第21章 一元二次方程 单元预习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第21章 一元二次方程
一、选择题
1．（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x20 B．ax2+by+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
2．（4分）方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
3．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
4．（4分）若关于x的方程kx2+（k+1）x+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4＝0有一个根为0，则m的值等于（　　）
A．1 B．4 C．1或4 D．0
6．（4分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
7．（4分）已知：2是关于x的方程x2﹣（m+1）x+m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．4或5
8．（4分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为x m，可得方程（　　）
A．x（13﹣x）＝20 B．x 20
C．x（13x）＝20 D．x 20
9．（4分）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　）
A．x2+4x﹣15＝0 B．x2﹣4x﹣15＝0
C．x2+4x+15＝0 D．x2﹣4x+15＝0
10．（4分）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
11．（5分）当x＝　 　 时，方程（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝　 　 时，方程（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0是关于x的一元一次方程．
12．（5分）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝　 　 ．
13．（5分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
14．（5分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 　 　 ．
15．（5分）某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元．若设平均每月利润的增长率为x，则依题意可列方程（不必求解）　 　 ．
16．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是 　 　 （填序号）．
三、解答题
17．（8分）解方程：
（1）x（x+2）＝2+x；
（2）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1＝0．
18．（8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x1x2＝16，求a的值．
20．（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
21．（10分）北京申奥的成功，促进了一批产业的迅速发展．某通讯公司开发了一种新型通讯产品并投放市场，根据规划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少．该产品第一年的收入资金约为400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，则该产品收入的平均年增长率约是多少（结果精确到0.1，3.61）？
22．（10分）2018年非洲猪瘟疫情爆发后，猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．据统计：2019年7月20日猪肉价格比年初上涨了60%，某市民7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．
（1）2019年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1560元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，则每千克猪肉的售价应该下降多少元？
23．（12分）若规定两数a，b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
（1）求3※5的值．
（2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值．
24．（14分）如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．
（1）请你在图1中，画出2秒时的线段PQ；
（2）如图2，在动点P，Q运动的过程中，当运动时间t（s）为何值时，9PQ2＝4BF2？
（3）在动点P，Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由．
第21章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x20 B．ax2+by+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
B、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（4分）方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
【答案】C
【分析】先移项得到x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【答案】A
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（4分）若关于x的方程kx2+（k+1）x+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】先利用根的判别式得到k≠0且Δ＝（k+1）2﹣4k＝0，则可求出k＝1，所以方程变形为x2+2x+1＝0，然后利用配方法解方程即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（k+1）2﹣4k＝0，
解得k＝1，
方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4＝0有一个根为0，则m的值等于（　　）
A．1 B．4 C．1或4 D．0
【答案】B
【分析】先把x＝0代入方程求出m的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝4，m2＝1，
而m﹣1≠0，
所以m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．
6．（4分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【答案】D
【分析】首先根据题意可以设y＝2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【解答】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0，
设y＝2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，
∴y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2；
当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
7．（4分）已知：2是关于x的方程x2﹣（m+1）x+m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．4或5
