第22章 二次函数 单元预习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一、选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝x（x﹣1） B．y＝（x+4）2﹣x2
C．y D．y＝ax2+6
2．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，1）
3．在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　）
A．（1，0） B．（3，5） C．（﹣3，﹣4） D．（0，﹣4）
4．把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+2）2+3
C．y＝3（x﹣3）2﹣2 D．y＝3（x﹣3）2+2
5．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，下列结论不正确的是（　　）
A．图象开口向上 B．图象经过点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1 D．与x轴有两个交点
6．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x
7．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（　　）
A． B．2 C． D．4
8．一枚炮弹向上发射x s时的高度为y m，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在发射7s与14s时的高度相等，则在下列哪个时刻中，炮弹的高度最高？（　　）
A．8s B．10s C．12s D．15s
9．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论不正确的是（　　）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4a﹣2b+c＞0
D．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间
二、填空题
11．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m 　 　 n（填“＞”或“＜”）．
12．若点（0，a），（4，b）都在抛物线y＝（x﹣2）2上，则a 　 　 b（填“＞”，“＜”，“＝”）．
13．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的形状与函数y＝x2的图象相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　 　 ．
14．如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过　 　 h水位达到桥拱最高点O．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为　 　 ．
三、解答题
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 2
　 　 0 …
（1）由表格信息，不求解析式直接写出二次函数图象的顶点坐标，并填出表格中空缺的数据；
（2）在图中画出该二次函数的图象，写出该图象的性质（一条即可）．
17．如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
（1）当h＝2.9时，求y与x的函数关系式．
（2）当h＝2.9时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
18．如图，在 ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）．
（1）求顶点C的坐标和抛物线表达式；
（2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式．
19．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 　 　 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 　 　 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝　 　 ；（用含c的式子表示）
②求b的值．
20．华联商厦购进一批“红豆”牌儿童羽绒服，当每件售价为280元时，日销量为50件．为迎接“两节”到来，以尽快减少库存，商厦准备采取降价方式进行促销．经市场调查发现：若每件羽绒服的售价降低20元，则日销量增加10件，且每卖出一件羽绒服需支付厂家100元．
（1）商厦欲获得9600元日利润，则每件羽绒服售价应定为多少？
（2）小明看到商家的促销方式后，想了一下，认为“商家日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小明的想法对吗？试说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点D，抛物线顶点为E，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，直线y＝kx+b恰好经过A、C两点．
（1）求抛物线和直线AC的函数解析式；
（2）设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P的横坐标为x．
①用含x的代数式表示线段PH的长；
②当△PAC的面积为时，求点P的坐标．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝x（x﹣1） B．y＝（x+4）2﹣x2
C．y D．y＝ax2+6
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义对各选项分别进行判断即可．
【解答】解：A．y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，此函数为二次函数，所以A选项符合题意；
B．y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，此函数为一次函数，所以B选项不符合题意；
C．y，函数用分式表示，它不是二次函数，所以C选项不符合题意；
D．y＝ax2+6，当a≠0时，此函数为二次函数，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，
2．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，1）
【答案】B
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　）
A．（1，0） B．（3，5） C．（﹣3，﹣4） D．（0，﹣4）
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M点的横坐标，可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线对称轴为x＝3，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点M的横坐标为3，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+2）2+3
C．y＝3（x﹣3）2﹣2 D．y＝3（x﹣3）2+2
【答案】D
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可．
【解答】解：y＝3x2先向上平移2个单位，得到y＝3x2+2，再向右平移3个单位y＝3（x﹣3）2+2．
故得到抛物线的解析式为y＝3（x﹣3）2+2．
故选：D．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，下列结论不正确的是（　　）
A．图象开口向上 B．图象经过点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1 D．与x轴有两个交点
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点情况判断即可．
【解答】解：A、二次函数y＝x2﹣4x+3，a＝1＞0，
则图象开口向上，本选项结论正确，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝3，
则图象经过点（0，3），本选项结论正确，不符合题意；
C、对称轴是直线x2，本选项结论错误，符合题意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
与x轴有两个交点，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的关系是解题的关键．
