【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.1 3.1.3 第1课时 函数的奇偶性 课件--2026版高中数学人教B版必修第一册

(共64张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第三章
函数
3.1　函数的概念与性质
3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
学习任务 1．结合具体函数，理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象)
2．了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系．(直观想象)
3．掌握判断和证明函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题　(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点1　奇函数、偶函数的定义
奇偶性 偶函数 奇函数
前提 设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D 条件 f (－x)＝f (x) f (－x)＝－f (x)
图象特点 关于____对称 关于____对称
y轴
原点
提醒　(1)定义域关于原点对称时，函数f (x)＝0既是奇函数又是偶函数．
(2)若奇函数在原点有定义，则f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
思考1．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示]　定义域关于原点对称．
知识点2　奇函数、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称．
(2)如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是__函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是__函数．
提醒　由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．
原点
y轴
奇
偶
思考2．若f (x)为奇函数，且点(x，f (x))在其图象上，则哪一个点一定在其图象上？若f (x)为偶函数呢？
[提示]　若f (x)是奇函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，
f (－x))，即点(－x，－f (x))也在其图象上．若f (x)是偶函数，点(x，
f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，f (x))也在其图象上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇函数的图象一定过原点． (　　)
(2)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数． (　　)
(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f (x)＋f (－x)＝0，则函数f (x)是奇函数． (　　)
×
√
×
[提示]　(1)不一定，如函数f (x)＝．
(2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(3)若f (x)＋f (－x)＝0，则f (－x)＝－f (x)．
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
√
A　　　　B　　　　C　　　　D
B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图象都不具有奇偶性．]
3．若f (x)是定义在R上的奇函数，f (3)＝2，则f (－3)＝________，
f (0)＝________．
－2　0　[由奇函数定义及性质可知，
f (－3)＝－f (3)＝－2，f (0)＝0．]
－2
0
关键能力·合作探究释疑难
类型1　函数奇偶性的判断
【例1】　【链接教材P111例1】
(1)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
√
√
(2)函数f (x)＝－2x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．坐标原点对称
C．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称
(3)判断下列函数的奇偶性：
①f (x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
②f (x)＝；
③f (x)＝
(1)B　(2)B　[(1)f (x)＝的定义域为R，关于原点对称．
又因为f (－x)＝＝＝f (x)，即f (－x)＝f (x)，
所以f (x)为偶函数．
(2)函数的定义域A＝{x|x≠0}，
所以x∈A时，－x∈A，且f (－x)＝－＋2x＝－＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数，故图象关于坐标原点对称．]
(3)[解]　①因为x∈R，f (－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．
②函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
③(法一)作出函数图象如图，
关于原点对称，所以函数是奇函数．
(法二)当x>0时，f (x)＝1－x2，
此时－x<0，
所以f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f (－x)＝－f (x)；
当x<0时，f (x)＝x2－1，此时－x>0，f (－x)＝＝1－x2，
所以f (－x)＝－f (x)；
当x＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0．
综上，对x∈R，总有f (－x)＝－f (x)，所以f (x)为R上的奇函数．
【教材原题·P111例1】
例1　判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f (x)＝x＋x3＋x5；
(2)f (x)＝x2＋1；
(3)f (x)＝x＋1；
(4)f (x)＝x2，x∈[－1，3]．
[解]　(1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
又因为
f (－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f (x)，
所以函数f (x)＝x＋x3＋x5是奇函数．
(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
又因为f (－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f (x)，
所以函数f (x)＝x2＋1是偶函数．
(3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R．
又因为f (－1)＝0，f (1)＝2，所以
f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)，
因此函数f (x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f (x)是非奇非偶函数)．
(4)因为函数的定义域为[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3 [－1，3]，所以函数f (x)＝x2，x∈[－1，3]是非奇非偶函数．
发现规律　判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
原点
f (x)
f (－x)
(2)图象法：
原点
y轴
[跟进训练]
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f (x)＝x3；②f (x)＝|x|＋1；③f (x)＝；
④f (x)＝x＋；⑤f (x)＝x2，x∈[－1，2]．
②③
②③　[对于①，x∈R，f (－x)＝－x3＝－f (x)，则为奇函数；
对于②，x∈R，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，
关于原点对称，f (－x)＝＝＝f (x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，
