第1章 特殊平行四边形 单元预习（含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 特殊平行四边形
一、选择题
1．（3分）在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（3分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（　　）
A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝CO
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D．AO＝CO＝BO＝DO
3．（3分）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形
4．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC
C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE
5．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．10
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
二、填空题
9．（3分）已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为　 　 ．
10．（3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　 　 ．
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　 　 ．
12．（3分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　 　 ．
13．（3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　 　 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　 　 点．
14．（3分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 　 　 cm2（用n的代数式表示）．
三、解答题
15．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积．
16．（6分）如图，在 ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形吗？为什么？
17．（6分）如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF．
18．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD内一点，△EDC是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AEF的度数．
20．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻折得到△ABF，连接AD．
（1）证明：四边形AFCD是菱形；
（2）连接BE并延长交AD于点G，连接CG交DE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的等腰三角形（不包括等边三角形）．
21．（8分）如图①，已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A，点G，E分别在AD和AB上．
（1）将正方形AEFG绕点A按顺时针旋转，判断命题“线段DF与BF的长始终相等”是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例．
（2）如图②，将正方形AEFG绕点A按顺时针旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与线段DG的长始终相等？请说明你的理由．
22．（9分）在图1﹣3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点．
（1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM＝MF；
（2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM＝MF；
（3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由）
第1章 特殊平行四边形
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．
2．（3分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（　　）
A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝CO
C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D．AO＝CO＝BO＝DO
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据AB＝BC，AO＝CO不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定的应用，注意：对顶角互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．（3分）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形
【答案】D
【分析】A、分析题意，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可作出判断；
B、根据“有一角是直角的平行四边形是矩形”可作出判断；
C、结合角平分线的定义和平行线的性质可得AF＝FD，再结合菱形的判定定理可作出判断；
D、如果AD⊥BC且AB≠AC不能得到AD平分∠BAC，再仿照C的方法进行判断，从而完成解答．
【解答】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，故不合题意；
根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形，故不合题意；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，由DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故不合题意；
如果AD⊥BC且AB≠AC，无法得到AD平分∠BAC，所以不能得到四边形AEDF是菱形，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题侧重考查矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键．
4．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC
C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE
【答案】C
【分析】分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解．
【解答】解：∵ABCD是正方形
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC
∵BF＝CE
∴△ABF≌△BCE
∴AF＝BE（第一个正确）
∠BAF＝∠CBE，∠BFA＝∠BEC（第三个错误）
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠BAF+∠BFA＝90°
∴∠DAF＝∠BEC（第二个正确）
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°
∴∠CBE+∠AFB＝90°
∴AG⊥BE（第四个正确）
所以不正确的是C，故选C．
【点评】此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．
5．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．10
【答案】A
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在Rt△BCO中，BO4，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDEDE BD＝24．
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
【答案】B
【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AE＝ED，设EF＝x，可得出方程，解方程即可．
【解答】解：设EF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴BDAB＝2，EF＝BF＝x，
∴BEx，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝ED，
∴BD＝BE+EDx+2＝2，
解得：x＝2，
即EF＝2；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF＝NF＝AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，
∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN＝CF，
在△ANP和△CFP中
∵，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP＝CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN＝BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF＝AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OAAC＝4，BOBD＝3，
由勾股定理得：AB5，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出P的位置和求出AB＝NF＝EP+FP，题目比较典型，综合性比较强，主要培养学生的计算能力．
8．（3分）如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】D
【分析】根据四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，每一步都踩在一块纸片的中心，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，进而可得这个小孩走的路线所围成的图形．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
根据题意，顺次连接四个正方形的中心得四边形EFGH，由对称性可知：∠FGH＝∠GHE＝∠GFE＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
连接DH，DG，CF，CG，
∴DH＝DG＝CF＝CG，
∵∠HDG＝∠FCG，
∴△HDG≌△FCG（SAS），
∴GH＝GF，
∴四边形EFGH是正方形，
所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
二、填空题
9．（3分）已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为　7.5cm　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知可求得较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线的长等于其边长．
【解答】解：相邻两个内角的度数之比是1：2，
∴两个相邻角度分别为60°、120°，
∵较长的对角线所对的角为120°，
∴较短的对角线所对的角为60°，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形，
那么较短的对角线长为30÷4＝7.5（cm）．
故答案为：7.5cm．
【点评】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用，难度一般，如果不熟练菱形的性质，解答本题的时候可以先画出草图．
10．（3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　13　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得DE＝AF＝5，BF＝AE＝8，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AB＝AD，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8，
∴EF＝AF+AE＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△DAE是本题的关键．
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　10　 ．
【答案】10．
【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝BD5，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OCAC，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为＝4OC＝410．
故答案为：10．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
12．（3分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设正方形的边长为x，则AC＝AEx，菱形的面积为底×高，x x＝9，可求出x的长为3．即正方形的边长为3．
【解答】解：设正方形的边长为x，
AC＝AEx，
CB＝x是菱形的高，
x x＝9，
x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的性质以及菱形面积公式等．
13．（3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　7　 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　E　 点．
【答案】见试题解答内容
【分析】①结合图形，找出第一次到达G点时走过的正方形的边长数即可得解；
②根据移动一圈的路程为8cm，用2012除以8，余数是几就从A开始走几厘米的距离，然后即可找出最后停的点．
【解答】解：①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，
所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，
2012÷8＝251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点．
故答案为：7，E．
【点评】本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．
14．（3分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 　　 cm2（用n的代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E，根据正方形的性质可得A1D＝A1E，四边形A1EFD是正方形，再根据同角的余角相等求出∠BA1D＝∠CA1E，然后利用“角边角”证明△A1BD和△A1CE全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的，然后根据正方形的面积列式计算即可．
【解答】解：如图，过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E，
∵点A1是正方形的中心，
∴A1D＝A1E，四边形A1EFD是正方形，
∴∠BA1D+∠BA1E＝90°，
又∵∠CA1E+∠BA1E＝90°，
∴∠BA1D＝∠CA1E，
在△A1BD和△A1CE中，
，
∴△A1BD≌△A1CE（ASA），
∴△A1BD的面积＝△A1CE的面积，
∴阴影部分的面积＝正方形A1EFD的面积12（cm2），
同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为cm2，
∴重叠部分的面积和（n﹣1）（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键．
三、解答题
15．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质证明即可．
（2）根据矩形的性质，直角三角形中30°角的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
AB∥CD．
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AC＝BE，
∴BD＝BE．
（2）解：在矩形ABCD中，BO＝1，
∴2×1＝2，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
∴CD＝OD＝1．
∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2．
在Rt△BCD中，，
∴四边形ABED的面积．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
16．（6分）如图，在 ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，然后结合已知条件利用SSS判定两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C＝90°，从而判定矩形．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BE＝CF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
（2）四边形ABCD是矩形；
证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
【点评】本题考查了全等三角形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难道不大．
17．（6分）如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB＝AC，然后求出∠BAE＝∠CAF，再利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而判断出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AEF＝60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠CEF＝∠BAE．
