第25章 概率初步 单元预习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第25章 概率初步
一、选择题
1．（4分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件
C．确定事件 D．不可能事件
2．（4分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
3．（4分）在一个不透明的口袋中，装有3个红球，2个白球，除颜色不同外，其余都相同，则随机从口袋中摸出一个球为红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）
A．300条 B．380条 C．400条 D．420条
6．（4分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项：
颜色 数量（个） 奖项
红色 5 一等奖
黄色 6 二等奖
蓝色 9 三等奖
白色 10 四等奖
为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）某奥体中心的构造如图所示，其东、西面各有一个入口A、B，南面为出口C，北面分别有两个出口D、E．聪聪若任选一个入口进入，再任选一个出口离开，那么他从入口A进入并从北面出口离开的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
10．（4分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题
11．（5分）张强的身高将来会长到4米，这个事件的概率为　 　 ．
12．（5分）小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为　 　 ．
13．（5分）有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面写着1，2，3，4，5，现把它们正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽一张，则抽出的数字是偶数的概率是　 　 ．
14．（5分）一只盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 　 　 ．
15．（5分）从﹣4、﹣2、0、2、4这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的k值，则所得的方程中有两个相等的实数根的概率是　 　 ．
16．（5分）如图，第1个图有一个黑球；第2个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的两个球为黑色，其余为白色；第3个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则第n个图中随机取出一个球，是白球的概率是　 　 ．
三、解答题
17．（8分）如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡 发光的概率．
18．（8分）如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数y＝kx+b中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．
（1）写出k为负数的概率；
（2）求一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
19．（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
20．（10分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有 　 　 个．
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
21．（10分）端午节放假期间，小明和小华准备到巴马的水晶宫（记为A）、百魔洞（记为B）、百鸟岩（记为C）、长寿村（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．
（1）求小明选择去百魔洞旅游的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去长寿村旅游的概率．
22．（12分）现有A，B两个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、白球、绿球各1个，这些球除颜色外都相同，现分别从A，B两个盒子中任意摸出一个球．用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球中至少有一个红球的概率．
23．（12分）小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．
（1）求x+y的值；
（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．
24．（12分）2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典作的阅读，某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了两幅不完整的统计图．
（1）本次一共调查了多少名学生？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
第25章 概率初步
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件
C．确定事件 D．不可能事件
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
2．（4分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；
B、3个球都是白球是不可能事件；
C、3个球中有黑球是必然事件；
D、3个球中有白球是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（4分）在一个不透明的口袋中，装有3个红球，2个白球，除颜色不同外，其余都相同，则随机从口袋中摸出一个球为红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】让红球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【解答】解：袋子中球的总数为2+3＝5，红球有3个，则摸出红球的概率为，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（4分）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回试验．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是．
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
5．（4分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）
A．300条 B．380条 C．400条 D．420条
【答案】C
【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵100%＝5%，
∴20÷5%＝400（条）．
故选：C．
【点评】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答．
6．（4分）下表是某种抽奖活动中，封闭的抽奖箱中各种球的颜色、数量，以及它们所代表的奖项：
颜色 数量（个） 奖项
红色 5 一等奖
黄色 6 二等奖
蓝色 9 三等奖
白色 10 四等奖
为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用一等奖的数量除以所有的数量即可求得抽中一等奖的概率．
【解答】解：∵共有5+6+9+10＝30个球，为红色（一等奖）的有5个，
∴P（抽中一等奖），
故选：A．
【点评】此题主要考查了求概率问题；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
7．（4分）某奥体中心的构造如图所示，其东、西面各有一个入口A、B，南面为出口C，北面分别有两个出口D、E．聪聪若任选一个入口进入，再任选一个出口离开，那么他从入口A进入并从北面出口离开的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得聪聪从入口A进入展览厅并从北面出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树形图如图得：
由树形图可知所有可能的结果有6种，
设聪聪从入口A进入展览厅并从北面出口离开的概率是P，
∵聪聪从入口A进入展览厅并从北面出口离开的有2种情况，
∴P．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【解答】解：因为⊙O的直径为分米，则半径为分米，⊙O的面积为π（）2平方分米；
正方形的边长为1分米，面积为1平方分米；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）．
故选：A．
【点评】此题主要考查几何概率的意义，正多边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（4分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先判断出圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中，中心对称图形有圆，矩形2个；
则P（中心对称图形）．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，要弄清概率公式适用的条件方可解题：
（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
10．（4分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
【解答】解：根据菱形的判定定理，
可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③，
概率为．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形及概率，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
11．（5分）张强的身高将来会长到4米，这个事件的概率为　0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】世界上最高的人也长不到3米，张强的身高将来会长到4米，是一个不可能事件．
【解答】解：世界上最高的人的身高只有两米多，所以张强的身高将来会长到4米，这个事件的概率为0．
