第24章 圆 单元培优（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第24章 圆
一、选择题
1．如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝40°，则∠AOB等于（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BAD的度数是（　　）
A．30° B．60° C．80° D．120°
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）
A．34° B．46° C．56° D．66°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
5．观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为（　　）
A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　）
A．125° B．115° C．100° D．130°
8．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”（　　）
A．4步 B．5步 C．6步 D．8步
9．如图，在△AOC中，OA＝3，OC＝1，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　）
A． B．2π C． D．
10．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是（　　）
A．勒洛三角形是轴对称图形
B．图1中，点A到上任意一点的距离都相等
C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离都相等
D．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
二、填空题
11．已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是　 　 ．
12．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 　 　 米．
13．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　 　 ．
14．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 　 　 ．
三、解答题
15．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积（即表面积）为（结果保留π）
16．如图，已知一个量角器（半圆O）的直径为AB，零刻度在点A处，等腰直角三角形BCD绕点B顺时针旋转．当点G，E在量角器上的读数α，β（α，β均不超过180°）满足什么关系时，等腰直角三角形BCD的直角边CD会与半圆O相切于点E？请说明理由．
17．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，2），B（4，2），C（6，0）．解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，点D的坐标为 　 　 ；
（2）求的长．（结果保留π）
18．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
（2）设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
19．如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4．
（1）求⊙O的半径．
（2）A，B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E在BC上，且BE＝DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）试判断DE与BC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠B＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积（结果保留π）．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若AC＝8，BC＝6，求线段BE的长．
第24章 圆
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝40°，则∠AOB等于（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】由∠ACB＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BAD的度数是（　　）
A．30° B．60° C．80° D．120°
【答案】B
【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）
A．34° B．46° C．56° D．66°
【答案】C
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴BA10，
∴其外接圆的半径为5．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
5．观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵40°，∴∠AOB＝40°，故本选项错误；
B、∵与不是在同圆或等圆中，∴∠AOB＝∠A′OB′，，故本选项错误；
C、如图，∵，∴AD＝BC，∵∠DAB＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC，∴△ADE≌△CBE，
∴AE＝CE，DE＝BE，∴AB＝CD，故本选项正确；
D、∵AB、MN均不是⊙O的直径，∴MN垂直平分AD，．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，在解答此类问题时一定要注意此类定理的适用条件，即在同圆或等圆中．
6．如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为（　　）
A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
【答案】C
【分析】由垂径定理得出CM＝DMCD，求出OMOB＝8cm，由勾股定理得出CM6（cm），即可得出CD＝2CM＝12cm．
【解答】解：∵弦CD⊥OB于M，
∴CM＝DMCD，
∵OM：MB＝4：1，
∴OMOB＝8cm，
∴CM6（cm），
∴CD＝2CM＝12cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　）
A．125° B．115° C．100° D．130°
【答案】A
【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB（180°﹣∠A），然后利用三角形内角和得到∠BOC＝90°∠A，再把∠A＝70°代入计算即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A＝180°70°＝125°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
8．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”（　　）
A．4步 B．5步 C．6步 D．8步
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r3（步），即直径为6步，
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r．
9．如图，在△AOC中，OA＝3，OC＝1，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　）
A． B．2π C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可以得到在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵△AOC≌△BOD，
∴在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积2π，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
10．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是（　　）
A．勒洛三角形是轴对称图形
B．图1中，点A到上任意一点的距离都相等
C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离都相等
D．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、勒洛三角形是轴对称图形，正确；
B、图1中，点A到上任意一点的距离都相等，正确；
C、图2中，连接O1E，连接DO1并延长交于G，
设等边三角形DEF的边长为a，
则O1D＝EO1a，
∵DG＝DE＝a，
∴O1G＝aa，
∴勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离不相等，故错误；
D、设等边三角形DEF的边长为a，
∴勒洛三角形的周长＝3aπ，圆的周长＝aπ，
∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题
11．已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是　点P在⊙O内　 ．
【答案】点P在⊙O内．
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】解：根据点P到圆心的距离5cm小于圆的半径6cm，则该点在圆内．
故答案为点P在⊙O内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
12．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 　300　 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：设线段AB对应的圆心角度数为n，
∵100π，
∴n＝60°，
又AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝300（米），
故答案为：300．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，根据弧长公式求得∠AOB的度数是解题的关键．