【解答】解：如图，连接AC，
在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，
∠CAF+∠EAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠B＝∠ACF＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴60°+∠CEF＝60°+20°，
解得∠CEF＝20°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
18．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质得出AB＝DC，∠A＝∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；
（2）先由（1）得出BM＝CM，再由已知条件证出ME＝MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN＝FN＝ME＝MF，得出四边形MENF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME＝BEBM，MF＝CFCM，
∴ME＝MF，
又∵N是BC的中点，
∴EN、FN是△BCM的中位线，
∴ENCM，FNBM，
∴EN＝FN＝ME＝MF，
∴四边形MENF是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD内一点，△EDC是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AEF的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）30°．
【分析】（1）由题意正方形ABCD的边AD＝DC，在等边三角形CDE中，CE＝DE，∠EDC等于∠ECD，即能证其全等．
（2）根据等边三角形、等腰三角形、平行线的角度关系，可以求得∠AFB的度数．
【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
又∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，∠EDC＝∠ECD＝60°，
∴∠ADE＝∠ECB，
∴△ADE≌△BCE（SAS）．
（2）解：∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，
∴CE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形，且顶角∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE（180°﹣30°）＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC＝75°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AFB﹣∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
【点评】本题考查了正方形、等边三角形、等腰三角形性质的综合运用，是涉及几何证明与计算的综合题，难度不大．
20．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻折得到△ABF，连接AD．
（1）证明：四边形AFCD是菱形；
（2）连接BE并延长交AD于点G，连接CG交DE于点H．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的等腰三角形（不包括等边三角形）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）需证明△ACD是等边三角形、△AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形；
（2）可先证四边形ABCG是平行四边形，再由∠ABC＝90°，可证四边形ABCG是矩形，根据矩形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC，
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，
∴AC＝AF，∠ABF＝∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴△AFC是等边三角形，
∴AF＝FC＝AC，
∴AD＝DC＝FC＝AF，
∴四边形AFCD是菱形；
（2）解：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，
∴∠EDC＝∠BAC∠FAC＝30°，且△ABC为直角三角形，
∴BCAC，
∵EC＝CB，
∴ECAC，
∴E为AC中点，
∴DE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AG∥BC，
∴∠EAG＝∠ECB，∠AGE＝∠EBC，
∴△AEG≌△CEB（AAS），
∴AG＝BC，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCG是矩形．
∴AE＝BE，GE＝CE，
∴AG＝BC＝BF＝DG，
∵EG＝AE＝AG，
∴GE＝DG，
∴图中的等腰三角形是△AEB和△CEG和△DGE．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键．
21．（8分）如图①，已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A，点G，E分别在AD和AB上．
（1）将正方形AEFG绕点A按顺时针旋转，判断命题“线段DF与BF的长始终相等”是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例．
（2）如图②，将正方形AEFG绕点A按顺时针旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与线段DG的长始终相等？请说明你的理由．
【答案】（1）是假命题；
（2）结论：DG＝BE，证明见解析部分．
【分析】（1）是假命题；
（2）结论：DG＝BE．连接BE，证明△ADG≌△ABE（SAS），可得结论．
【解答】解：（1）线段DF与BF的长始终相等是假命题，当点F落在AB上时，DF＞BF；
（2）如图，结论：DG＝BE．
理由：连接BE．
∵∠DAB＝∠AGE＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，
在△ADG和△ABE中，
，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG＝BE．
【点评】本题考查命题与定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（9分）在图1﹣3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点．
（1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM＝MF；
（2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM＝MF；
（3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）延长DM到N，证明△AMD≌△EMN，得到DM＝MN，M为直角三角形DFN的斜边DN中点，得到2FM＝DN，MF＝MD；
（2）延长DM到N，使MN＝MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．证明△DCF≌△NEF，即可得到线段MD，MF的位置及数量关系．
（3）旋转的过程中，△AMD≌△EMN仍然成立，故结论仍成立．
【解答】解：（1）MD＝MF
证明：延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE，
∴∠MAD＝∠NEM．
又∵MA＝ME，∠AMD＝∠NME，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM＝MN，
∴M为直角三角形DFN的中点，
∴2FM＝DN
∴MF＝MD．
（2）延长DM到N，
使MN＝MD，连接FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H．
∵MA＝ME，∠AMD＝∠EMN，MD＝MN，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠DAM＝∠MEN，AD＝NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF＝EF，AD＝DC，∠ADC＝90°，
∠CFE＝∠ADC＝∠FEG＝∠FCG＝90°．
∴DC＝NE．
∵∠DAM＝∠MEN，
∴AD∥EH．
∴∠H＝∠ADC＝90°．
∵∠G＝90°，∠HIC＝∠GIE，
∴∠HCI＝∠IEG．
∵∠HCI+∠DCF＝∠IEG+∠FEN＝90°，
∴∠DCF＝∠FEN．
∵FC＝FE，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFN＝90°，
∴FM⊥MD，MF＝MD．
（3）相等．
【点评】本题考查旋转的性质﹣﹣旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)