【答案】C
【分析】将x＝2代入方程求得m的值，继而可还原方程，因式分解法求解得出x的值，根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案．
【解答】解：将x＝2代入方程得：4﹣2（m+1）+m＝0，
解得：m＝2，
则方程为x2﹣3x+2＝0，
即（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
当三角形的三边为1、1、2时，1+1＝2，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键
8．（4分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为x m，可得方程（　　）
A．x（13﹣x）＝20 B．x 20
C．x（13x）＝20 D．x 20
【答案】B
【分析】根据铁丝网的总长度为13m，长方形的面积为20m2，来列出关于x的方程，由题意可知，墙的对边为xm，则长方形的另一对边为m，则可利用面积公式求出即可．
【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x20．
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解题关键．
9．（4分）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　）
A．x2+4x﹣15＝0 B．x2﹣4x﹣15＝0
C．x2+4x+15＝0 D．x2﹣4x+15＝0
【答案】B
【分析】根据根与系数的方程，由甲把一次项系数看错可得到常数项c，由乙把常数项看错可得到一次项系数b，于是可确定原一元二次方程．
【解答】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，
∴﹣3×5＝c，即c＝﹣15，
∵乙把常数项看错了，解得两根为2和2，
∴2+2＝﹣b，即b＝﹣4，
∴原方程为x2﹣4x﹣15＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
10．（4分）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2，由x2＝2x1得出3x1，即x1，可解出x2，由两根之积可得acb2，代入代数式即可得到4b﹣3ac（b﹣3）2+6，从而求得4b﹣3ac的最大值是6．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2，x1x2，
∵x2＝2x1，
∴3x1，即x1，
∴x2，
∴，
∴acb2，
∴4b﹣3ac＝4b﹣3b2＝4bb2（b﹣3）2+6，
∵0，
∴4b﹣3ac的最大值是6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1+x2，x2＝2x1，得出x1，代入方程得到acb2是解决问题的关键．
二、填空题
11．（5分）当x＝　0　 时，方程（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝　3　 时，方程（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0是关于x的一元一次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，可得答案．
【解答】解：（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0，
x2a2+xa﹣9x2+3x+5＝0，
方程（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0不是关于a的一元二次方程，x2＝0
解得：x＝0；
方程（a2﹣9）x2+（a+3）x+5＝0是关于x的一元一次方程，
a2﹣9＝0且a+3≠0，
解得a＝3．
故答案为：0，3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
12．（5分）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将已知根代入原方程即可求得m的值．
【解答】解：把x＝2代入一元二次方程x2﹣4x+m＝0中得：
（2）2﹣4（2）+m＝0，
解得m＝1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；此题中容易错的地方是无理数的平方运算，无理数的基本运算技能要掌握．
13．（5分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　k　 ．
【答案】k．
【分析】讨论：当k＝0时，方程化为﹣3x+1＝0，方程有实数解；当k≠0时，根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，解得k且k≠0，然后综合两种情况得到k的范围．
【解答】解：当k＝0时，方程化为﹣3x+1＝0，解得x；
当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，解得k且k≠0，
综上所述，k的范围为k．
故答案为：k．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（5分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 　7或6　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】讨论：当m＝n时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，则k＝7；当m＝4时，根据根与系数的关系得4+n＝6，4n＝k+2，解得n＝2，k＝6；当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6．
【解答】解：当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝7，
∵m+n＝6＞4，
∴k＝7满足条件；
当m＝4时，4+n＝6，4n＝k+2，
解得n＝2，k＝6，
当n＝4时，同理可得m＝2，k＝6，
综上所述，k的值为7或6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
15．（5分）某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元．若设平均每月利润的增长率为x，则依题意可列方程（不必求解）　25[1+（1+x）+（1+x）2]＝82.75　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设利润平均月增长率为x，根据“第一季度的利润是82.75万元”，可得出方程．
【解答】解：设利润平均每月的增长率为x，
又知：第一季度的利润是82.75万元，
所以可列方程为：25[1+（1+x）+（1+x）2]＝82.75；
故答案为：25[1+（1+x）+（1+x）2]＝82.75．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
16．（5分）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是 　①③　 （填序号）．
【答案】①③．
【分析】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．
【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
三、解答题
17．（8分）解方程：
（1）x（x+2）＝2+x；
（2）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据配方法，可得答案；
【解答】解：（1）x（x+2）＝2+x；
（x+2）（x﹣1）＝0
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（2）3x2﹣6x﹣1＝0．
