1.1三角形中的线段和角讲义-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）

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1.1三角形中的线段和角讲义-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）
知识梳理
三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
精选题练习
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 榆树市期末）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 望城区期末）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
3．（2024秋 谯城区期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024秋 樊城区期末）如图，△ABC中AB边上的高线为（　　）
A．AD B．CE C．AF D．BG
5．（2024秋 惠民县期末）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．19
6．（2024秋 莱阳市期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别延长BC至点D，使得CD＝BC，延长CA至点E，使得AE＝AC，延长AB至点F，使得BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．（2025春 泌阳县月考）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025春 栾城区校级期末）如图，AD是△ABC边上的中线，CE是AB边上的高，AB＝4，S△ADC＝6，CE＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共8小题）
9．（2025 高新区模拟）已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 　 　 ．
10．（2024秋 召陵区期末）若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　 　 ．
11．（2024秋 霍林郭勒市期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为 　 　 ．
12．（2024秋 桓台县校级月考）如图，已知AD是△ABC的中线，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD和△ACD的周长之差为 　 　 ，△ABD和△ACD的面积之差为 　 　 ．
13．（2024秋 红花岗区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若△BDE的面积为2，AD＝3，BD＝4，则DE的长为 　 　 ．
14．（2024秋 东莞市期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　 cm2．
15．（2024秋 武威期中）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线．若S△DEB＝3cm2，则S△ABC＝ 　 　 cm2．
16．（2023秋 平桥区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝　 　 ，△APE的面积等于10．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 山阳县期末）如图，已知AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多4，且AB＝13．求AC的长．
18．（2025春 定陶区期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm）
19．（2024秋 永善县期中）若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）若第三边长c是整数，求c的值．
20．（2024秋 鄱阳县校级期中）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．
21．（2024秋 双辽市期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框．
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由；
（2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4cm和CD＝8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
22．（2024秋 广阳区校级月考）如图所示，AE＝ED，，S△ABC＝21平方厘米．求阴影部分的面积．
23．（2024秋 鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，CD为△ABC的高．
（1）求△ABC的面积和CD的长；
（2）若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB、BC运动，到达点C后即刻停止运动．设运动时间为t s，则当t为何值时，△PAC的面积为6cm2？
1.1三角形中的线段和角讲义-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B D B B D
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 榆树市期末）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意；
B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意；
C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意；
D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意；
故选：D．
2．（2024秋 望城区期末）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
3．（2024秋 谯城区期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设该三角形第三边的长是x，
∴5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
∴该三角形第三边的长不可能是2．
故选：A．
4．（2024秋 樊城区期末）如图，△ABC中AB边上的高线为（　　）
A．AD B．CE C．AF D．BG
【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于E，
∴△ABC中AB边上的高线是线段CE．
故选：B．
5．（2024秋 惠民县期末）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．19
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a为整数，
∴a的最大值为9，
则三角形的最大周长为9+3+7＝19．
故选：D．
6．（2024秋 莱阳市期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别延长BC至点D，使得CD＝BC，延长CA至点E，使得AE＝AC，延长AB至点F，使得BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：如图，连接AD、BE、CF．
∵AE＝AC，
∴S△ABE＝S△ABC＝1，
∵BF＝AB，
∴S△BEF＝S△ABE＝1，
∴S△AEF＝S△ABE+S△BEF＝1+1＝2，
同理可得，S△BDF＝2，S△CDE＝2，
∴S阴影＝S△AEF+S△BDF+S△CDE＝2+2+2＝6．
故选：B．
7．（2025春 泌阳县月考）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形，
故选：B．
8．（2025春 栾城区校级期末）如图，AD是△ABC边上的中线，CE是AB边上的高，AB＝4，S△ADC＝6，CE＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵AD是中△ABC边上的中线，S△ADC＝6，
∴S△ABC＝2S△ADC＝2×6＝12，
∵CE是AB边上的高，AB＝4，
∴，2CE＝12，CE＝6，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 高新区模拟）已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 　6（答案不唯一）　 ．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜x＜7+5，
