第22章 二次函数 单元预习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一、选择题
1．（4分）下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝4x C． D．y＝﹣x2
2．（4分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
3．（4分）对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
4．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，OA＝OC，则（　　）
A．ac+1＝b B．ab+1＝c
C．bc+1＝a D．以上都不是
5．（4分）把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣3x+5，则（　　）
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝﹣9，c＝﹣5 D．b＝﹣9，c＝21
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
8．（4分）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6为如图中四个图象之一，则a的值为（　　）
A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6 D．﹣1
9．（4分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
10．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为y cm2，MA的长度为x cm，则y与x之间的函数关系大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（5分）二次函数y＝﹣3（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标为　 　 ．
12．（5分）有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为　 　 ，自变量x的取值范围为　 　 ．
13．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为　 　 ．
14．（5分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　 　 m才能停下来．
15．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是 　 　 ．
16．（5分）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为　 　 ．
三、解答题
17．（8分）已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b，c的值；
（2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象；
（3）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，2），试确定平移的方向和平移的距离．
19．（8分）当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用h＝﹣5t2+150t+15表示．经过多长时间火箭达到最大高度？最大高度是多少？
20．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式．
21．（10分）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式及自变量的取值范围；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是多少？
（3）要使生产总量增加300件，则机器增加的台数应该是多少台？
22．（12分）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+0.9．
（1）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
（2）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出t的取值范围　 　 ．
23．（12分）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，日获利润为750元？
（4）当销售单价为多少元时，该公司日获利润最大？最大利润是多少元？
24．（14分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）
（1）求b，c满足的关系式；
（2）求函数图象的顶点坐标（用含b的代数式表示）
（3）若b＞0时且该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝﹣3x B．y＝4x C． D．y＝﹣x2
【答案】A
【分析】根据函数的单调性即可解答．
【解答】解：A、∵k＝﹣3＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小；
B、∵k＝4＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
C、∵k＝﹣2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
D、∵a＝﹣1＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数的单调性．其中正比例函数，反比例函数，二次函数的单调性要熟练掌握．
2．（4分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】A
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点时，
∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
3．（4分）对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【答案】C
【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再根据二次函数的性质进行解答．
【解答】解：二次函数y＝2（x+1）（x﹣3）可化为y＝2（x﹣1）2﹣8的形式，
A、∵此二次函数中a＝2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；
B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误；
C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x＝1，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．
4．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，OA＝OC，则（　　）
A．ac+1＝b B．ab+1＝c
C．bc+1＝a D．以上都不是
【答案】A
【分析】由OA＝OC可以得到点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），把点A的坐标代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，c（ac﹣b+1）＝0，然后即可推出ac+1＝b．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），
∴把点A的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c＝0，
∴c（ac﹣b+1）＝0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1＝0，
∴ac+1＝b．
故选：A．
【点评】此题考查了点与函数的关系，解题的关键是灵活应用数形结合思想．
5．（4分）把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣3x+5，则（　　）
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝﹣9，c＝﹣5 D．b＝﹣9，c＝21
【答案】A
【分析】可逆向求解，将y＝x2﹣3x+5向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线即为y＝x2+bx+c，进而可判断出b、c的值．
【解答】解：y＝x2﹣3x+5＝（x）2，将其向上平移2个单位，得：y＝（x）2．
再向左平移3个单位，得：y＝（x）2x2+3x+7．
因此b＝3，c＝7．
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据图象开口向上可知a＞0，而对称轴x0，由此可以判定①；
②根据对称轴，知x＝1和x＝3关于直线x＝2对称，从而得到它们对应的函数值相等；
③把x＝﹣1，x＝3代入函数，求得a，b，解方程组即可求出4a+b的值；
