第21章 一元二次方程 单元预习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第21章 一元二次方程
一、选择题
1．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在
2．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，1，0 B．2，﹣5，0 C．2，﹣3，﹣1 D．2，5，0
3．将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6
4．如果a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
5．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（　　）
A．﹣1或 B．1或 C．1或 D．1或
6．已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2
7．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1
D．有两个相等的实数根
8．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．10 C．﹣10 D．9或10
9．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a+b的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4＝0的一个根是1，则m＝　 　 ．
12．写出两根分别为1，2，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程：　 　 ．
13．现规定一种新的运算：，当时，则x的值为 　 　 ．
14．若方程x2﹣2023x+1＝0的一个根为a，则a2﹣2022a　 　 ．
15．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数是 　 　 （请用方程知识解答）．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）y（y﹣1）＝2﹣2y；
（2）5x2﹣8x＝﹣5；
（3）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．
17．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下．
嘉嘉：两边同时除以（x﹣3），得3＝x﹣3， 解得x＝6．
淇淇：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
（1）嘉嘉的解法 　 　 ，淇淇的解法 　 　 ．（填“正确”或“不正确”）
（2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
18．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”
（1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的二次方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
20．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求AB的长；如果不能，请说明理由．
21．探索一个问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半（完成下列空格）．
（1）当已知矩形A的边长分别是6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得2x2﹣7x+6＝0：
∵Δ＝49﹣48＞0，x1＝　 　 ；x2＝　 　 ；所以满足要求的B存在；
（2）如果已知矩形A的边长分别是2和1，请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
第21章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在
【答案】B
【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，1，0 B．2，﹣5，0 C．2，﹣3，﹣1 D．2，5，0
【答案】B
【分析】先去括号，移项，合并同类项，再找出各项系数即可．
【解答】解：2x（x﹣1）＝3x，
2x2﹣2x﹣3x＝0，
2x2﹣5x＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣5，0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），②找各项系数带着前面的符号．
3．将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6
【答案】B
【分析】先移项得到x2+4x＝﹣2，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2+4x+2＝0，
x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．如果a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【答案】B
【分析】根据已知等式，结合方程求出解即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根是x＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（　　）
A．﹣1或 B．1或 C．1或 D．1或
【答案】B
【分析】直接利用2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数得出2x2+1+4x2﹣2x﹣5＝0，进而整理利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：∵2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，
∴2x2+1+4x2﹣2x﹣5＝0，
则3x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
解得：x1＝1，x2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
6．已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2
【答案】B
【分析】设x2+y2＝a，原方程可化为a2﹣a﹣6＝0，利用因式分解分求出a的值，进而得出x2+y2的值．
【解答】解：（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，
（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0，
设x2+y2＝a，
原方程可化为a2﹣a﹣6＝0，
则（a﹣3）（a+2）＝0，
a﹣3＝0或a+2＝0，
解得a＝3或a＝﹣2（不合题意），
故x2+y2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握换元法是解答本题的关键．
7．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1
D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
8．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　）
A．9 B．10 C．﹣10 D．9或10
【答案】A
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是91，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
根据题意得：1+x+x2＝91，
整理得：x2+x﹣90＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去），
即这种植物每个支干长出的小分支个数是9，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a+b的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【答案】C
【分析】利用已知等式可把a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，
∴a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
【答案】A
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得，
（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4＝0的一个根是1，则m＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入已知方程得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值即可．
【解答】解：把x＝1代入x2﹣3mx+4＝0，得
12﹣3m+4＝0，
解得m．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
12．写出两根分别为1，2，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程：　x2﹣3x+2＝0　 ．
【答案】x2﹣3x+2＝0．
