云南省玉溪市玉溪一中2026届高三上学期开学考试数学试题（PDF版，含解析）

云南省玉溪市玉溪一中 2026 届高三上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x x2 5x 6 0 ，B 3， 2， 1,0,1,2,3 ，则 A B （ ）
A . 1,0,1,2,3 B . 0,1，2,3 C . 2， 1,0,1,2,3 D . 1,0,1,2
2.已知复数 z满足 z 1 i 2i（其中 i为虚数单位），则 z 2i （ ）
A 2 B 10. . C . 10 D . 2 2
2
3.已知 a 0，b 0 .若 a b 4，则（ ）
A . a2 b2有最小值 B . ab 有最小值
C 1 1 1. 有最大值 D . 有最大值
a b a b
4.已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S3 a5，若 a1,a2 ,am 成等比数列，则m （ ）
A .3 B . 4 C .5 D .6
f x xe
x
5.已知 是偶函数，则 a （ ）
eax 1
A . 2 B . 1 C .1 D . 2
x2 2
6.设椭圆C 21：2 y 1 a 1
x
，C2： y2 1的离心率为 e1,e2 .若 e2 3e1，则 a （ ）a 4
A 2 3. B . 2 C . 3 D . 6
3
7.在同一平面直角坐标系内，函数 y f x 及其导函数 y f x 的图象如图所示，已知两
图象有且仅有一个公共点，其坐标为 0,1 ，则（ ）
A .函数 y f x e x 的最大值为 1
B .函数 y f x e x 的最小值为 1
1
C y f x .函数 x 的最大值为 1e
D f x .函数 y x 的最小值为 1e
8.足球是由 12 个正五边形和 20 个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相
邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为 a， A,B,C 分别为正多边形的顶点，则
AB AC （ ）
A . 3 3 cos18 a2
B . 3 cos18 a2
C . 3 2 cos18 a2
D . 3 3 3cos18 a2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9.下列说法正确的是（ ）
A X ~ B n, 1 .若 ，且 E X 2，则 n 6
3
B .设有一个回归方程 y 3 5x，变量 x增加 1 个单位时， y平均减少 5个单位
C .线性相关系数 r越大，两个变量的线性相关越强；反之，线性相关性越弱
D .在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N 1, 2 0 ，则 P 1 0.5

