【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.3 第2课时 补集 课件--2026版高中数学人教B版必修第一册

(共59张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1　集合
1.1.3　集合的基本运算
第2课时　补集
学习任务 1．了解全集的含义及其符号表示．(直观想象)
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象)
3．会用维恩图、数轴进行集合的基本运算．(数学运算)
太阳系有8颗行星，即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星．原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中，被划为矮行星，并命名为小行星134 340号，从太阳系九大行星中被除名．在这8颗行星中，如果我们把名字中含有“王”的行星除去，还有几颗行星？如果我们用集合的眼光来看，上述问题可以转化为：若把太阳系的行星的集合作为U，把名字中含有“王”的行星的集合作为A，把名字中不含有“王”的行星的集合作为B，那么集合B中有几个元素？集合A，B，U之间有怎样的关系呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　全集
1．定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
2．记法：全集通常记作 __．
思考全集一定是实数集R吗？
[提示]　全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z．
U
知识点2　补集
1．补集
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作______
符号语言 UA＝______________________
图形语言
提醒　补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．
UA
{x|x∈U且x A}
2．补集的运算性质
条件 给定全集U及其任意一个子集A
结论 A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A
[拓展]　由全集与补集的概念及维恩图，我们还可以得到补集的如下性质：
(1)A B UB UA．
(2)A＝B UA＝ UB．
(3) UU＝ ．
(4) U ＝U．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素． (　　)
(2)集合 ZN与集合 ZN＋相等． (　　)
(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素． (　　)
×
√
×
2．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{x∈Z|1A．{0，1，2，3}　 B．{5}
C．{1，2，4} D．{0，4，5}
√
D　[∵B＝{x∈Z|1∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}．
∵全集U＝{0，1，2，3，4，5}，∴ U(A∪B)＝{0，4，5}．
故选D．]
3．若集合A＝{x|x>1}，则 RA＝________．
{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，∴ RA＝{x|x≤1}．]
{x|x≤1}
类型1　补集的运算
【例1】　【链接教材P19例5】
(1)已知A＝{0，1，2}， UA＝{－3，－2，－1}， UB＝{－3，－2，0}，用列举法写出集合B．
(2)若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)因为A＝{0，1，2}，
UA＝{－3，－2，－1}，
所以U＝A∪( UA)＝{－3，－2，－1，0，1，2}．
又因为 UB＝{－3，－2，0}，
所以B＝{－1，1，2}．
(2)由补集的定义可知 UA表示的集合为图中阴影部分所示，即 UA＝{x|0【教材原题P19例5】
例5　已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求 RA， RB．
[解]　在数轴上表示出A和B，如图1－1－12所示．
由图可知 RA＝(－∞，－1]， RB＝(2，＋∞)．
发现规律　求集合的补集的方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用____或借助______求解．
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助____分析求解．
定义
维恩图
数轴
[跟进训练]
1．(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，求集合B．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，求 UA．
(3)设全集U＝{2，3，x}，A＝{5}， UA＝{2，y}，求x，y的值．
[解]　(1)(法一)因为A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，
所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又 UB＝{1，4，6}，
所以B＝{2，3，5，7}．
(法二)借助维恩图，如图所示．
由图可知B＝{2，3，5，7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集定义可得 UA＝{x|x<－3或x＝5}．
(3)因为A U，所以5∈U，所以x＝5，所以U＝{2，3，5}，因为y∈ UA，所以y∈U，且y A，即y≠5．
所以y＝2或y＝3．
又由 UA中元素的互异性知y≠2，所以y＝3．综上知x＝5，y＝3．
类型2　集合交、并、补集的综合运算
【例2】　(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求：
(1) R(A∩B)；(2) R(A∪B)；
(3)( RA)∩( RB)；(4)( RA)∪( RB)．
[解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(图①)，则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3(2)由图①可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R，所以 R(A∪B)＝ ．
图①
(3)在数轴上表示出集合 RA， RB(如图②)，即 RA＝{x|x≥5}， RB＝{x|x≤3}，所以( RA)∩( RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝ ．
(4)由图②可知( RA)∪( RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3或x≥5}．
图②
反思领悟　1．求集合交、并、补运算的方法
2．运算规律
(1)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
(2)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
[跟进训练]
2．(1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3}　　　　 B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
(2)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>1}，则A∩( RB)＝(　　)
A．{x|－1≤x<1} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x<2}
√
√
(1)D　(2)B　[(1)由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，
所以 U(A∪B)＝{－2，0}．故选D．
(2)因为A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>1}，所以 RB＝{x|x≤1}，所以A∩( RB)＝{x|－1≤x≤1}．]
类型3　与补集有关的参数值的求解
【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解]　(法一：直接法)由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
(法二：集合间的关系)由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x|－2结合数轴(如图)，得－m≤－2，即m≥2．
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
[母题探究]
1．(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？
[解]　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4．所以m的取值范围为(－∞，
－4]．
2．(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？
[解]　由已知得A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，
解得m≥2．
所以m的取值范围为[2，＋∞)．
反思领悟　1．由集合的补集求解参数的方法
2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|－2[解]　 RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
由( RA)∩B＝B，得B RA，
所以m＋9≤－2或m≥3，
解得m≤－11或m≥3，
故m的取值范围是(－∞，－11]∪[3，＋∞)．
1．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则 UP等于(　　)
A．{x|0≤x<1或x>1}
B．{x|x<1}
C．{x|x<1或x>1}
D．{x|x>1}
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以 UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]
2．设全集U＝{－3，－2，0，2，3}，A＝{－3，3}，B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{－3，2，3}　　
B．{－3，－2，0，2}
C．{3}
D．{－2，0}
√
D　[题图中阴影部分所表示的集合为 U(A∪B)．
∵A＝{－3，3}，B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}＝{2，3}，