6．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x
【答案】A
【分析】先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积＝长×宽，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：矩形的周长为20米，一边长为x米，
∴矩形的另一边长为（10﹣x）米，
∴y＝（10﹣x）x
＝﹣x2﹣10x，
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，掌握“矩形面积＝长×宽”是解决问题的关键．
7．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】通过解方程（2x﹣1）（x+3）＝0得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（，0），从而得到两个交点之间的距离．
【解答】解：当y＝0时，（2x﹣1）（x+3）＝0，
解得x1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（，0），
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离（﹣3）．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
8．一枚炮弹向上发射x s时的高度为y m，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在发射7s与14s时的高度相等，则在下列哪个时刻中，炮弹的高度最高？（　　）
A．8s B．10s C．12s D．15s
【答案】B
【分析】求出抛物线对称轴直线，根据抛物线开口向下，距对称轴水平距离越近的点，纵坐标越大可得答案．
【解答】解：∵炮弹在第7s与第14s时的高度相等，
∴抛物线的对称轴为直线x10.5，
∵抛物线开口向下，
∴距对称轴水平距离越近的点，纵坐标越大，
∵|10﹣10.5|＜|12﹣10.5|＜|8﹣10.5|＜|15﹣10.5|，
∴x＝10时，高度最高，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是求出抛物线的对称轴直线，掌握抛物线开口向下，距对称轴水平距离越近的点，纵坐标越大．
9．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴直线x0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴直线x0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论不正确的是（　　）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4a﹣2b+c＞0
D．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点可以对A、B进行判断；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣2时，y＜0，于是可对C进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，于是可对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A正确，不合题意；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故B正确，不合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，
∵x＝4时，y＜0，
∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C不正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，故D正确，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了图象法求一元二次方程的近似根．
二、填空题
11．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m 　＞　 n（填“＞”或“＜”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系即可得出．
【解答】解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，
故m＞n，
故答案为＞．
【点评】本题考查了函数图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系是本题的关键．
12．若点（0，a），（4，b）都在抛物线y＝（x﹣2）2上，则a 　＝　 b（填“＞”，“＜”，“＝”）．
【答案】＝．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后比较两个点离直线x＝2的远近得到a、b的大小关系．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，
∴点（0，a），（4，b）离直线x＝2一样近，
∴a＝b，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的形状与函数y＝x2的图象相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　y＝（x﹣1）2，答案不唯一　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为y＝a（x﹣h）2，且a＝1，h≥1，据此可得．
【解答】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
14．如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过　5　 h水位达到桥拱最高点O．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中所给的数据求出函数解析式，再求出时间t．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，
CD＝10米，所以D点横坐标为5，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
，
解得：，
∴抛物线解析式为yx2，
当x＝5时，y＝﹣1，
则t＝1÷0.2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意，建立合适的数学模型，进而由函数的性质可得答案．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为　　 ．
【答案】．
【分析】当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．
【解答】解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．
∵点C的坐标为（2，﹣4），
∴点D的坐标为（0，﹣4）．
将其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4，
解得a．
∴该抛物线解析式是：yx2x﹣4．
∵yx2x﹣4（x﹣2）2．
∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．
∴抛物线顶点纵坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．
三、解答题
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 2
　　 0 …
（1）由表格信息，不求解析式直接写出二次函数图象的顶点坐标，并填出表格中空缺的数据；
（2）在图中画出该二次函数的图象，写出该图象的性质（一条即可）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求得顶点坐标和表格中空缺的数据；
（2）根据表格数据，描点、连线画出函数的图象，根据图象得到函数的性质．
【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知，二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，2），表格中空缺的数据是；
故答案为：；
（2）画出函数图象如图：
，
观察图象，函数有最大值2．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
17．如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
（1）当h＝2.9时，求y与x的函数关系式．