10.已知向量 a 1,sin ，b cos , 2 ，则下列命题正确的是（ ）

A .存在 ，使得 a∥b
B tan 2

.当 时， a与b 垂直
2

C .对任意 ，都有 a b
D a

b 3 a

b 3 7.当 时， 在 方向上的投影的数量为
7
2
11.在棱长为 2 3的正方形 ABCD A1B1C1D1中，点 E,F分别是棱 BC,CC1的中点，下列
选项中正确的是（ ）
A .直线 EF 与 A 1B所成的角为 4
B .平面 AEF 截正方体 ABCD A 271B1C1D1所得的截面面积为 2
C .若点P满足BP cos2 BC sin2 BB1，其中 R，则三棱锥D A1C1P的体积为定值
D .以B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥B1 ABC表面相交的交线长为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
2cos x, 1 x 1
12.已知函数 f x 满足 f x 2 f x 2 ，且 f x 2 ，则方程
1 x 2 ,1 x 3
3 f x x的实数解的个数为 .
1 tan
13.已知 sin ， 5，则 sin .
2 tan
14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计算，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进
一”的进制，由数字 0,1,2,3,4 来表示数值，例如五进制 324 转化成十进制数为
3 52 2 51 4 89 .若由数字 1,2,3,4 组成的五位五进制数，要求 1,2,3,4 每个数字
都要出现，例如 12334，则不同的五位五进制数共有 个.若从由数字 2,3,4
（可重复）组成的三位五进制数中随机取 1个，则该数对应的十进制数能被 3 整除的概率
为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（13 分）已知函数 f x e x ax 1.
（1）当 a 2时，求 f x 在区间 0,1 上的值域；
（2）若存在 x0 1，当 x 0, x0 时， f x 0，求 a取值范围.
3
16.（15 分）已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，且cosC acosB bcosA c.
2
（1）求角C的大小；（2）点D在边 BC上，且CD 2，BD AD 1，求 ABC的周长.
3
17.（15 分）如图，四棱台 ABCD A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等
的等腰梯形，AB 2A1B1 4，E,F分别为DC,BC的中点，上下底面中心的连线O1O
垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为 45°.
（1）求证： BD1∥平面C1EF ；
（2）求点 A1到平面C1EF 的距离.
（3）边 BC 3 22上是否存在点M ，使得直线 A1M 与平面C1EF 所成的角的正弦值为 ，22
若存在，求出线段 BM 的长；若不存在，请说明理由.
18.（17 分）足球是一项大众喜爱的运动.2022 卡塔尔世界杯揭幕战将在 2022 年 11 月 21
日打响，决赛定于 12 月 18 日晚进行，全称为期 28 天.
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各 100 名观众进行调
查，得到 2 2列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名运动员进行传球训练，第 1 次由甲将球传出，每
次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一个，如此不停的传下去，且
假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第 1 次触球者，第 n次触球者是甲的概率为
Pn ，即 Pn 1.
①求 P3（直接写出结果即可）；
1
②证明：数列 Pn 为等比数列，
4
并判断第 19 次与第 20 次触球者是
甲的概率的大小.
4
x2 y2 6
19.（17 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 ： 1 2 2 a b 0 的离心率为 ，a b 3
直线 l与 相切，与圆O：x2 y2 3a2相交于 A,B两点，当 l垂直于 x轴时，AB 2 6 .
（1）求 的方程；
（2）对于给定的非空点集M ,N ，若M 中的每个点在 N 中都存在距离最小的点，且所
有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 d M ,N .
（ⅰ）若M ,N 分别为线段 AB与圆O上任意一点， P为圆O上一点，当 PAB 的面积
最大时，求 d M ,N ；
（ⅱ）若 d M ,N ， d N ,M 均存在，记两者中的较大者为H M ,N .已知H X ,Y ，
H Y ,Z ，H X ,Z 均存在，证明：H X ,Z H Y ,Z H X ,Y .
5
答案解析
一、选择题
1.B 解析：∵ A x x2 5x 6 0 x 1 x 6 ，∴ A B 0,1,2,3 .
z 2i 2i 1 i 2i 2i
2 2 2i
2.A 解析：由题意知 1 i，1 i 1 i 1 i 1 i2 2
∴ z 2i 1 i 2i 1 i 12 1 2 2 .
a b 2
3.A 解析：∵ a 0，b 0，则 a b 2 ab ab ，即 4，
2
∴ a2 b2 a b 2 2ab 16 2ab 16 2 4 8，
当且仅当 a b 2时，等号成立，取得最小值 8，故 A 正确.
4.C 解析：设 an 公差为 d ，则 S3 3a2 3 a1 d ，又 S3 a5，∴3 a1 d a1 4d，
即 d 2a ，若 a ,a ,a 成等比数列，则 a 0，则 a21 1 2 m 1 2 a1 a1 m 1 d ，解得m 5 .
xe x x e x x e x e a 1 x
5.D 解析：∵ f x 是偶函数，∴ f x f x ，
eax
0
1 e ax 1 eax 1
又∵ x不恒为 0，可得 e x e a 1 x 0，即 e x e a 1 x ，则 x a 1 x，∴a 2 .
4 1 a2 1 2 3
6.A 解析：由 e2 3e1，得 e22 3e21 ，∴ 3 ，而 a 1，∴ a .4 a2 3
7.C 解析：AB 选项，由题意可知，两个函数图象都在 x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为 y f x ，实现部分为 y f x ，
故 y f x e x f x e x f x f x e x 0恒成立，
故 y f x e x 在 R上单调递增，在 A,B 显然错误；

y f x e
x f x e x f x f x
对于 CD，
e x 2
，
e x
由图象可知 x ,0 时， y 0；当 x 0, 时， y 0，
f x
∴ y x 在 x ,0 上单调递增，在 x 0, 上单调递减，e
6
f f x x f 0 ∴函数 x 在 0处取得极大值，也是最大值，且 0 1，故 C正确，D 错误.e e
8.A 解析：连接 BC，由余弦定理可得 AB a2 a2 2a2 cos120 3a，
3 180
已知正五边形的每个内角为 108 ，
5
∴ BC 2 a2 a2 2a2 cos108 2a2 1 cos108
2a2 1 1 2sin 2 54 4a2 sin 2 54 ，
则 BC 2a sin 54 ，
ABC 120 180 120 180 108 126 ，
2 2
AC2 AB2 BC2 2AB BCcos126 3a2 4a2 sin2 54 2 3a 2asin2 54 cos 180 54
3a2 4a2 sin 2 54 4 3a2 sin 54 cos54 ，
2 2 2 2 2 2
AB AC AB AC cosC AB AC AB AC BC AB AC BC
2AB AC 2
3a2 3a2 4a2 sin 2 54 4 3a2 sin 54 cos54 4a2 sin 2 54