∴A∪B＝{－3，2，3}，又全集U＝{－3，－2，0，2，3}，
∴题图中阴影部分所表示的集合为 U(A∪B)＝{－2，0}．]
3．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则( UA)∪B＝____________________．
(－∞，0)∪[1，＋∞)　[因为 UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以( UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．]
(－∞，0)∪[1，＋∞)
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1{x|x<1或x≥2}　[∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1{x|x<1或x≥2}
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求集合补集的前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？
[提示]　求集合的补集前提是必须明确全集．同一集合在不同全集下的补集不同．
2．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？
[提示]　数形结合．求补集时忽视全集，求参数时忽视端点的取舍．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则 UA等于(　　)
A．{x|x＜0或x＞4} B．{x|x≤0或x＞4}
C．{x|x≤0或x≥4} D．{x|x＜0或x≥4}
课时分层作业(五)　补集
D　[因为U＝R，A＝{x|0≤x＜4}，所以 UA＝{x|x＜0或x≥4}．]
题号
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2．如图，阴影部分表示的集合是(　　)
A．A∩( UB) B．( UA)∩B
C． U(A∩B) D． U(A∪B)
A　[由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内，应是A∩( UB)．]
3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
√
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D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D．]
√
4．已知U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且 UA＝{1，3，5}，则m等于(　　)
A．1 B．3
C．4 D．5
题号
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C　[由已知m∈U，且m UA，故m＝2或4．
又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，
故m＝4．故选C．]
√
5．(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　)
A．A∩B＝{0，1}
B． UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4}
D．集合A的真子集个数为8
题号
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√
AC　[选项A：由题意，A∩B＝{0，1}，正确；选项B： UB＝{2，4}，不正确；选项C：A∪B＝{0，1，3，4}，正确；选项D：集合A的真子集个数为23－1＝7，不正确．]
题号
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二、填空题
6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若 UA B，则实数m的取值范围是________．
题号
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{m|m<1}　[∵ UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，
∴由 UA B可知m<1．]
{m|m<1}
7．设全集为R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k题号
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(0，3)　[全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，
所以 UA＝{x|1所以1解得0所以k的取值范围是(0，3)．]
(0，3)
8．已知全集U＝{3，a2－3a－2，2}，A＝{3，|a－1|}， UA＝{－2}，则实数a的值为________．
题号
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3　[因为A∪( UA)＝U，所以{3，－2，|a－1|}＝{3，a2－3a－2，2}，从而
解得a＝3．]
3
三、解答题
9．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，( UA)∩( UB)，A∩( UB)，( UA)∪B．
题号
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[解]　(法一：直接法)由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}， UA＝{1，2，6，7，8}， UB＝{1，2，3，5，6}，
∴( UA)∩( UB)＝{1，2，6}，A∩( UB)＝{3，5}，
( UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．
(法二：维恩图法)画出维恩图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，( UA)∩( UB)＝{1，2，6}，A∩( UB)＝{3，5}，( UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．
题号
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√
10．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4A． UA＝{x|x<1或36}
B． UB＝{x|x<2或x≥5}
C．A∩( UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}
D．( UA)∪B＝{x|x<1或26}
题号
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√
BC　[利用数轴表示出A和B，如图，
则 UA＝{x|x<1或3题号
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√
11．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
题号
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C　[由于A∪( RB)＝R，则B A，可知a≥2．故选C．]
12．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，则A∪B＝(　　)
A．{2，3，4} B．{2，3}
C．{2，4} D．{3，4}
√
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A　[由( UA)∩B＝{2}，得2∈B，则22－5×2＋q＝0，得q＝6，所以B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}．
同理，由( UB)∩A＝{4}，得4∈A，则42＋4p＋12＝0，得p＝－7，所以A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}．
故A∪B＝{2，3，4}．]
13．设集合U为全集，对集合X，Y，定义运算X*Y＝ U(X∩Y)，若全集U＝R，X＝{x|1≤x≤3}，Y＝{x|2题号
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{x|x≤2或x>3}　[由条件可知X∩Y＝{x|23}．]
{x|x≤2或x>3}
14．在①B ( RA)，②( RA)∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由．
已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a＋1题号
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[解]　若选①． RA＝{x|x<1或x>4}，由B ( RA)得，
当B＝ 时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；
当B≠ 时，或
解得a≥3．
综上，存在实数a，使得B ( RA)，且a的取值范围为(－∞，2]∪[3，＋∞)．
题号
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若选②． RA＝{x|x<1或x>4}，由( RA)∪B＝R，得B≠ ，所以此方程组无解，
所以不存在实数a，使得( RA)∪B＝R．
若选③．由A∩B＝B可知B A．
当B＝ 时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；
当B≠ 时，解得2综上，存在实数a，使得A∩B＝B，且a的取值范围为．
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15．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，求实数m的值．
题号
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[解]　由已知，得A＝{－2，－1}，由( UA)∩B＝ ，得B A．
因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，
所以B≠ ．
所以B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则判别式Δ＝0，即(m－1)2＝0，故m＝1；
②若B＝{－2}，则应有
所以无解；
③若B＝{－1，－2}，则应有
所以即m＝2．
经检验，知m＝1，m＝2均符合条件，所以m＝1或2．
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谢 谢！