2.3确定圆的条件同步练习（含解析）苏科版数学九年级上册

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2.3确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列说法不正确的是（　　）
A．过不在同一直线上的三点能确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．相等的弧所对的弦相等
3．的外心在三角形的一边上，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
5．已知直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径，则这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为（　　）
A．：2π B．：4π C．：π D．2：π
6．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
9．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．
14．已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则 ．
15．点和圆的位置关系
设圆的半径为，点到圆心的距离为
（1）点在圆内 ；
（2）点在圆上 ；
（3）点在圆外 ．
16．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
17．如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于 ．
三、解答题
18．如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹）
19．如图，已知线段，，求作等腰三角形，使高为，腰长为．，尺规作图，保留作图痕迹）

20．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？

21．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹）
22．如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
23．如图，已知是的弦，点C是圆上一点，请用尺规作图法作．（不写作法，保留作图痕迹）
24．如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补．
作法：①作边的垂直平分线；
②作边的垂直平分线，直线，交于点；
③以为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点，连接．

(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证：即为所求作的三角形．
《2.3确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C A B B B A D
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案．
【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，
②当三点在一直线上时，如图2，
分别过或或作圆，共3个圆，即，
③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
分别过或或或作圆，共4个圆，即此时，
即不能是2，
故选：C．
2．B
【分析】根据圆的性质举反例即可．
【详解】解：∵直径也是弦，直径之间都是互相平分，但不一定垂直，
∴B选项不正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆的性质，能够熟练通过圆的性质判断正误是解题关键．
3．B
【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案．
【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；
当的外心在的外部时，则是钝角三角形；
当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
4．C
【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键．
【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图，
由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点，
∴点F是 的外心．
故选C．
5．A
【分析】根据直角三角形的外心在斜边的中点，若直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径，则这条直角边是斜边的一半．设该直角边是1，则斜边是2，另一条直角边是，所以直角三角形的面积是，外接圆的面积是π，则比值是．
【详解】解：设该直角边是1，则斜边是2，另一条直角边是，
∴直角三角形的面积是，
外接圆的半径为1，面积是，
∴这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外心性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据直角三角形的性质进行计算．
6．B
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解．
【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，
由图得点D的坐标为．
故该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可．
【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④．
【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题；
②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题；
③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题．
∴真命题只有1个，
故选：D．
11．B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
12．C
【分析】本题考查了确定圆的条件；
根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：C．
13．
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义．
【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，
点是的外心，
的外心的坐标为，
故答案为：．
14．3
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求斜边，即可求出，设内切圆半径长为r，由切线长定理得，所以，即可得到的值．
【详解】如图所示：
∵，，
∴，
∴外接圆半径为5，
∴，
设内切圆半径长为r，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，熟记直角三角形的外接圆圆心在斜边中点和切线长定理是解题的关键．
15．
【分析】根据点与圆的位置关系：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内解答即可．
【详解】解：由点与圆的位置关系可得：点在圆内；点在圆上；点在圆外．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的应用，掌握点和圆的三种位置关系中与的关系是解题关键．
16．不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵，，，在这条直线上，，
∴三个点，，不能确定一个圆．
故答案为：不能．
17．
【分析】点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据折叠的性质，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理求出，根据折叠的性质，可知，再根据线段之间的数量关系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．
【详解】解：如图所示，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，
根据折叠的性质，，
，，
是边的中点，，
，
，
，
．
由折叠可知：，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形的外心的定义，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
根据外心的定义可得外心P是三角形三边垂直平分线的交点，即作出的垂直平分线，交点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求：
19．见解析
【分析】若高为底边上的高：在直线上取点，作于，在上截取，然后以点为圆心，为半径画弧交于、两点，则满足条件．若高为腰上的高：先作，再作的垂中平分线得到的中点，接着以为直径作圆，再圆上截取，然后在的延长线上的反向延长线上）截取，则满足条件．
【详解】
解：如图，为所作．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．
【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，

由图可得：，，
∴，
故，
即所对的圆心角为．
【点睛】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键．
21．见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形外心的定义画出图形即可．
【详解】解：如图，点O即为所求．
22．见解析
【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：圆心O如图．
23．见解析
【分析】作线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径作圆．
【详解】解：如图：
⊙O即为所求．
【点睛】本题考查了作图，确定圆心是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出的垂直平分线，交于点，以为圆心，长为半径作，连接并延长，交于点，连接即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：∵是的直径，
∴是直角，
∴是直角三角形，
∵是的内接四边形，
∴，
∴即为所求作三角形．
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