2
3a2 3a2 sin108 3a2 3a2 sin 90 18 3a2 3a2 cos18 a2 3 3cos18 .
二、选择题
1 n
9.ABD 解析：对于 A，由 X ~ B n, ， E X 2，则 2，∴ n 6，故 A正确；
3 3
对于 B，对于回归方程 y 3 5x，变量 x增加 1 个单位时，y 3 5 x 1 3 5x 5，
故 y平均减少 5 个单位，故 B 正确；
对于 C，线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关越强；反之，越弱，故 C错误；
对于 D，由于正太曲线关于 x 1对称，则 P 1 0.5，故 D 正确.

10.BD 解析：对于 A，若 a∥b，则 sin cos 2，即 sin 2 2 2 1，故不存

在 ，使得 a ∥b，故 A 错误；
对于 B，当 tan 2 时，则 sin 2 cos ，
2 2
7

则 a b cos 2 sin cos 2 2 cos cos cos 0，
2

则 a与b 垂直，故 B 正确；
a

对于 C， b ，则 1 sin 2 2 cos2 ，两边平方整理得：cos2 sin 2 1，
即 cos 2 1 ，此时 存在，故 C 错误；
2

对于 D，∵ a b 3，即 cos 2 sin 3，结合 sin 2 cos2 1，
2
6 3 3 21
解得 sin ， cos ，∴ b 1 cos2 2 ，3 3 3 3

a

b a b 3 3 7∴ 在 方向上的投影的数量为 ，故 D 正确.
b 21 7
3
11.BCD 解析：对于 A，连接BC1， A1C1，
∵点 E,F分别是棱 BC,CC1的中点，∴ EF∥BC1，
∴直线直线 EF 与 A1B所成的角为 A1BC1，
∵几何体 ABCD A1B1C1D1是正方体，∴ A1BC1为等边三角形，

∴ A1BC1 ，即直线 EF 与 A1B

所成的角为 ，故 A 错误；
3 3
对于 B，连接 AD1，D1F，∵ AB，C1D1平行且相等，故四边形 ABC1D1为平行四边形，
∴ AD1∥BC1，∴ AD1∥EF ，
∴平面 AEF 截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的截面为梯形 AEFD1，
2
2
∵ AE 15 ，梯形 AEFD 6 3 61的高为 15 ，
2 2
∴梯形 AEFD 11的面积为 2 6 6 3 6 27 ，故 B正确；2 2 2
对于 C，∵ BP cos2 BC sin 2 BB1 ，其中 R，
∴ BP cos2 BC 1 cos2 BB1 BB1 cos2 BC BB1 BB1 cos2 B1C，
8
∴ B 21P cos B1C，∴P点在线段 B1C上，VD A C V ，1 1P P A1C1D
又∵ B1C∥ A1D， B1C 平面 A1C1D， A1D 平面 A1C1D，
∴ P到平面 A1C1D，的距离为定值， A1C1D的面积为定值，
∴VP A C D 为定值，故 C 正确；1 1
对于 D，∵ B1BC， B1BA是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以 B1为圆心，圆
2
心角为 ，以 4 为半径的圆弧，其弧长为 4 ，
6 6 3
ABC 是直角三角形，球面与这个面的交线是以 B为圆心，圆心角为 ，半径为 2 的圆
2

弧，其弧长为 2 ，
2
AB1C 是直角三角形，球面与这个面的交线是以 B

1为圆心，圆心角为 ，半径为 4 的3
4
圆弧，其弧长为 4 ，
3 3
2 4
∴球面与三棱锥 B1 ABC 表面的交线长为 3 ，故 D 正确.3 3
三、填空题
12.5 解析：∵ f x 满足 f x 2 f x 2 ，
∴ f x 4 f x ，∴ f x 的周期为 4，