∴2＜x＜12，
∴x可能的取值可以是6（答案不唯一）．
故答案为：6（答案不唯一）．
10．（2024秋 召陵区期末）若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　2（答案不唯一）　 ．
【解答】解：∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝3，b＝2，
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，
∴第三边长c可能是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
11．（2024秋 霍林郭勒市期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为 　3　 ．
【解答】解：作EF⊥BC，
∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABDS△ABC，S△BDES△ABD，S△BDES△ABC，
∵△ABC的面积为30，BD＝5，
∴S△BDEBD EF5 EF30，
解得EF＝3，
故△BDE中BD边上的高为3．
故答案为：3．
12．（2024秋 桓台县校级月考）如图，已知AD是△ABC的中线，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD和△ACD的周长之差为 　2cm　 ，△ABD和△ACD的面积之差为 　0cm2　 ．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝5cm，AC＝3cm，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝5﹣3＝2（cm）．
又，
∴S△ABD﹣S△ACD＝0，即△ABD和△ACD的面积之差为0cm2．
故答案为：2cm；0cm2．
13．（2024秋 红花岗区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若△BDE的面积为2，AD＝3，BD＝4，则DE的长为 　　 ．
【解答】解：如图，过D作DF⊥BE，垂足为F．
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中利用勾股定理，得BA5，
∵BE＝BA，
∴BE＝5，
∵△BDE的面积为2，
∴BE DF＝2，即5DF＝2，
∴DF，
∵∠C+∠A＝90°，∠EDF+∠E＝90°，
∴∠C+∠A＝∠EDF+∠E，
∵∠E＝∠C，
∴∠A＝∠EDF，
∴cos∠A＝cos∠EDF，即，
∴，
∴DE．
故答案为：．
14．（2024秋 东莞市期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　1　 cm2．
【解答】解：∵点F分别为CE的中点，
∴，
∵点E分别为AD的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（cm2），则（cm2），
故答案为：1．
15．（2024秋 武威期中）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线．若S△DEB＝3cm2，则S△ABC＝ 　12　 cm2．
【解答】解：∵DE是△ABD的中线，S△DEB＝3cm2，
∴S△DAB＝2S△DEB＝2×3＝6（cm2），
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△DAB＝2×6＝12（cm2），
所以S△ABC的面积为12cm2．
故答案为：12．
16．（2023秋 平桥区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝　或或　 ，△APE的面积等于10．
【解答】解：如图1，当点P在AC上，
∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，
∴CE＝4，AP＝2t．
∵△APE的面积等于10，
∴S△APEAP CEAP×4＝10，
∵AP＝5，
∴t．
如图2，当点P在BC上，
∵E是DC的中点，
∴BE＝CE＝4．
∵BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t．
∴SEP AC EP×6＝10，
∴EP，
∴t＝3+4或t＝3+4．
总上所述，当t或或时△APE的面积会等于10，
故答案为或或．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 山阳县期末）如图，已知AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多4，且AB＝13．求AC的长．
【解答】解：∵AD是BC边上中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长比△ADC的周长大4，且AB＝13．
∴13﹣AC＝4，
∴AC＝9．
18．（2025春 定陶区期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm）
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
∵AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．
19．（2024秋 永善县期中）若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）若第三边长c是整数，求c的值．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5；
（2）∵c是整数，
∴c的值为2，3，4．
20．（2024秋 鄱阳县校级期中）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．
【解答】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD，
∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，
∴BD﹣BC＜AD﹣AB，
21．（2024秋 双辽市期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框．
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由；
（2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4cm和CD＝8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
【解答】解：（1）第一段的长不能为3cm；
理由如下：
根据题意，第一段长a cm，第二段的长（3a﹣2）cm，第三段的长为[12﹣a﹣（3a﹣2）]＝（14﹣4a）cm，
当a＝3cm时，3a﹣2＝7cm，14﹣4a＝2cm，
∵3+2＜7，
∴三个木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3cm；
（2）设CP＝x cm，则PD＝（8﹣x）cm，
∵AB、CP、PD能组成三角形，
∴x+4＞8﹣x且4+8﹣x＞x，
解得2＜x＜6，
∴整数x为3或4或5，
即符合条件的CP的整数长度为3cm或4cm或5cm．
22．（2024秋 广阳区校级月考）如图所示，AE＝ED，，S△ABC＝21平方厘米．求阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接DF，
∵AE＝ED，
∴S△ABE＝S△BDE，S△AEF＝S△DFE，
∴S△ABE+S△AEF＝S△BDE+S△DFE，
即S△ABF＝S△BDF，
∵，
∴S△BDF＝S△ABF＝3S△DCF，
∴S△ABC＝S△BDF+S△ABF+S△DCF＝7S△DCF＝21平方厘米，
∴S△DCF＝3平方厘米，
∴S△BDF＝9平方厘米，
即阴影部分的面积为9平方厘米．
23．（2024秋 鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，CD为△ABC的高．
（1）求△ABC的面积和CD的长；
（2）若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB、BC运动，到达点C后即刻停止运动．设运动时间为t s，则当t为何值时，△PAC的面积为6cm2？
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴，
又∵AB＝10cm，CD为△ABC的高，
∴，
∴CD＝4.8cm，
答：△ABC的面积为24cm2，CD的长为4.8cm；
（2）①当点P在AB上时，AP＝t cm，
由得，
∴t＝2.5；
②当P在BC上时，CP＝10+6﹣t＝（16﹣t）cm，
由得，
解得t＝14.5，
综上所述，当t的值为2.5或14.5时，△PAC的面积为6cm2．
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