【点评】联系现实生活状况是解答本题的关键．必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1．
12．（5分）小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．
【解答】解：小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．
13．（5分）有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面写着1，2，3，4，5，现把它们正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽一张，则抽出的数字是偶数的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用概率公式即可直接求解．
【解答】解：1，2，3，4，5中偶数有2和4共2个．
则抽出的数字是偶数的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
14．（5分）一只盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 　m+n＝6　 ．
【答案】m+n＝6．
【分析】根据概率公式得到，然后利用比例性质得到m与n的关系．
【解答】解：根据题意得，
所以m+n＝6．
故答案为：m+n＝6．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（5分）从﹣4、﹣2、0、2、4这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的k值，则所得的方程中有两个相等的实数根的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝k2﹣4×4＝0，解得k＝±4，再判断所给5个数中﹣4，4满足条件，然后根据概率公式求解．
【解答】解：根据题意得Δ＝k2﹣4×4＝0，
解得 k＝±4，
所以﹣4，﹣2，0，2，4这5个数中有﹣4，4满足条件，
所以所得的方程中有两个相等的实数根的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了概率公式．
16．（5分）如图，第1个图有一个黑球；第2个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的两个球为黑色，其余为白色；第3个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则第n个图中随机取出一个球，是白球的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图示情况，得出黑球和白球出现的规律，求出第n个图中球的总数和黑球的个数，即可求出从第n个图中随机取出一个球，是白球的概率．
【解答】解：根据图示规律，第n个图中，黑球有n个，白球有0+1+2+3+4+5+…+（n﹣1），
则从第（n）个图中随机取出一个球，是白球的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，计算出球的总数和归纳出白球的个数是解题的关键．
三、解答题
17．（8分）如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡 发光的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意分析可得：随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，
共有3种情况：S1S2，S1S3，S2S3；能让灯泡发光的有S1S3、S2S3两种情况；
所以能让灯泡发光的概率为．
【解答】解：∵随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，共有3种情况：S1S2，S1S3，S2S3，
能让灯泡发光的有S1S3、S2S3两种情况．
∴能让灯泡发光的概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
18．（8分）如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数y＝kx+b中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数y＝kx+b中的b．
（1）写出k为负数的概率；
（2）求一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）让负数的个数除以数的总数即为所求的概率；
（2）列举出所有情况，看k为负数，b为正数的情况占所有情况的多少即可．
【解答】解：（1）k为负数的概率为；
（2）列树状图如下：
共6种情况，过一、二、四象限的有2种，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限的概率为．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意过一、二、四象限的一次函数的k为负数，b为正数．
19．（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出两次取出小球上的数字之和不小于4的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3，
所以两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）因为两次取出小球上的数字之和不小于4的结果数为6，
所以两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．（10分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有 　1　 个．
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】（1）先求出布袋里球的总个数，继而得出答案；
（2）先画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）∵布袋里球的总个数为24，
∴布袋里红球的个数为4﹣2﹣1＝1，
故答案为：1；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球的结果数为2，
所以两次摸到的球都是白球的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（10分）端午节放假期间，小明和小华准备到巴马的水晶宫（记为A）、百魔洞（记为B）、百鸟岩（记为C）、长寿村（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．
（1）求小明选择去百魔洞旅游的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去长寿村旅游的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小华都选择去长寿村旅游的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵小明准备到巴马的水晶宫（记为A）、百魔洞（记为B）、百鸟岩（记为C）、长寿村（记为D）的一个景点去游玩，
∴小明选择去百魔洞旅游的概率；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小华都选择去长寿村旅游的结果有1种，
∴小明和小华都选择去长寿村旅游的概率．
【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（12分）现有A，B两个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、白球、绿球各1个，这些球除颜色外都相同，现分别从A，B两个盒子中任意摸出一个球．用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球中至少有一个红球的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，摸摸出的两个球中至少有一个红球的结果有5种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有9种等可能的结果，摸出的两个球中至少有一个红球的结果有5种，
∴两个球中至少有一个红球的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（12分）小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．
（1）求x+y的值；
（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设这11个数字之和是20的a倍，先根据题意列出x+y和a之间的等量关系，再根据电话号码的数字最大数是9和最小数是0，得到0≤x+y≤18，解不等式根据a是整数即可求解；
（2）利用电话号码每个数位上的数是0﹣﹣9共10个数字可求得一次拨对电话的概率．
【解答】解：（1）设这11个数字之和是20的a倍，根据题意，得
1+3+9+x+3+7+y+5+8＝20a
即x+y＝20a﹣36
∵0≤x+y≤18
∴0≤20a﹣36≤18
解得1.8≤a≤2.7
∵a是整数
∴a＝2
∴x+y＝20×2﹣36＝4．
（2）共有5对数，一次打对号码的概率是．
【点评】主要考查了不等式组和方程的综合运用以及概率的求法．解题的关键是根据实际意义得到所需要的相等关系和不等关系利用未知数的整数值求解．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（12分）2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典作的阅读，某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了两幅不完整的统计图．
（1）本次一共调查了多少名学生？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
【答案】（1）50；（2）12；（3）．
【分析】（1）依据C部分的数据，即可得到本次一共调查的人数；
（2）依据总人数以及其余各部分的人数，即可得到B对应的人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次一共调查学生15÷30%＝50（名）；
（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7＝12，
如图所示：
（3）列表：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
∴恰好选中A和B的概率为．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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