2.7弧长及扇形的面积同步练习（含解析）苏科版数学九年级上册

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2.7弧长及扇形的面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，连接．已知，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．一个扇形的半径是6，扇形的圆心角，那么这个扇形面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
11．如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为（ ）
A．2 B． C． D．
12．圆心角为，半径为的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；…；按此规律，则的值为 ．

14．一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为 ．
15．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品A被传送，则 ．

16．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为 度．

17．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于 ．
三、解答题
18．如图，以的边为直径作，交于点，交于点，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若是的中点，的半径为2，连接，求阴影部分的面积（结果保留）．
19．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留）
20．如图，两个半径均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心是的中点，半径交于点，半径交于点，求图中阴影部分的面积．

21．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E．
(1)若点E是弧中点，求的长．
(2)若，求弧的长．
22．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．

(1)求弧的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
23．平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”．
【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”．
【判断】
(1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”；
【操作】
(2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；

【探究】
(3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；

【归纳】
(4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______．
24．如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
《2.7弧长及扇形的面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D A A A A C B
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握弧长公式，扇形面积公式是解题的关键．
设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，根据圆锥侧面积与底面积的关系建立方程求解即可；
【详解】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，
根据圆锥侧面积与底面积的关系有，其中，
，
，
，
故选：D
2．C
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积．
【详解】解：，，
，
．
故选：C．
3．B
【分析】根据题意，阴影部分的面积是长方形的面积减去两个圆的面积，由此即可求解．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，，
以点为圆心，为半径画弧，
∴，，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，求不规则图形的面积，掌握矩形的性质，圆面积的计算方法，图形结合求不规则图形的面积的方法是解题的关键．
4．D
【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，再根据，从而可得四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质可求出，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积扇形的面积）进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
解得：，
阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积+扇形EOG的面积）
，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，扇形面积公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数），由此即可求解．
【详解】解：，
故选A ．
6．A
【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
根据直接求解即可．
【详解】解：如图，．
故选：A．
7．A
【分析】先利用圆周角定理求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解；∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积，熟知扇形面积公式和圆周角定理是解题的关键．
8．A
【分析】根据含的直角三角形的性质可求得，进而根据弧长公式即可计算．
【详解】解：在，，
∴，
∴，
∴将绕点B逆时针旋转到的位置，旋转角为
∵，
∴，
根据弧长公式可得，点A运动的路径长为，
故选A．
【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握弧长公式．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键．
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可．
【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，
，
，
，．
故选：C．
10．B
【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得，
故选：B
【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键．
11．C
【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为，
∴点经过的路径长为，
故选C．
12．B
【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故选：．
13．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】由题意、、、、都是等腰直角三角形，
∴，， ，，
∴， ， ， ，；
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出规律．
14．9
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：个扇形的圆心角为，弧长为，设此扇形的半径为r，
则，
解得，，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式，准确计算．
15．120
【分析】根据物品A被传送的距离等于转动了的弧长，代入弧长公式计算即可．
【详解】解：∵物品A被传送的距离等于转动了的弧长，
∴，
解得，
故答案为：120．
【点睛】本题考查弧长公式，理解传送距离和弧长之间的关系是解题的关键．
16．
【分析】由题意得：，，设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，则，进行计算即可得．
【详解】解：如图，

由题意得：，，
设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，
则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．
17．
【分析】连接，则，根据折叠可知，，从而得到是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿着过点B的直线折叠，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长；
故答案为：．
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接、，如图所示，利用同弦所对的圆心角相等和圆周解是圆心角的一半等量代换得出，从而得出三角形是等腰三角形；
（2）连接，根据圆周角定理得到，再由“三线合一”知为中点，，从而确定是的中位线，利用中位线的性质，得到，，
，且是等边三角形，根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接、，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：连接，如图所示：
是直径，
，即，
由（1）知是等腰三角形，根据“三线合一”知为中点，
是的中点，
是的中位线，
，，
，且是等边三角形；
，，
的半径为2，
根据扇形面积公式得．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及等弦对等角、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、不规则图形面积及扇形的面积公式等知识，熟练掌握圆的性质，熟记相关几何图形的判定与性质是解决问题的关键．
19．
【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．．
【详解】解：如图，连接，
由图可知，是的直径．
∵，
∴，
∴，
∴
．
20．
【分析】过点作,作,垂足分别为 ,连接,则可得到四边形是正方形，再证的，即可得到图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积的和，解题即可．
【详解】两扇形的面积和为
如图，过点作,作,垂足分别为 ,连接,

则四边形是矩形.
∵点是的中点,
∴平分,
∴,
∴矩形是正方形.
∵,
∴ .
在与中.
∴，
∴中间空白区域面积相当于对角线是 的正方形面积，
∴空白区域的面积为，
∴ 图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积的和.
【点睛】本题考查扇形的面积求法，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，得出四边形的面积是解题的关键.
21．(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质：
（1）连接，，由圆周角定理可得，再根据勾股定理计算即可；
（2）由等腰三角形的性质推出，得到，由平行线的性质推出，进而可得，再根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，
为直径，点E是弧中点，
，
，
；
（2）解：，
，
|，
，
，
，
，
，
，
，
弧的长．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型．
（1）利用弧长公式求解即可，
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
，
，
，
贴纸部分的面积．
23．(1)不是；不是
(2)图形见详解，
(3)，
(4)
【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论；
（2）利用定义即可画出正方形的“伴侣形”， 连接、和，根据定义有为等边三角形，得，求得，结合弧长公式即可求得答案；
（3）当，连接、、和，由题意得，则和为等边三角形，得，由和的度数，即可求得的长度，则有“远伴侣形”的周长；当时，“远伴侣形”的周长同理即可求得；
（4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周长．
【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当时，“伴侣形”为一个点，当时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”；
不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”；
（2）如图，

设“伴侣形”的两个顶点为E、F，连接、和，如图，

由题意得，则为等边三角形，得，
∴，同理，
∴，
则，
故正方形的“伴侣形”的周长，
（3）

连接、、和，如图，
由题意得，则和为等边三角形，得，
∵，
∴
则，
故当时，其“远伴侣形”的周长为，
当时，“远伴侣形”的周长为，
（4）．
【点睛】本题主要考查新定义下的正多边形中心点到顶点的距离、正多边形一边对应新定义下所围成的角度和弧长公式，解题的关键是要理解并画出“伴侣形”和“远伴侣形”，再结合角度和弧长公式．
24．(1)直线与相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
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