第3章 概率的进一步认识 单元预习（含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

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第3章 概率的进一步认识
一、选择题
1．（3分）在一个10万人的小镇，随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（　　）
A．0.0045 B．0.03 C．0.0345 D．0.15
2．（3分）下面有关概率的叙述，正确的是（　　）
A．因为购买彩票时有“中奖”与“不中奖”两种情形，所以购买彩票中奖的概率为
B．投掷一枚均匀的正方体骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投掷6次，肯定出现一次6点
C．投掷一枚图钉，钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同
D．某种彩票的中奖概率是1%，买100张这样的彩票一定会中奖
3．（3分）在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是（　　）
A．400个人中至少有两人生日相同
B．300个人至少有两人生日相同
C．2个人的生日不可能相同
D．2个人的生日很有可能相同
4．（3分）连掷五次骰子都得到4点，则第六次得到4点的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（　　）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
6．（3分）两道单项选择题都有A，B，C，D四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部选对的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图所示，同时自由转动两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，转盘停止后，两个指针同时落在奇数上的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（3分）口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.6，那么摸出黑球的概率是　 　 ．
10．（3分）随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现一次正面朝上与一次反面朝上的概率是　 　 ．
11．（3分）从1～4这4个数中任取一个数作分子，从2～4这3个数中任取一个数作分母，组成一个分数，则出现分子、分母互质的分数的概率是　 　 ．
12．（3分）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉120只黄羊，发现其中8只有标志．从而估计该地区有黄羊 　 　 只．
13．（3分）将分别标有数字1，2，3 的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上．随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍数的概率是　 　 ．
14．（3分）小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子”“布”“锤子”的方式确定．那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是 　 　 ．
三、解答题
15．（8分）某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有多少个？
16．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 　 　 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
17．（10分）某初级中学准备组织学生参加A、B、C三类课外活动，规定每班2人参加A类课外活动、3人参加B类课外活动、5人参加C类课外活动，每人只能参加一项课外活动，各班采取抽签的方式产生上报名单．假设该校每班学生人数均为40人，请给出下列问题的答案（给出结果即可）：
（1）该校某个学生恰能参加C类课外活动的概率是多少？
（2）该校某个学生恰能参加其中一类课外活动的概率是多少？
（3）若以小球作为替代物进行以上抽签模拟实验，一个同学提供了部分实验操作：①准备40个小球；②把小球按2：3：5的比例涂成三种颜色；③让用于实验的小球有且只有2个为A类标记、有且只有3个为B类标记、有且只有5个为C类标记；④为增大摸中某类小球的机会，将小球放入透明的玻璃缸中以便观察．你认为其中哪些操作是正确的？（指出所有正确操作的序号）
18．（10分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于4．
19．（10分）如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在函数y图象上的概率．
20．（12分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，读九年级哥哥想了一个办法，拿出8张扑克牌，将数字2、3、5、9的四张给了小敏，将数字4、6、7、8的四张扑克牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出两张牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）小敏知道哥哥设计的游戏规则不公平，于是她提议两人交换一张牌，使游戏规则公平后再进行比赛，你知道小敏是如何提议的吗？说说你的理由．
第3章 概率的进一步认识
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）在一个10万人的小镇，随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（　　）
A．0.0045 B．0.03 C．0.0345 D．0.15
【答案】D
【分析】由随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是：0.15；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（3分）下面有关概率的叙述，正确的是（　　）
A．因为购买彩票时有“中奖”与“不中奖”两种情形，所以购买彩票中奖的概率为
B．投掷一枚均匀的正方体骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投掷6次，肯定出现一次6点
C．投掷一枚图钉，钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同
D．某种彩票的中奖概率是1%，买100张这样的彩票一定会中奖
【答案】见试题解答内容
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【解答】解：A．是随机事件，0＜概率＜1，不一定是，错误；