13．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OFBCDF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OFBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OFDF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC4．
故答案为：4．
【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
14．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，
∴ABOA＝4，
∴OP2，
∴PQ，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题
15．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积（即表面积）为（结果保留π）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出母线长，根据扇形弧长计算、圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由图可得圆锥母线长5，
∴S全π×8×5+8π×4+π×42
＝20π+32π+16π
＝68π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．如图，已知一个量角器（半圆O）的直径为AB，零刻度在点A处，等腰直角三角形BCD绕点B顺时针旋转．当点G，E在量角器上的读数α，β（α，β均不超过180°）满足什么关系时，等腰直角三角形BCD的直角边CD会与半圆O相切于点E？请说明理由．
【答案】当βα+45°时，等腰直角三角形BCD的直角边CD会与半圆O相切于点E．
【分析】连接OE，OG，得到∠AOG＝α，∠AOE＝β，由圆周角定理得到∠OBG∠AOGα，当半径OE⊥CD时，CD与半圆O相切于点E，由OE∥BC，得到∠ABC＝∠AOE＝β，即可推出βα+45°．
【解答】解：连接OE，OG，
∵G，E在量角器上的读数是α，β，
∴∠AOG＝α，∠AOE＝β，
∴∠OBG∠AOGα，
当半径OE⊥CD时，CD与半圆O相切于点E，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BC⊥DC，∠CBD＝45°，
∴OE∥BC，
∴∠ABC＝∠AOE＝β，
∴∠CBD+∠ABG＝β，
∴βα+45°，
∴当βα+45°时，等腰直角三角形BCD的直角边CD会与半圆O相切于点E．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形，关键是掌握由圆周角定理，平行线的性质得到βα+45°．
17．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，2），B（4，2），C（6，0）．解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，点D的坐标为 　（2，﹣2）　 ；
（2）求的长．（结果保留π）
【答案】（1）（2，﹣2）；
（2）π．
【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
（2）利用勾股定理可求得圆的半径；根据勾股定理逆定理得到圆心角的度数为90°，根据弧长公式可得．
【解答】解：（1）如图，连接BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点D，
则D点坐标为（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）；
（2）连接AD，AC，CD，
∵AD2＝22+42＝20，CD2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，AD＝2，
∴π，
答：的长为π．
【点评】本题主要考查垂径定理、弧长公式、勾股定理逆定理等，用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心．
18．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
（2）设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4．
（1）求⊙O的半径．
（2）A，B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
【分析】（1）连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，先根据垂径定理得到AF＝BF＝10，再利用勾股定理得到102+（r﹣4）2＝r2，然后解方程即可；
（2）先根据垂径定理得到，∠A＝∠DBA，再证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，所以DB＝DE＝DA，于是可判断A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
【解答】解：（1）连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，
∵AB⊥CD，
∴AF＝BFAB＝10，
在Rt△OBF中，102+（r﹣4）2＝r2，
解得r，
即⊙O的半径为；
（2）A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
理由如下：
∵AB⊥CD，
∴，
∴BD＝AD，∠A＝∠DBA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠C＝∠A，
∴∠C＝∠DBA，
∴∠DBA+∠ABE＝∠C+∠CBE，
∵∠DEB＝∠C+∠CBE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∴DB＝DE＝DA，
∴A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和垂径定理．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E在BC上，且BE＝DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）试判断DE与BC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠B＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）DEBC，理由见解析；
（3）124π．
【分析】（1）连接OD，先由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，再由等腰三角形的性质得∠A＝∠ODA，∠B＝∠EDB，则∠ODA+∠EDB＝90°，得∠ODE＝90°，即可得出结论；
（2）连接OE，证Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），得DE＝CE，则DE＝CE＝BE，即可得出结论；
（3）先由直角三角形的性质得∠A＝60°，ACAB＝4，BCAC＝12，再由圆周角定理得∠COD＝2∠A＝120°，由（2）得：Rt△ODE≌Rt△OCE，CEBC＝6，则阴影部分的面积＝四边形ODEC的面积﹣扇形OCD的面积，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OA＝OD，BE＝DE，
∴∠A＝∠ODA，∠B＝∠EDB，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：DEBC，理由如下：
连接OE，如图：
由（1）得：∠ODE＝∠C＝90°，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴DE＝CE，
∵BE＝DE，
∴DE＝CE＝BE，
∴DEBC；
（3）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝60°，ACAB＝4，BCAC＝12，
∴∠COD＝2∠A＝120°，
由（2）得：Rt△ODE≌Rt△OCE，CEBC＝6，
∵OCAC＝2，
∴阴影部分的面积＝四边形ODEC的面积﹣扇形OCD的面积＝226124π．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和圆周角定理以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若AC＝8，BC＝6，求线段BE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC＝∠OCA，加上∠OAC＝∠OCA，所以∠OAC＝∠DAC；
（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BCE＝45°，再利用圆周角定理得∠BOE＝2∠BCE＝90°，则∠OFE+∠OEF＝90°，易得∠CFP+∠OEF＝90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF＝90°，而∠OCF＝∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF＝∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；
（3）先在Rt△ACB中，根据勾股定理计算出AB＝10，则OB＝5，由（2）得到△BOE为等腰直角三角形，所以BEOB＝5．
【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，
∴∠OFE+∠OEF＝90°，
而∠OFE＝∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF＝90°，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，
而∠OCF＝∠OEF，
∴∠PCF＝∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；
（3）解：在Rt△ACB中，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∴OB＝5，
∵∠BOE＝90°，
∴△BOE为等腰直角三角形，
∴BEOB＝5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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