2cos
x, 1 x 1
由 f x 2 ，
1 x 2 ,1 x 3
则 f 8 f 0 2cos0 2，可得 f x 的图象如图，
方程3 f x x 1 的解，即为 f x 与 y x的交点横坐标，
3
1 8
且当 x 8时， y x 2，
3 3
由图可知两图象交点个数为 5，即方程3 f x x的实数解的个数为 5.
1
13. 解析： sin sin cos cos sin 1 ，
3 2
tan
由 5得： sin cos 5cos sin ，
tan
9
∴ sin cos 5 ， cos sin 1 ，
12 12
∴ sin sin cos cos sin 5 1 1 .
12 12 3
240 114. ； 解析：由数字 1,2,3,4 组成的五位五进制数，要求 1,2,3,4 每个数字都要出
3
现，则需要先从 1,2,3,4 中选取一个数字作为重复出现的数字，
再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，最后剩余两个位置排重复数字，
故所求不同的五位五进制数共有C14A35 240个，
数字 2,3,4 组成的三位五进制数总共有33 27个，
设这个三位五进制数从左到右的数字分别为 a,b,c，
转化成十进制数后此数为52a 5b c 25a 5b c 24a 3b a 2b c ，
此数能被 3 整除等价于 a 2b c能被 3 整除，
∵ a 2b c 8,16 ，∴能被 3 整除的只有 9,12,15 三种情况，
若 a 2b c 9，则 a,b,c 的取值有 2,2,3 、 3,2,2 两种，
若 a 2b c 12，则 a,b,c 的取值有 2,4,2 、 2,3,4 、 4,3,2 ， 3,3,3 、 4,2,4 五种.
若 a 2b c 15，则 a,b,c 的取值有 4,4,3 、 3,4,4 两种，
9 1
故能被 3整除的数共有 2 5 2 9个，∴所求概率为 .
27 3
四、解答题
15.解：（1）当 a 2时， f x e x 2x 1，则 f x e x 2，令 f x 0，得 x ln 2，
当 x ln 2时， f x 0；当 x ln 2时， f x 0，
∴ f x 在 0, ln 2 上递减，在 ln 2,1 上递增.
∵ f 0 0， f 1 e 3， f ln 2 1 2ln 2，且 e 3 0，
∴ f x 的值域是 1 2ln 2,0 .
（2）∵ f x e x a，
①若 a 1，当 x 0时， f x 0，∴ f x 在 0， 上递增，
10
∴ f x f 0 0，不符合题意.
②若 a 1，当 x ln a时， f x 0；当 x ln a时， f x 0，
∴ f x 在 0, ln a 上递减，在 ln a, 上递增，
要存在 x0 1，当 x 0, x0 ， f x 0，
则只需 f 1 e a 1 0，∴ a e 1.
cosC a cos B b cos A 316.解：（1）由 c及正弦定理得：
2
cosC sin A cos B sin B cos A 3 sin C，∴ cosC sin A B 3 sin C，
2 2
∴ sinC cosC 3 sinC 3 ，∵ sinC 0，∴ cosC ，C 0， ，∴C .
2 2 6
3 2
（2）在 ADC 中， cosC b 4 1 ，解得b 3，
2 2 b 2
3
在 ABC中， c2 b2 9 2b 3 12 9 3，∴ c 3 ，
2
∴周长 3 3 3 3 2 3 .
17.解：（1）证明：∵O1O 面 ABCD，以点O为坐标原点，
DA,OF ,OO1 的方向为 x, y, z轴的正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系.
∵O1O与侧棱所在直线所成的角为 45°，
则 B 2，2，0 ，D1 1， 1，2 ，C1 1，1，2 ，F 0，2，0 ，E 2，0，0 ，A1 1， 1，2 ，
∴ BD1 3， 3，2 ，CE1 1， 1，2 ， EF 2，2，0 ，
n AF x y 0
设平面C1EF n

x, y, z 的一个法向量为 ，则
n
，
C1E x y 2z 0
令 x 1 ，则 n 1, 1,0 ，
11
∵ BD 1 3， 3，2 ，∴ n BD1 0，∴ n BD1 ，
又∵ BD1 平面C1EF ，∴ BD1∥平面C1EF .
（2）由（1）知， A1E 3，1， 2 ，
A E 1 n 4
∴点 A1到平面C1EF 的距离为 d 2 2 .n 2
（3）假设边 BC上存在点M x,2,0 满足条件， x 2,2 ，则 A1M x 1,3, 2 ，
设直线 A1M 与平面C1EF 所成角为 ，
A1M