B．是随机事件，不一定发生，错误；
C．因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，正确；
D．是随机事件，不一定发生，错误．
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．
3．（3分）在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是（　　）
A．400个人中至少有两人生日相同
B．300个人至少有两人生日相同
C．2个人的生日不可能相同
D．2个人的生日很有可能相同
【答案】A
【分析】根据相应事件的类型判断可能性即可．
【解答】解：2个人的生日可能相同，可能性比较小．故C，D错误．
一年最多有366天，所以300个人两人生日可能不相同，故B错误．
400个人中至少有两人生日相同，正确．故选A．
【点评】解决本题的关键是得到至少2人生日相同的天数应为367天．
4．（3分）连掷五次骰子都得到4点，则第六次得到4点的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】骰子共6面，掷到每一面的概率都是，前面掷到什么对后面的概率没有影响．
【解答】解：由于骰子共6面，则第六次得到4点的概率是，故选D．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（　　）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
【答案】A
【分析】设口袋中球的总数为x个，根据口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为列出算式，求出x的值即可．
【解答】解：设口袋中球的总数为x个，根据题意得：
，
解得：x＝12，
答：口袋中球的总数为12个；
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）两道单项选择题都有A，B，C，D四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部选对的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出这两道题恰好全部猜对的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种，
所以，两道题恰好全部猜对的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
7．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是．
故选：C．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）如图所示，同时自由转动两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，转盘停止后，两个指针同时落在奇数上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出所有情况，看两个指针同时落在奇数上的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
9 （1，9） （2，9） （3，9） （4，9） （5，9）
8 （1，8） （2，8） （3，8） （4，8） （5，8）
7 （1，7） （2，7） （3，7） （4，7） （5，7）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5）
1 2 3 4 5
∴一共有25种情况，两个指针同时落在奇数上的有9种情况，∴两个指针同时落在奇数上的概率是，故选D．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
9．（3分）口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.6，那么摸出黑球的概率是　0.2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用总的概率为1进而得出答案．
【解答】解：∵口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.6，
∴摸出黑球的概率是：1﹣0.2﹣0.6＝0.2．
故答案为：0.2．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确利用总的概率为1是解题关键．
10．（3分）随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现一次正面朝上与一次反面朝上的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中一次正面朝上、一次反面朝上的情况有2种，
∴出现一次正面朝上与一次反面朝上的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）从1～4这4个数中任取一个数作分子，从2～4这3个数中任取一个数作分母，组成一个分数，则出现分子、分母互质的分数的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】列举出所有情况，让出现分子、分母互质的分数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：画树形图得：
由图可知，一共有12种情况，其中分子、分母互质的分数的有7种情况，故概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
12．（3分）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉120只黄羊，发现其中8只有标志．从而估计该地区有黄羊 　300　 只．
【答案】300．
【分析】根据先捕捉120只黄羊，发现其中8只有标志．说明有标记的占到，而有标记的共有20只，根据所占比例解得．
【解答】解：20300（只），
答：估计该地区有黄羊300只．
故答案为：300．
【点评】此题考查了用样本估计总体；统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想．
13．（3分）将分别标有数字1，2，3 的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上．随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍数的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数恰好是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∴能组成的两位数是12，13，21，23，31，32．
∵共有6种等可能的结果，这个两位数恰好是3的倍数的有2种情况，
∴这个两位数恰好是3的倍数的概率为；