④根据图象可得当y＝2时，x的值不可能是0．
【解答】解：①由图象开口向上，则a＞0，
∵对称轴x0，
∴b＜0，
∴a、b异号，故此选项不合题意；
②∵对称轴为直线x2，
∴直线x＝1和直线x＝3关于直线x＝2对称，
∴它们对应的函数值相等，故此选项符合题意；
③由x2，整理得4a+b＝0，故此选项符合题意；
④由图象可得当y＝2时，x的值不可能可取0，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定．
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
【答案】B
【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1 与y2的大小．
【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．
8．（4分）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6为如图中四个图象之一，则a的值为（　　）
A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6 D．﹣1
【答案】D
【分析】由b＞0，排除前两个图象，第三个图象a＞0，0，推出b＜0，与已知矛盾排除，从而抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，再求a的值．
【解答】解：∵图1和图2表示y＝0时，有1和﹣1两个根，代入方程能得出b＝﹣b，即b＝0，不合题意，
∴排除前两个图象；
∵第三个图象a＞0，又0，
∴b＜0，与已知矛盾排除，
∴抛物线y＝ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，
由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
∴a2﹣5a﹣6＝0，解得a＝﹣1或6，
∵a＜0，∴a＝﹣1．
故选：D．
【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口方向，经过原点，利用这两个条件即可求出a的值．
9．（4分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【答案】C
【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．
【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，Δ＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．
10．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为y cm2，MA的长度为x cm，则y与x之间的函数关系大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
【解答】解：当x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：yx2，是一个开口向上的二次函数；
当x＞2时，重合部分是直角梯形，
面积为：y＝2（x﹣2）2，是一个开口向下的二次函数．
所以选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
二、填空题
11．（5分）二次函数y＝﹣3（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标为　（3，1）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x﹣3）2+1，
∴该函数图象的顶点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（5分）有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为　s＝（a﹣2x）（b﹣2x）　 ，自变量x的取值范围为　0＜x　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为四周镶上宽度相等的花边，所以剩余长方形的长为（a﹣2x），宽为（b﹣2x），利用长方形的面积公式：长×宽，可表示出函数关系式；2x应该小于宽b，可求得x的上限，下限为x＞0，所以可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：剩余长方形的长为（a﹣2x），宽为（b﹣2x），
则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为：s＝（a﹣2x）（b﹣2x）．
∵x＞0，2x＜b
∴自变量x的取值范围为0＜x．
故答案为：s＝（a﹣2x）（b﹣2x）；0＜x．
【点评】主要考查了二次函数的实际运用．用含x的代数式表示出长和宽，再根据长方形的面积公式即可表示出二次函数的解析式．
13．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出点C的坐标，即可求出AC的长．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2x，
令y＝x2x0，
解得x1＝﹣2，x2，
则点C的坐标为（，0），
即AC长为（﹣2），
故答案为
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，此题难度不大．
14．（5分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　600　 m才能停下来．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴y最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止．
故答案为：600．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
15．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是 　﹣6＜m＜0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）和（﹣1，0），可以求出a、b、c之间的等量关系，再根据顶点在第四象限，可以求出a与b的关系．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）、（﹣1，0），
∴c＝﹣3，a﹣b+c＝0，
即b＝a﹣3，
∵顶点在第四象限，
∴0，0，
又∵a＞0，
∴b＜0，
∴b＝a﹣3＜0，即a＜3，
b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0
∵a﹣b+c＝0，
∴a+b+c＝2b＜0，
∴a+b+c＝2b＝2a﹣6，
∵0＜a＜3，
∴a+b+c＝2b＝2a﹣6＞﹣6，
∴﹣6＜a+b+c＜0．
∴﹣6＜m＜0．
故答案为：﹣6＜m＜0．
【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，此题要求学生熟悉二次函数与一元二次方程的关系和图象与坐标轴交点的含义，并熟练运用．
16．（5分）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．
【解答】解：函数的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x有恰好有三个，
∴k＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
三、解答题
17．（8分）已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即Δ＞0即可；
（2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
【解答】证明：（1）令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0①
∵Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0（3分）
∴方程①有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点（4分）；
（2）令：x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+4（5分）
解得m＝﹣1或﹣1（9分）．
（说明：少一个解扣2分）
【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式的关系．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b，c的值；
（2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象；
（3）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，2），试确定平移的方向和平移的距离．
【答案】（1）；
（2）函数图象见解答部分；
（3）将抛物线向下平移13个单位．
【分析】（1）把（4，3），（3，0）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把二次函数的解析式配成顶点式y＝（x﹣2）2﹣1，然后确定顶点坐标和对称轴，再画出函数图象；