n x 4
sin cos AM ,n 3 22由题意可得 1 ，AM n 2 x2 2x 12 221
化简得 x2 35x 34 0，则 x 1或 x 34（舍去），
即存在点M 符合题意，此时BM 1.
18.解：（1）假设H 0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
200 60 80 20 40 2 2 33.3 10.828，
80 120 100 100
根据小概率值 0.001的独立性检验，我们推断H 0不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，次推断犯错误的概率不超过 0.001.
（2）①由题意得：第二次触球者为乙、丙、丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三
1 1
人中的一人，故传给甲的概率为 ，故 P3 .3 3
②第 n次触球者时甲的概率记为Pn ，
则当 n 2时，第 n 1次触球者是甲的概率为 Pn 1，第 n 1次触球者不是甲的概率为
1 Pn 1，则 P
1 1 1 1 1
n Pn 1 0 1 Pn 1 1 Pn 1 ，可得P

n Pn 1 ，3 3 4 3 4
P 1 3 1 3 1且 1 0

，∴
4 4
Pn 是以 为首项，公比为 的等比数列，
4 4 3
12
1 3 1 n 1P P 3 1
n 1
1
∴ n ，∴4 4 3 n
，
4 3 4
3 18P 1 1 1 P 3 1
19 1 1
则 19

，
4 3 4 4 20
,
4 3 4 4
∴第 19 次触球者是甲的概率大.
19.解：（1）∵直线 l与 相切，当 l垂直于 x轴时， AB 2 6，
∴直线 l方程为 x a，且 2 3a2 a2 2 6，解得 a 3，
6
又椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的半焦距 c 2，b a2 c2 1，
3
x2
∴ 的方程为 y2 1.
3
（2）（ⅰ）当 l的斜率存在时，设 l的方程为： y kx m，
y kx m

联立 x2 ，整理得： 3k 2 1 x2 6kmx 3m2 3 0，2
y 1 3
由直线 l与椭圆 2相切，得 6km 4 3k 2 1 3m2 3 0，整理得m2 3k 2 1，
m 2
于是圆心O 3k 1 2到直线 l的距离 d 3 1,3 ，
k 2 1 k 2 1 k 2 1
则 PAB 1 1的面积为 S 2 PAB d 3 AB d 3 9 d 3 d d 3 3 ，2 2
设 f d 3 d d 3 3 ,1 d 3，求导得 f d 2 d 3 2 3 2d ，
当1 d 3 时， f d 0，函数 f d 单调递增；
2
3
当 d 3时， f d 0，函数 f d 单调递减，
2
3
因此当 d 时， f d 27 3取得最大值，此时 S
2 PAB
max ，4
当 l的斜率不存在时，由（1）知， S 1 3 3 2 6 3 2 3 6，
2
2
9 3 2 115由 2 6 4 3 7 4 3 0，
4 16
13
27 3
得 3 2 3 3 6，则 d .
4 2
对于线段 AB上任意点 E，连接OE并延长与圆O交于点 F ，则 F 是圆上与 E最近的点，
3 3
当 E为线段 AB的中点时， EF 取得最大值 ，∴ d M ,N .
2 2
（ⅱ）∵H X ,Y ，H Y ,Z ，H X ,Z 均存在，
设点 X1, X 2 X ，Y1,Y2 Y ， Z1,Z2 Z，
且H X ,Z X1,Z1 ，H Y ,Z Y1Z2 ，H X ,Y X 2 ,Y2 ，
设Y2是集合Y 中到 X 2的最近点，根据对称性，不妨设H X ,Y d X ,Y X 2 ,Y2 ，
令点 X 2到集合 Z 的最近点为 Z3，点 Z3到集合Y 的最近点为Y3，
∵ X1Z1 是集合 X 中所有点到集合 Z 最近点距离的最大值，则 X1Z1 X 2Z3 ，
∵ Y1Z2 是集合Y 中所有点到集合 Z 最近点距离的最大值，则 Y1Z2 Y3Z3 ，
因此H X ,Z H Y ,Z X1Z1 Y1Z2 X 2Z3 Y3Z3 ，
在坐标平面中， X 2Z3 Y3Z3 X 2Y3 ，
又点Y2是集合Y 中到点 X 2的最近点，则 X 2Y3 X 2Y2 ，
∴H X ,Z H Y ,Z H X ,Y .
14