【分析】先计算出1与2的和、积，然后根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项，从而得到满足条件的一元二次方程．
【解答】解：∵1+2＝3，1×2＝2，
∴以1，2为根，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2，x1x2．
13．现规定一种新的运算：，当时，则x的值为 　2或3　 ．
【答案】2或3．
【分析】根据和，可以得到相应的一元二次方程，然后求解即可．
【解答】解：∵，，
∴x2﹣3（x﹣2）＝2x，
解得x1＝2，x2＝3，
故答案为：2或3．
【点评】本题考查一元二次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确新定义，写出相应的一元二次方程．
14．若方程x2﹣2023x+1＝0的一个根为a，则a2﹣2022a　2022　 ．
【答案】2022．
【分析】根据一元二次方程的解的意义可得a2﹣2023a+1＝0，从而可得a2＝2023a﹣1，a2+1＝2023a，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：∵方程x2﹣2023x+1＝0的一个根为a，
∴a2﹣2023a+1＝0，
∴a2＝2023a﹣1，a2+1＝2023a，
∴a2﹣2022a2023a﹣1﹣2022a
＝a﹣1
＝a1
1
1
＝2023﹣1
＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
15．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数是 　5　 （请用方程知识解答）．
【答案】5．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），
依题意得：x（x+8）＝65，
整理得：x2+8x﹣65＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）y（y﹣1）＝2﹣2y；
（2）5x2﹣8x＝﹣5；
（3）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．
【答案】（1）y1＝1，y2＝﹣2；
（2）原方程没有实数根；
（3）x1＝1，x2＝3．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）y（y﹣1）＝2﹣2y，
y（y﹣1）＝2（1﹣y），
y（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝0，
y（y﹣1）+2（y﹣1）＝0，
（y﹣1）（y+2）＝0，
y﹣1＝0或y+2＝0，
y1＝1，y2＝﹣2；
（2）5x2﹣8x＝﹣5，
5x2﹣8x+5＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×5×5＝64﹣100＝﹣36＜0，
∴原方程没有实数根；
（3）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0，
（x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣3＝0，
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下．
嘉嘉：两边同时除以（x﹣3），得3＝x﹣3， 解得x＝6．
淇淇：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
（1）嘉嘉的解法 　不正确　 ，淇淇的解法 　不正确　 ．（填“正确”或“不正确”）
（2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
【答案】（1）不正确，不正确；
（2）见解答．
【分析】（1）根据等式的性质即可得出答案；
（2）利用因式分解法解答即可．
【解答】解：（1）嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法不正确，
故答案为：不正确，不正确；
（2）正确的解法是：3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）50%；
（2）能，理由见解析．
【分析】（1）结合题意，设进馆人次的月平均增长率为x，根据一元二次方程的性质列式并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案．
【解答】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：120+120（1+x）+120（1+x）2＝570，
化简得：4x2+12x﹣7＝0，
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍），
∴进馆人次的月平均增长率为50%；
（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：（人次），
∵405＜500，
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”
（1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的二次方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【答案】（1）x2﹣5x+6＝0是“邻根方程”；
（2）m＝8或6．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况；
【解答】解：（1）解方程x2﹣5x+6＝0得：x＝3或x＝2，
∵3﹣2＝1，
∴x2﹣5x+6＝0是“邻根方程”；
（2）由方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0解得：x＝m﹣4或x＝3，
由于关于x的二次方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．（m是常数）是“邻根方程”，
则m﹣4﹣3＝1或3﹣（m﹣4）＝1，
解得m＝8或6．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
20．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求AB的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）10；
（2）不能围成面积为50米2的花圃．理由见解答部分．
【分析】（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为40米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设BC的长为y米，则AB的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为50米2，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程的根的判别式Δ＝﹣24＜0，即可得出方程无解，即不能围成面积为50米2的花圃．
【解答】解：（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，
根据题意得：x 40，
整理得：x2﹣24x+80＝0，
解得：x1＝4，x2＝20．
∵20＞15，
∴x2＝20舍去．
∴10（米）
答：AB的长为10米．
（2）不能围成，理由如下：
设BC的长为y米，则AB的长为米，
根据题意得：y 50，
整理得：y2﹣24y+150＝0．
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为50米2的花圃．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．探索一个问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半（完成下列空格）．
（1）当已知矩形A的边长分别是6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得2x2﹣7x+6＝0：
∵Δ＝49﹣48＞0，x1＝　2　 ；x2＝　　 ；所以满足要求的B存在；
（2）如果已知矩形A的边长分别是2和1，请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
【答案】（1）2，；（2）不存在矩形B；（3）当（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在．
【分析】（1）直接利用求根公式计算即可；
（2）参照（1）中的解法解题即可；
（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．
【解答】解：（1）2x2﹣7x+6＝0，
∵Δ＝49﹣48＝1＞0，
∴x，
∴x1＝2，x2，
∴满足要求的矩形B存在．
故答案为2，；
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
，
消去y化简，得
2x2﹣3x+2＝0，
∵Δ＝9﹣16＜0，
∴不存在矩形B．
（3），
∴2x2﹣（m+n）x+mn＝0，
∴Δ＝（﹣m﹣n）2﹣8mn＝（m+n）2﹣8mn≥0
∴当（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在．
【点评】此类题目考查了一元二次方程的应用，要读懂题意，准确地找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况．
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