【学霸笔记：同步精讲】第三章 探究课2 f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性 课件--2026版高中数学人教B版必修第一册

(共10张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第三章
函数
探究课2　f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性
1．一般地，设函数f (x)，g(x)的定义域均为A．
(1)若函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)＋g(x)在定义域A上为增(减)函数．
(2)函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)·g(x)在定义域A上的单调性不确定．
2．一般地，设函数f (x)的定义域为F，g(x)的定义域为G，且g(x)的值域为F的子集．
(1)若f (x)，g(x)都是增(减)函数，则f (g(x))为增函数．
(2)若f (x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f (g(x))为减函数．
上面的性质可简单概括为“同增异减”．
【典例】　探究复合函数的单调性
对于复合函数f (g(x))，设t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，且y＝f (t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么f (g(x))在(a，b)上的单调性如表所示：
试证明：(1)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是增函数，则f (g(x))在(a，b)上是增函数．
(2)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是减函数，则f (g(x))在(a，b)上是减函数．
t＝g(x) y＝f (t) y＝f (g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
[证明]　(1)任取x1，x2∈(a，b)，x1又y＝f (t)是增函数，所以有f (g(x1))(2)任取x1，x2∈(a，b)，x1又y＝f (t)是减函数，
所以有f (g(x1))>f (g(x2))，
则根据减函数的定义知f (g(x))在(a，b)上是减函数．
类似地，我们不难发现：当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f (t)是增函数时，f (g(x))在(a，b)上是减函数；
当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f (t)是减函数时，f (g(x))在(a，b)上是增函数．
1．求函数f (x)＝的单调区间．
[解]　由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，
∴函数f (x)的定义域为[－4，2]．
设y＝，u＝8－2x－x2．
∵二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，
－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数f (x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．
2．已知函数f (x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f (1－x2)的单调递减区间．
[解]　∵f (x)的定义域为[0，＋∞)，
∴1－x2≥0，即x2≤1，解得－1≤x≤1．
令u＝1－x2(u≥0)，则f (1－x2)＝f (u)．
当x∈[0，1]时，u＝1－x2单调递减，则f (1－x2)单调递增；
当x∈[－1，0]时，u＝1－x2单调递增，则f (1－x2)单调递减．
故f (1－x2)的单调递减区间为[－1，0]．
谢 谢！