（3）计算出自变量为﹣2对应的二次函数值，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
【解答】解：（1）将（4，3），（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，
解得：，
（2）二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为（2，﹣1），对称轴是直线x＝2，如图所示；
（3）把x＝﹣2代入y＝x2﹣4x+3得（﹣2）2﹣4×（﹣2）+3＝15，
点（﹣2，15）向下平移13个单位得到点（﹣2，2），
所以需将抛物线向下平移13个单位．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．（8分）当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用h＝﹣5t2+150t+15表示．经过多长时间火箭达到最大高度？最大高度是多少？
【答案】经过15s，火箭达到最大高度，最大高度为1140米．
【分析】把抛物线解析式从一般形式化为顶点式后直接解答即可．
【解答】解：h＝﹣5t2+150t+15，
化为h＝﹣5（t﹣15）2+1140，
∵﹣5＜0，
∴t＝15时，h最大，最大值为1140，
∴经过15s，火箭达到最大高度，最大高度为1140米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，用配方法求出函数的最大值即可．
20．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接把A点坐标代入y＝（x﹣2）2+m中秋出m即可得到二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线x＝2，再求出C点坐标，接着利用对称性得到B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得1+m＝0，解得m＝﹣1，
所以二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝0时，y＝（x﹣2）2﹣1＝3，则C（0，3），
因为点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点，
所以B点坐标为（4，3），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把A（1，0），B（4，3）代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝x﹣1．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
21．（10分）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式及自变量的取值范围；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是多少？
（3）要使生产总量增加300件，则机器增加的台数应该是多少台？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意增加x台机器，每台每天将少生产4x件产品，生产量为（160﹣4x）件，此时机器数为（20+x）台，每天生产总量可求出；根据题意要提高生产总量，所以y＞160×20＝3200，结合函数图象可求出x的取值范围；
（2）根据函数性质和顶点坐标公式求最值；
（3）生产总量增加300件，即y＝3200+300＝3500，解方程求解．
【解答】解：（1）y＝（20+x）（160﹣4x）＝﹣4x2+80x+3200，（0＜x＜40，且x是整数）；
（2）y＝﹣4x2+80x+3200＝﹣4（x﹣10）2+3600，
因为﹣4＜0，
所以当x＝10时，y最大＝3600．
即增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件．
（3）生产总量增加300件，
即y＝3200+300＝3500，
解方程﹣4x2+80x+3200＝3500，得x1＝5，x2＝15，
所以要使生产总量增加300件，则机器增加的台数应该是5台或15台．
【点评】此题求自变量的取值范围较难点，运用二次函数的性质结合图象、解方程解决二次不等式的问题，渗透了数形结合、方程与函数的解题思想和方法．
22．（12分）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+0.9．
（1）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
（2）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出t的取值范围　1＜t＜5．　 ．
【答案】（1）1.8米；
（2）1＜t＜5．
【分析】（1）根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得小华的身高；
（2）根据二次函数具有对称性可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（1，1.4），顶点的横坐标为x＝3，
则，
解得，a＝﹣0.1，b＝0.6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9，
当x＝3时，y＝﹣0.1×32+0.6×3+0.9＝1.8，
即小华的身高是1.8米；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，
∴身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶时t的取值范围是：
1＜t＜5，
故答案为：1＜t＜5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．（12分）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，日获利润为750元？
（4）当销售单价为多少元时，该公司日获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润＝单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）令w＝750求解一元二次方程即可得到正确的答案；
（4）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得，
解得：k＝﹣2，b＝200，
∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000；
（3）根据题意得：﹣2x2+260x﹣6450＝750，
解得：x＝40或x＝90（舍去）
答：当销售单价为40元时，日获利润为750元；
（4）w＝﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
24．（14分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）
（1）求b，c满足的关系式；
（2）求函数图象的顶点坐标（用含b的代数式表示）
（3）若b＞0时且该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【答案】（1）c＝2b；
（2）（，2b）；
（3）b＝2或b＝6．
【分析】（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）当b＞0时，c＞0，△≤0，解得0＜b≤8，在此情况下分三种情况：①当当﹣21时，函数有最小值2b，函数有最大值25﹣3b；②当﹣52时，函数有最小值2b，函数有最大值1+3b；③当5时，函数有最小值25﹣3b，函数有最大值1+3b，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4），
∴4﹣2b+c＝4，
∴c＝2b；
（2）∵y＝x2+bx+2b＝（x）2+2b，
∴函数图象的顶点坐标为（，2b）；
（3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线x，
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
①当﹣21时，函数有最小值2b，函数有最大值25﹣3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴25﹣3b+2b16，
∴b＝2或b＝18（舍）；
②当﹣52时，函数有最小值2b，函数有最大值1+3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴1+3b+2b16，
∴b＝6或b＝﹣10（舍）；
③当5时，函数有最小值25﹣3b，函数有最大值1+3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴1+3b﹣25+3b＝16，
∴b（舍）；
综上所述b＝2或b＝6．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．
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