2.5直线与圆的位置关系同步练习（含解析）苏科版数学九年级上册

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2.5直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ）
A． B． C．点O到直线的距离是5 D．
4．如图，若是的内切圆，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
5．已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
6．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线 的距离 ，则直线与的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切
7．圆O内切于三角形，在斜边上的切点为D，，，则内切圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，矩形OABC，，点M为 的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（　　）
A．（，6 ） B．（6，） C．（ 1，1 ） D．（，6）
9．下列说法中，正确的是（　　）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（ ）
A．3 B．3.5 C． D．
11．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
12．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　）
A．15 B．9 C．7.5 D．7
二、填空题
13．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是
14．如图，与四边形各边都相切，切点分别为，，，，四边形的周长为，则 ．
15．如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则点I的坐标是 ．
17．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线．
三、解答题
18．如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系．
19．如图，与相切于点B，为的弦，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
20．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”的连接点在上，当点在上转动时，带动点分别在射线上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图②．
请仅就图②的情形求证：．

21．如图，已知中， ，以为直径的⊙O交 于点D，过D作 ，垂足为E，连结， ， ．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若以、的长为方程两个实数根，求b的值；
(3)求图中以线段、和弧所围成图形的面积．
22．如图所示，在中，，，，以C为圆心，r为半径的圆与直线有何位置关系？为什么？
(1)．
(2)．
(3)．
23．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
24．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
《2.5直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C A D A D D B
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键．
【详解】解：圆半径，圆心到直线的距离，
．
当时，直线与圆相交，
这条直线与圆相交，结合图形可知是．
故选：B．
2．B
【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵是的内心，
∴，
设，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
3．A
【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可．
【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意；
B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意；
C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意；
D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
4．C
【分析】此题主要考查了三角形的内切圆的性质和三角形内角和定理．由三角形内切圆定义可知、是、的角平分线，所以可得到关系式，得出，最后利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵点O是的内心，
∴，
∴，
∴．
故选：C.
5．A
【分析】根据的面积，求出半径，即可求解．
【详解】解：设的半径为，
由的面积为可得，解得
∵，
∴直线与相交，
故选：A
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法，圆的半径为，直线到圆心的距离为，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
6．D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】解：，
，，
的半径为一元二次方程的根，
或，
，
当时，，
直线与的位置关系是相切，
当时，，
直线与的位置关系是相交，
故选：D．
7．A
【分析】先证得四边形为正方形；再设的半径为r，由勾股定理得，解此方程即可求得答案．
【详解】解：由题意得，是直角三角形，且，设内切圆与三边分别切于点D，E，F，连接，，如图，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形；
设的半径为r，
∵四边形为正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），
∴的半径为2；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
8．D
【分析】过点M作，垂足分别为D、E、F，利用内心定义得到，证明四边形 是正方形，设，则，，利用切线长定理求出，得到，设将矩形绕点 C 顺时针旋转90°后，点M的对应点为点，如图，过点作轴于N，证得（AAS），得到，，从而得到点的坐标．
【详解】解：如图，在矩形OABC中，，
∴，
∴，
过点M作，垂足分别为D、E、F，∴，
∴四边形是矩形，
∵点 M 为的内心，
∴，
∴四边形BDME是正方形，
设设，则，，
∴，
解得，
∴，
设将矩形绕点 C 顺时针旋转90°后，点M的对应点为点，如图，
过点作轴于N，
∴，
∴，
又∵，，
∴（AAS），
∴，，
∴点的坐标为（，6），
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形内心定义，切线长定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，熟记三角形内心定理及切线长定理从而求出点M的坐标是解题的关键．
9．D
【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．B
【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
11．C
【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
又∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
同理，∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
．
∴．
又∵，
∴．
∵的周长为，即，
∴，可得，
解得．
故选：C
12．B
【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可．
【详解】解：∵的周长为21，，
∴，
设与的三边的切点为，切于，
，
，
，
故选：B．
13．或
【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．
【详解】解：作于，如图所示：
∵，，
∴，
∵的面积，
∴，
即圆心到的距离，
∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；
∵，
∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或．
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据四边形的周长可得，然后根据切线长定理可得，，，，从而利用等式的性质可得，进行计算即可解答．
【详解】解：四边形的周长为，
，
与四边形各边都相切，切点分别为，，，，
，，，，
，
，
故答案为：18．
15．/厘米
【分析】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解．
【详解】解：、、分别切于、、，
，，；
∵的周长为，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形内心性质，解题的关键在于熟练掌握三角形内心性质．
过点作、、，利用勾股定理求出，结合三角形内心性质设，再利用等面积法求出，即可得出点I的坐标．
【详解】解：过点作、、，如图所示：
点，点，
，
，
，
I是的内心，
，
设，
则，
整理得，
解得，
点I的坐标是．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴当时，，
∴当时，是切线，
故答案为：．
18．当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点
【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可．
【详解】解：作于点N，如图，
∵，
∴，
∴当时，与射线OA只有一个公共点；
当时，与射线OA没有公共点；
当时，与射线OA有两个公共点；
当时，与射线OA只有一个公共点．
∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点．
19．(1)见解析
(2)PB=
【分析】（1）在直角三角形中，，因为点B为圆的切点，所以，根据和为对顶角，即可得出，即可证明结论；
（2）过点O作于点H，在直角三角形中，根据勾股定理即可得出的长度，随即可得的长度．同理在中，即可求得的长度．根据的面积结算公式，即可得出的长度，从而得出的长度，最后根据即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AP=AB．
（2）解：过点O作于点H
在中，
∵，
∴
∵，
∴．
在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、垂径定理、切线的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．
20．见解析
【分析】连接，设直线与交于点，根据切线性质得出，即，根据，得出，证明，根据，证明．
【详解】证明：如图，连接，设直线与交于点，

与相切于点，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，余角的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】连接，，可证得是三角形中位线，进一步得出结论；
(2)在正三角形中求得，在直角三角形中求得，根据根与系数的关系求得b的值；
(3)根据圆周角定理求出，求出的面积，由（2）求出的长，从而求出的面积，再求出扇形的面积，进而求得结果．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是直径，
∴
又∵，
∴，
∴
∴，
∴是⊙O的切线；
（2）解：在中，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：如图，过D作 ，
∵，
∴，
∴
∴
∵、 分别是弧所对的圆周角与圆心角，
∴，
∴
由（2）得 ，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定圆周角定理，扇形面积公式，30°直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有知识．
22．(1)相离，见解析
(2)相切，见解析
(3)相交，见解析
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，勾股定理等知识点，能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键，
（1）先求出直角三角形斜边上的高即圆心到直线的距离，判断出，即可得到直线与圆相离；
（2）判断出，即可得到直线于圆相切；
（3）判断出，即可得到直线与圆相交．
【详解】（1）解：，
设边高为，
则，
，
当，，则与相离；
（2）解：当，，则与相切；
（3）解：当，，则与相交．
23．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等，得出，根据等边对等角，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）根据勾股定理，得出，进而得出，设圆的半径为，则，，再根据勾股定理，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵交的延长线于点，
∴点，在圆上，
∴，且是圆的半径，
∴，
∵，
∴，
∵中，，
∴在中，，
∴，即，且点在圆上，
∴是的切线．
（2）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，设圆的半径为，
∴，且，
∴，即，解得，，
故的半径为．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合运用，涉及等边对等角、对顶角相等、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】（1）解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：∵点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图：连接线，交于H，
∵，，
于点H，
设为x，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，
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