关于原点对称，f (－x)＝－x－＝－f (x)，
则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
类型2　奇、偶函数图象的应用
【例2】　已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，
f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f (x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)由题意作出函数图象如图．
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，
(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为
(－2，0)∪(0，2)．
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
[解]　(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)．
(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．
反思领悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题．
[跟进训练]
2．如图是函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据．
[解]　因为f (x)＝，
所以f (x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f (－x)＝＝＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，
所以f (x)的图象关于y轴对称，
其图象如图所示．
类型3　利用奇偶性求值
【例3】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．
(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．
　
0
7
(1)　0　(2)7　　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝．
又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f (－3)＝－3，所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2，
所以f (3)＝5＋2＝7．]
反思领悟　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数即可求解．
[跟进训练]
3．(1)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，求实数a的值．
(2)已知定义域为R的函数g(x)＝f (3x)＋x2为奇函数，且f (3)＝3，求
f (－3)．
[解]　(1)(法一)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．
(法二)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．
(法三)根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4．
(2)∵函数g(x)＝f (3x)＋x2是定义域为R的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(－1)＝－g(1)＝－(f (3)＋1)＝－4，
∴g(－1)＝f (－3)＋1＝－4，
∴f (－3)＝－5．
学习效果·课堂评估夯基础
1．(教材P115练习AT2(4)改编)函数f (x)＝，x∈(0，1)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
√
C　[f (x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．]
2．函数f (x)＝的图象关于(　　)
A．x轴对称　　　 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
√
B　[由得f (x)的定义域为[－，0)∪(0，]，关于原点对称．
又f (－x)＝＝＝－＝－f (x)，
∴f (x)是奇函数，
∴f (x)＝的图象关于原点对称．]
3．已知 f (x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f (－5)＝17，则f (5)＝______．
－13　[由题意，设g(x)＝f (x)－2＝ax7－bx5＋cx3，
又g(－x)＝－g(x)，
所以函数g(x)是奇函数，
可得g(－5)＋g(5)＝0，
即f (－5)＋f (5)＝4，
又f (－5)＝17，则f (5)＝－13．]
－13
4．已知函数f (x)＝是奇函数，则m＝______．
2　[x<0时，－x>0，f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
因为f (x)为奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)＝－x2－2x，
所以f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
即m＝2．]
2
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你对函数奇偶性的定义是怎样理解的？
[提示]　(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．
(2)奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称．
2．根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图象有什么特点？
[提示]　偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
3．判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？
[提示]　(1)定义法．(2)图象法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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2
4
6
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课时分层作业(二十二)　函数的奇偶性
一、选择题
1．已知f (x)是奇函数，且f (a)＝－2，则f (－a)＝(　　)
A．－2 B．2　　　
C．±2 D．0
√
B　[f (－a)＝－f (a)＝2．]
题号
2
1
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√
14
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2．下面为偶函数的是(　　)
A．f (x)＝x2(x≥0)
B．f (x)＝(x－1)
C．f (x)＝0
D．f (x)＝|x|(x≤0)
C　[对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；
又选项B中f (－1)＝0，而f (1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数；
对于选项C，无论x取何值都满足f (－x)＝f (x)＝0．]
题号
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√
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3．设f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则
f (a＋b)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－2
B　[因为f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，
所以解得
所以f (x)＝－x3＋x，a＋b＝1，
则f (a＋b)＝f (1)＝－1＋1＝0．故选B．]
题号
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4．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f (x)＝－|x| B．f (x)＝2－x