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子”“布”“锤子”的方式确定．那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是 　　 ．
【答案】．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
∴一共有27种等可能的情况，都出“布”的情况有1种，
∴在一回合中三个人都出“布”的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
15．（8分）某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有多少个？
【答案】18．
【分析】让球的总数×黄色玻璃球的概率即为所求的黄色玻璃球的球数．
【解答】解：黄球的概率为0.25，
故口袋中黄色玻璃球有0.25×72＝18（个）．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．部分数目＝总体数目乘以相应概率．
16．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 　　 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；
（2）画树状图如图：
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，
其中能使小灯泡发光的情况有6种，
小灯泡发光的概率是．
【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（10分）某初级中学准备组织学生参加A、B、C三类课外活动，规定每班2人参加A类课外活动、3人参加B类课外活动、5人参加C类课外活动，每人只能参加一项课外活动，各班采取抽签的方式产生上报名单．假设该校每班学生人数均为40人，请给出下列问题的答案（给出结果即可）：
（1）该校某个学生恰能参加C类课外活动的概率是多少？
（2）该校某个学生恰能参加其中一类课外活动的概率是多少？
（3）若以小球作为替代物进行以上抽签模拟实验，一个同学提供了部分实验操作：①准备40个小球；②把小球按2：3：5的比例涂成三种颜色；③让用于实验的小球有且只有2个为A类标记、有且只有3个为B类标记、有且只有5个为C类标记；④为增大摸中某类小球的机会，将小球放入透明的玻璃缸中以便观察．你认为其中哪些操作是正确的？（指出所有正确操作的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据概率的求法，找准两点：
（1）符合条件的情况数目；
（2）全部情况的总数；
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）根据题意分析可得：学生人数为40人，且5人参加C类课外活动，故其概率为；
（2）根据题意分析可得：学生人数为40人，且有2+3+5＝10人参加活动，故其概率为；
（3）①准备40个小球；与全班人数相符，正确；
②不应涂全部小球，错误；
③让用于实验的小球有且只有2个为A类标记、有且只有3个为B类标记、有且只有5个为C类标记；与课外活动小组的分配一致，正确；
④为增大摸中某类小球的机会，将小球放入透明的玻璃缸中以便观察，违背随机性原则，错误．
故操作是正确的是①，③．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
18．（10分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于4．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有4种，再计算概率；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：（1）如图：
两次取的小球的标号相同的情况有4种，
概率为P．
（2）如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率P．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率．
19．（10分）如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在函数y图象上的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，求出点（x，y）落在第二象限内的概率即可；
（2）找出点（x，y）落在函数y图象上的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
1 ﹣2 3
﹣1 （1，﹣1） （﹣2，﹣1） （3，﹣1）
2 （1，2） （﹣2，2） （3，2）
（1，） （﹣2，） （3，）
（1，） （﹣2，） （3，）
一共有12种等可能的结果，其中点（x，y）落在第二象限内的有2种，
∴P（点在第二象限）；
（2）P（点落在函数y图象上）．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（12分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，读九年级哥哥想了一个办法，拿出8张扑克牌，将数字2、3、5、9的四张给了小敏，将数字4、6、7、8的四张扑克牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出两张牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）小敏知道哥哥设计的游戏规则不公平，于是她提议两人交换一张牌，使游戏规则公平后再进行比赛，你知道小敏是如何提议的吗？说说你的理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出和为偶数的概率．
（2）游戏是否公平，交换一张牌使双方获胜的概率相等即可，使小敏和哥哥抽到奇数牌的概率等于抽到偶数牌的概率．
【解答】解：（1）法1，列表
小敏 哥哥 2 3 5 9
4 6 7 9 13
6 8 9 11 15
7 9 10 12 16
8 10 11 13 17
法2，画树状图
从上表可以看出共有16种可能的值，而其中偶数有6种，所以P（小敏去看比赛）；
（2）用小敏的任一张奇数牌交换哥哥的任一张偶数牌．
小敏手中有3张奇数牌，一张偶数牌，而哥哥手中有3张偶数牌，一张奇数牌．用小敏的任一张奇数牌交换哥哥的任一张偶数牌后，两人各有两张奇数牌和两张偶数牌．
P（小敏去看比赛）＝P（小敏和哥哥都抽到奇数牌）+P（小敏和哥哥都抽到偶数牌）＝0.5；
P（哥哥去看比赛）＝P（小敏抽到奇数牌而哥哥抽到偶数牌）+P（小敏抽到偶数牌而哥哥抽到奇数牌）＝0.5．
所以：用小敏的任一张奇数牌交换哥哥的任一张偶数牌后游戏是公平的．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．使游戏公平关键是使游戏双方获胜的概率相等．概率＝所求情况数与总情况数之比．
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