3（x2﹣2x）＝1
3（x﹣1）2＝1+3
（x﹣1）2，
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
18．（8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x＝3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）由题意得，a＝1，b＝2m，c＝m2﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1＝0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1＝0，
解得，m＝﹣4或m＝﹣2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x1x2＝16，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
20．（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，利用今年五月份完成投递的快递总件数＝今年三月份完成投递的快递总件数×（1+该快递公司投递快递总件数的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）求出今年6月份的快递投递任务及20名快递投递业务员一个月的最大投递量，比较后可得出该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，设需要增加y名快递投递员，根据一个月的投递量不少于13.31万件，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），
∵0.6×20＝12（万件），12＜13.31，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名快递投递员，
依题意得：0.6（20+y）≥13.31，
解得：y，
又∵y为正整数，
∴y的最小值为3．
答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）北京申奥的成功，促进了一批产业的迅速发展．某通讯公司开发了一种新型通讯产品并投放市场，根据规划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少．该产品第一年的收入资金约为400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，则该产品收入的平均年增长率约是多少（结果精确到0.1，3.61）？
【答案】见试题解答内容
【分析】因为该公司第一年投入600万元，第二年投入600（1）万元，第三年投入600×（1）（1）万元，第一年的收入资金约为400万元，若设该产品收入的增长率为x，则第二年的收入为400（1+x）万元，第三年的收入为400（1+x）2万元，又因三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，所以可列方程400+400（1+x）+400（1+x）2＝（600+600600）（1），解之即可求解．
【解答】解：设该产品的平均年增长率为x，由题意得
400+400（1+x）+400（1+x）2＝（600+600600）（1）
整理得x2+3x﹣1＝0
解得：（不合题意舍去），30.5%
答：三年内该产品收入的年平均增长率为30.5%．
【点评】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意解的合理性．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
22．（10分）2018年非洲猪瘟疫情爆发后，猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．据统计：2019年7月20日猪肉价格比年初上涨了60%，某市民7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．
（1）2019年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1560元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，则每千克猪肉的售价应该下降多少元？
【答案】（1）每千克50元；
（2）3元．
【分析】（1）设2019年年初猪肉的价格为每千克x元，根据2019年7月20日猪肉价格比年初上涨了60%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设每千克猪肉的售价应该下降y元，则每千克的销售利润为（80﹣y﹣65）元，平均一天能销售出（100+10y）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可得出每千克猪肉的售价应该下降3元．
【解答】解：（1）设2019年年初猪肉的价格为每千克x元，
依题意得：（1+60%）x＝80，
解得：x＝50．
答：2019年年初猪肉的价格为每千克50元．
（2）设每千克猪肉的售价应该下降y元，则每千克的销售利润为（80﹣y﹣65）元，平均一天能销售出（100+10y）千克，
依题意得：（80﹣y﹣65）（100+10y）＝1560，
整理得：y2﹣5y+6＝0，
解得：y1＝2，y2＝3，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝3．
答：每千克猪肉的售价应该下降3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（12分）若规定两数a，b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
（1）求3※5的值．
（2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据新定义写出式子，并计算求值，（2）根据新定义写出一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根．
【解答】解：（1）原式＝4×3×5＝60．
（2）依题意可以列方程：
4x2+8x﹣32＝0
x2+2x﹣8＝0
（x+4）（x﹣2）＝0
x+4＝0或x﹣2＝0
∴x1＝﹣4，x2＝2．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题是根据新定义写出式子计算求值，（2）题是根据新定义写出一元二次方程，然后用因式分解法求出方程的根．
24．（14分）如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．
（1）请你在图1中，画出2秒时的线段PQ；
（2）如图2，在动点P，Q运动的过程中，当运动时间t（s）为何值时，9PQ2＝4BF2？
（3）在动点P，Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）t．
（3）t的值为或．
【分析】（1）根据题意画出图形即可．
（2）构建方程求解即可．
（3）分三种情形，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段PQ即为所求作．
（2）由题意，9（t2+62）＝4（62+82），
解得t．
（3）如图2中，作QS⊥FE于S，则PS＝2t﹣t＝t，
在Rt△PSQ中，QP2＝QS2+PS2，即QP2＝62+t2，
①当PB＝PQ时，QP2＝62+t2，PB2＝62+（8﹣2t）2；
解得，t或8（舍去）；
②当QB＝QP时，QP2＝62+t2，QB＝8﹣t；
解得，t；
③当BP＝BQ时，PB2＝62+（8﹣2t）2，QB＝8﹣t；
整理得，3t2﹣16t+36＝0，Δ＝256﹣36×12＜0；
∴无解．
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，坐标与图形变化﹣平移，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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