（2）当h＝2.9时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式可以解答本题．
【解答】解：（1）∵点（0，2）在函数y＝a（x﹣6）2+h的图象上，h＝2.9，
∴2＝a（0﹣6）2+2.9
解得，a，
∴y与x的函数关系式是y（x﹣6）2+2.9；
（2）球能越过球网，球不会出界，
理由：将x＝9代入y（x﹣6）2+2.9，得
y（9﹣6）2+2.9＝2.675，
∵2.675＞2.43，
∴球能越过球网，
将y＝0代入y（x﹣6）2+2.9，得
x＝6+217＜18，
∴球不会出界．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
18．如图，在 ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）．
（1）求顶点C的坐标和抛物线表达式；
（2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式．
【答案】（1）顶点C的坐标为（4，8），y＝﹣2x2+16x﹣24；
（2）y＝﹣2x2+16x+8．
【分析】（1）根据解析式求得A、B的坐标，从而求得对称轴，根据平行四边形的性质，即可求得顶点C的坐标，然后把顶点坐标代入y＝a（x﹣2）（x﹣6），即可求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再根据抛物线的平移特点，可设平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+8+k，平移后抛物线经过D点，将D（0，8）代入解析式，求出即可．
【解答】解：（1）在y＝a（x﹣2）（x﹣6）中，令y＝0，则a（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得x＝2或x＝6，
∴A（2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵点D的坐标是（0，8），
∴顶点C的坐标为（4，8），
把C（4，8）代入y＝a（x﹣2）（x﹣6）得，8＝﹣4a，解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣6）＝﹣2x2+16x﹣24；
（2）∵y＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴设平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+8+k，
把（0，8）代入得8＝﹣32+8+k，解得k＝32，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+40，
即y＝﹣2x2+16x+8．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 　2　 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 　4　 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝　﹣c　 ；（用含c的式子表示）
②求b的值．
【答案】（1）①2； ②4；
（2）①﹣c； ②b1＝3+2，b2＝3﹣2．
【分析】（1）①根据y﹣x可得坐标差；
②计算y﹣x，并配方成顶点式可得结论；
（2）①根据点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），可得m的值；
②将B点坐标代入抛物线解析式可得c＝1﹣b，根据二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，可求出b的值即可．
【解答】解：（1）①3﹣1＝2，
故答案为：2；
②∵y＝﹣x2+3x+3，
∴y﹣x＝﹣x2+3x+3﹣x＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴y﹣x的最大值是4，
∴抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为4；
故答案为：4；
（2）①由题知C（0，c），
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴c﹣0＝0﹣m，
∴m＝﹣c，
故答案为：﹣c；
②由①知点B的坐标为（﹣c，0），
将B点坐标代入抛物线解析式，
得﹣c2﹣bc+c＝0，
∴c＝1﹣b，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，
∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为1，
∴1，
∴b2﹣6b+1＝0，
解得：b1＝3+2，b2＝3﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数的新定义问题，正确理解坐标差和特征值的定义是解题的关键．
20．华联商厦购进一批“红豆”牌儿童羽绒服，当每件售价为280元时，日销量为50件．为迎接“两节”到来，以尽快减少库存，商厦准备采取降价方式进行促销．经市场调查发现：若每件羽绒服的售价降低20元，则日销量增加10件，且每卖出一件羽绒服需支付厂家100元．
（1）商厦欲获得9600元日利润，则每件羽绒服售价应定为多少？
（2）小明看到商家的促销方式后，想了一下，认为“商家日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小明的想法对吗？试说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知表示出每天的销量以及每件利润，即可得出答案；
（2）根据二次函数最值问题进行分析即可．
【解答】解：（1）设售价定为x元
则由题意得（x﹣100）（5010）＝9600（2分）
整理得x2﹣480x+57200＝0，
解得x1＝260，x2＝220．（3分）
∵尽快减少库存，
∴x＝220．
答：每件羽绒服的售价应定为220元．（4分）
（2）小明的想法不正确，理由如下：
设售价定为x元，每日的利润为y元，则
y＝（x﹣100）（5010）（x﹣240）2+9800，
∴x＝240元时，日利润最大，（5分）
而日销售额s＝x（5010）x2+190x（x﹣190）2+18050，
当x＝190时，日销售额s最大．（6分）
∴他的说法不对．（7分）
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题是初中阶段考查重点，同学们应熟练掌握此知识．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点D，抛物线顶点为E，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，直线y＝kx+b恰好经过A、C两点．
（1）求抛物线和直线AC的函数解析式；
（2）设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P的横坐标为x．
①用含x的代数式表示线段PH的长；
②当△PAC的面积为时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，y＝x+1，（2）①PH＝﹣x2+x+2；②（，）或（，）．
【分析】（1）运用待定系数法分别求出抛物线的直线AC的解析式即可：
（2）①用x分别表示点P、H的坐标，用点P的纵坐标减去点H的纵坐标即可得到结果；
②根据三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点分别代数入y＝ax2+bx+3得：
a﹣b+3＝0，9a+3b+3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴点D的坐标为（0，3），
抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点E（1，4），
∵C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
∴点C（2，3），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
∴直线AC的表达式为y＝x+1，
（2）①∵点P的横坐标为x．则点P，H的坐标分别为
P（x，﹣x2+2x+3），H（x，x+1），
∴PH＝﹣x2+2x+3﹣x﹣1＝﹣x2+x+2；
②∵△PAC的面积＝S△PHA+S△PHC（xC﹣xA）
x2x+3，
∴x2x+3，整理得，6x2﹣6x﹣7＝0，
解得：x或x，
当x时，y＝﹣x2+2x+3，
当x时，y＝﹣x2+2x+3，
∴P点的坐标为（，）或（，）．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式、二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答此题的关键．
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