C．f (x)＝ D．f (x)＝－x2＋8
√
C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C．]
题号
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5．已知f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
√
C　[∵f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f (－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．
又f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f (x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
∴f (1)＋g(1)＝1．]
题号
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二、填空题
6．若函数f (x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是_______．
2　[∵f (x)为偶函数，故m－2＝0，∴m＝2．]
2
题号
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7．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________．
－5　[由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，
∴f (－2)＋f (0)＝－5．]
－5
题号
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8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f (3)＝0，则x·f (x)<0的解集为________________．
{x|x<－3或x>3}　[如图，由题意可画出函数f (x)的函数图象．
当x>0，f (x)<0时，x>3；
当x<0，f (x)>0时，x<－3．
综上，x>3或x<－3．]
{x|x<－3或x>3}
题号
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三、解答题
9．已知函数f (x)＝x2－2|x|－3．
(1)求证：函数f (x)是偶函数；
(2)画出函数f (x)的图象，并由图象直接写出函数f (x)的值域．
[解]　(1)证明：因为f (x)＝x2－2|x|－3，
所以f (－x)＝(－x)2－2|－x|－3＝x2－2|x|－3＝f (x)，
所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)是偶函数．
题号
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(2)f (x)的图象如下：
所以f (x)的值域为[－4，＋∞)．
√
题号
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10．已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
题号
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B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f (－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13．又g(x)为奇函数，
所以g(3)＝－g(－3)＝－13，
于是f (3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．]
题号
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11．(多选)勒热纳·狄利克雷是德国著名的数学家，曾受业于高斯，他是解析数论的奠基者，也是现代函数概念的提出者，在数学、物理等诸多领域成就显著．以他名字命名的狄利克雷函数的解析式为D(x)＝
下面关于函数D(x)的论断中不正确的是(　　)
A．函数D(x)是奇函数
B．函数D(D(x))是偶函数
C． x，y∈R，D(x＋y)＝D(x)＋D(y)
D． x∈R，D(D(x))＝0
√
√
√
题号
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ACD　[A：函数D(x)的定义域为R，关于原点对称，若x为有理数，则－x也为有理数，有D(x)＝D(－x)＝1；若x为无理数，则－x也为无理数，有D(x)＝D(－x)＝0，所以函数D(x)是R上的偶函数，故A错误；
B：当x为有理数时，D(x)＝1，则D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，则D(D(x))＝D(0)＝1，所以当 x∈R，均有D(D(x))＝1，则函数D(D(x))为偶函数，故B正确；
C：当x＝y＝1时，D(x＋y)＝D(2)＝1，D(x)＝D(y)＝D(1)＝1，D(x)＋D(y)＝2，则D(x＋y)≠D(x)＋D(y)，故C错误；
D：由选项B的分析可知，当 x∈R，均有D(D(x))＝1，故D错误．故选ACD．]
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12．已知定义在非零实数上的奇函数f (x)，满足f (x)＋2f ＝3x，则f (1)等于________．
－3　[因为f (x)＋2f ＝3x，所以f (1)＋2f (－1)＝3，
因为f (x)为定义在非零实数上的奇函数，
所以－f (1)＝f (－1)，即f (1)－2f (1)＝3，
所以f (1)＝－3．]
－3
题号
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13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x－c，则c＝________，f (－2)＝________．
1　－3　[函数f (x)是定义在R上的奇函数，
且x≥0时，f (x)＝2x－c，
所以f (0)＝1－c＝0，所以c＝1，又当x≥0时，f (x)＝2x－1，所以
f (2)＝3，又由函数f (x)为奇函数，则f (－2)＝－f (2)＝－3．]
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14．已知函数f (x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a为实数，判断f (x)的奇偶性．
[解]　当a＝0时，f (x)＝x2＋|x|＋1，
此时f (－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f (x)，故函数f (x)为偶函数．
当a≠0时，因为f (a)＝a2＋1，f (－a)＝a2＋2|a|＋1，
显然，f (－a)≠±f (a)，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数．
综上，当a＝0时，f (x)为偶函数；当a≠0时，f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
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15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且当x≥0时，f (x)＝2x3＋2x－1．
(1)若函数y＝f (x)是偶函数，求f (－2)．
(2)y＝f (x)是否可能是奇函数？若可能，求f (x)的表达式；若不可能，说明理由．
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[解]　(1)若y＝f (x)是偶函数，应有f (－2)＝f (2)．而f (2)＝2×23＋22－1＝19，因此f (－2)＝19．
(2)若y＝f (x)是奇函数，当x<0时，应有
f (x)＝－f (－x)＝－[2(－x)3＋2－x－1]＝2x3－2－x＋1．
此外，当x＝0时，f (x)＝2×03＋20－1＝0＝－f (－x)．
因此，y＝f (x)可能是奇函数，此时
f (x)＝
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