∴，B选项错误
当点P在CD上时
则
∴，C选项正确
当时，Y随着x的增大而减小，D选项错误
故答案为：AC
【分析】作CF⊥AB于点F，根据矩形判定定理可得四边形ADCF为矩形，则，BF=AF=3，根据余弦定义及特殊角的三角函数值可判断A；当点P在BC上时，根据边之间的关系可得AE，解直角三角形可得PE，再根据三角形面积可判断B；当点P在CD上时解直角三角形可得P'E'，再根据三角形面积可判断C，根据一次函数性质可判断D.
10．（2025·潍坊）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表．
．．． -1 0 1 2 ．．．
．．． c 2 2 ．．．
下列说法正确的是（　　）
A．若，则函数图象的开口向上
B．关于的方程的两个根是-1和4
C．点（a，c）在一次函数的图象上
D．代数式的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：将(1，2)，(2，2)代入
可得：
∴
∴二次函数的对称轴为直线
当时，2+2a≤0
∴a≤-1
∴抛物线的开口向下，A错误
∵二次函数的对称轴为直线
∴x=-1与x=4的函数值相同，均为m
∴关于x的方程的两个根是-1和4，B正确
∵c=2+2a
∴(a，c)为(a，2a+2)
∴点（a，c）在一次函数的图象上，C正确
∵
∴当时，代数式的最大值为，D正确
故答案为：BCD
【分析】根据图象将(1，2)，(2，2)代入可得，再根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．（2025·潍坊）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．（2025·潍坊）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为4，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵母线与高的夹角为，母线长为4，
∴圆锥的地面圆的半径
∴圆锥侧面展开图的面积
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得圆锥的地面圆的半径，再根据圆锥侧面展开图的特征，结合扇形面积即可求出答案.
13．（2025·潍坊）如图，在□中，点在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将△ADB'沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则　 　．（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∵点在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在边上
∴
∵将△ADB'沿折叠，点的对应点恰好落在上
∴
∴
∵∠CB'E+∠AB'E+∠BAB'=180°
∴
∴
故答案为：
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据旋转性质可得，，根据角之间的关系可得∠BAB'，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．（2025·潍坊）如图1，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值4；如图2，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；点是函数（为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
，当，有最小值4
，当，有最小值
，当，有最小值
.....
∴，当，有最小值
故答案为：
【分析】根据前两个图象的周长，总结规律即可求出答案.
15．（2025·潍坊）
（1）先化简，再求值：，其中满足．
（2）解方程组：
【答案】（1）解：
因为，
所以
（2）解：
由①，得，③
将③代入②，得
解得，
将代入③，得
所以
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项，再根据平方差公式化简，再整体代值计算即可求出答案.
（2）根据代入消元法解方程组即可求出答案.
16．（2025·潍坊） 如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中的坐标分别为（0，1），．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）．
（1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标；
（2）将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形．
【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示，见解析；
对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是（2，-5）
（2）解：画出平移后的菱形，如图所示.
【知识点】作图﹣平移；平面直角坐标系的构成；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）根据点的坐标建立直角坐标系，再根据中心对称性质即可求出答案.
（2）根据平移的性质作图即可.
17．（2025·潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
（1）求型、型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【答案】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为（x-3）万元，
根据题意，得，
解得， 3分
经检验，是原分式方程的根，并符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元.
（2）解：设配备型机器人台，则配备型机器人（10-y）台，
根据题意，得，
解得，
根据（1）可知，型，型机器人各买了10台，
所以的取值为1，2，3，
所以，方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为（x-3）万元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人（10-y）台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025·潍坊）如图，在△ABC中，点分别是边的中点，与相交于点，连接．证明：
（1）；
（2）△ADF≌△CFE．
【答案】（1）证明：因为点分别是边的中点，
所以是的中位线，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）证明：连接，
因为点分别是边的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得， 再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得， 则， 即可求出答案.
（2）连接，根据三角形中位线定理可得， 根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则， 再根据边之间关系可得， 根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
20．（2025·潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
21．（2025·潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
（1）若点为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段长度的最大值．
（2）若该二次函数与轴的一交点为，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：①因为为二次函数的顶点，
所以
解得
所以，二次函数表达式为.
②因为正比例函数经过点，
所以，
所以，正比例函数表达式为，
设，则，
所以，
所以，当时，线段的长度取得最大值.
（2）解：因为二次函数经过点，
所以，即，
令，
解得，
因为二次函数与轴的一交点为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①将点A坐标代入解析式，结合二次函数对称轴公式即可求出答案.
②待定系数法将点A坐标代入正比例函数可得正比例函数表达式为， 设，则， 根据边之间的关系可得 ，结合二次函数性质即可求出答案.
（2）将点A坐标代入二次函数解析式可得， 根据x轴上点的坐标特征可得，则， 再根据不等式的性质即可求出答案.
22．（2025·潍坊）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．
【阅读观察】
材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比直称作黄金分割比，而的比值为与互为倒数．
材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段的黄金分割点）
方法1：如图3，①过点作； ②在直线上截取，连接； ③在上截取； ④在上截取点即为所求． 方法2：如图4， ①以为边作正方形； ②取中点，连接； ③以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； ④以为边在一侧作正方形交于点，可得．点即为所求．
【思考探究】
（1）说明图3中；
（2）用不同于（1）的方法，说明图4中．
（3）【迁移拓展】
如图5，作圆内接正五边形：
①作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接；
②作的平分线，交于点；
③过点作的垂线，交于点，连接；
④截取，连接．五边形即为所求．
若，根据以上作法，证明：．
【答案】（1）解：设，则，
在中，根据勾股定理，得，
所以，
所以，
所以
（2）解：延长交于点，
在Rt中，根据勾股定理，得
所以，
因为，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
（3）证明：因为半径，所以，
过点作于点，
因为平分，
所以，
所以
所以，
所以，
在中，
设，则，
解得，
所以．
连接，在中，，
所以.
在Rt中，，
所以．
根据垂径定理，得，
所以，
因为，
所以，
所以.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长交于点，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形及正方形面积可得，即，整理变形即可求出答案.
（3）过点作于点，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，连接，根据勾股定理可得，，根据垂径定理，得，则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
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