【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.1 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

3.1.2　函数的单调性
第1课时　单调性的定义与证明
学习任务 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(直观想象) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(逻辑推理) 3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(数学运算)
德国心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．经过测试，他得到了以下一些数据： 时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图． 问题　(1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
知识点1　函数单调性的概念
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，且区间I D：如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时
都有____________________ 都有____________________
结论 y＝f (x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y＝f (x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)
图示
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f (x)是增(减)函数且f (x1)x2)．
(4)若f (x)在区间I上为增(减)函数，则函数f (x)的图象在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．
1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有______．
如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．
1．函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1] (－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．
3．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点3　函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数f (x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f (x)__f (x0) 都有f (x)__f (x0)
结论 则称f (x)的最大值为f (x0)，而x0称为f (x)的最大值点 则称f (x)的最小值为f (x0)，而x0称为f (x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为____
最大值点和最小值点统称为______
1．如果(a，b)，(c，d)都是函数f (x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f (x1)f (x2)
C．f (x1)＝f (x2) D．不能确定
2．函数y＝x2－6x的单调递减区间是________．
3．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是________，最大值是________．
类型1　定义法证明(判断)函数的单调性
【例1】　【链接教材P101例1】
用定义法证明函数f (x)＝在区间(0，1)上是减函数．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用定义证明函数单调性的4个步骤
[跟进训练]
1．(源自北师大版教材)判断函数f (x)＝的单调性，并给出证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　求函数的单调区间
【例2】　(1)函数y＝f (x)的图象如图所示，其增区间是(　　)
A．[－4，4]
B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1]
D．[－3，4]
(2)已知函数y＝－x2＋2|x|＋1，求函数的单调区间．
(3)求函数f (x)＝x＋(x>0)的单调区间．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．图象法求函数单调区间的步骤
作图 作出函数的图象
结论 上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间
2．常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数y＝ax＋b(a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减
反比例函数y＝(a≠0) a>0时，单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a<0时，单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0) a>0时，单调递减区间是(－∞，m]，单调递增区间是[m，＋∞)； a<0时，单调递减区间是[m，＋∞)，单调递增区间是(－∞，m]
y＝x＋(a≠0) a>0时，单调递增区间是(－∞，－]，[，＋∞)； 单调递减区间是[－，0)，(0，]； a<0时，单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)
提醒：(1)若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
(2)厘清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．
[跟进训练]
2．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．
类型3　单调性的应用
【例3】　(1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(3)已知函数f (x)＝对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有<0，则实数a的取值范围是________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性：首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值．
[跟进训练]
3．(1)已知函数y＝f (x)是R上的减函数，若f (a＋2)>f (2a－3)，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a>5}　　　 B．{a|a<5}
C．{a|a<4} D．{a|a>4}
(2)已知函数f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
类型4　求函数的最值(值域)
【例4】　【链接教材P101例2】
已知函数f (x)＝．
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)求闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[跟进训练]
4．已知函数f (x)＝max{x2，5x－6}，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的单调递增区间是(2，＋∞)
B．f (x)的最小值是0，没有最大值
C．f (x)的图象关于y轴对称
D．f (4)＝14
1．函数y＝在区间上的最大值是(　　)
A． B．－1
C．4 D．－4
2．(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是(　　)
A．y＝－ B．y＝2x－1
C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2
3．函数f (x)＝x2－3|x|＋2的单调递减区间是________．
4．定义在(－2，2)上的函数f (x)是增函数，且满足f (1－a)回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对函数的单调性的定义，你是怎样理解的？
2．利用定义证明函数的单调性时，常用哪些变形技巧？
3．函数的最值和值域有什么联系与区别？
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