2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
[学习目标] 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模) 2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何比较两个实数的大小？
问题2．如何表述比较实数a，b大小的基本事实？
探究1 用不等式(组)表示不等关系
问题1 如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？
提示：左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100．
[新知生成]
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．
【教用·微提醒】 常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于等于， 至少，不 低于 小于等于， 至多，不超 过
符号 语言 > < ≥ ≤
[典例讲评] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m．
(1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；
(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系．
[解] (1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0
依题意有S≥110，即x≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
(2)因为矩形的另一边长15－≤11，所以x≥8，
又0所以8≤x≤11．
利用不等式(组)表示不等关系的注意点
(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示．
(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[学以致用] 【链接教材P40练习T1】
1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表：
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为( )
A．5x＋3y＋10z≥55
B．5x＋3y＋10z≤55
C．12x＋6y＋13z≤125
D．12x＋6y＋13z≥125
BC [因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125．故选BC．]
【教材原题·P40练习T1】用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．
[解] (1)0＜h≤4．
(2)a＋b≥0．
(3)由题，知矩形场地的长为(L＋10) m，宽为(W＋10) m，则
探究2 基本事实
问题2 数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？
提示：如图，设a，b在数轴上所对应的点分别是A，B．当点A在点B的左边时，ab．
[新知生成]
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0 a＞b
如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0 a＝b
如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0 a＜b
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
【教用·微提醒】 利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
[典例讲评] 【链接教材P38例1】
2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
由x≤1，得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1．
[母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
【教材原题·P38例1】
例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
[分析] 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
[解] 因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)
＝2>0，
所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．
作差法比较两个实数大小的步骤及变形方法
(1)步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
[学以致用] 【链接教材P40练习T2、T3】
2．已知x，y满足m＝x2＋y2＋19，n＝4(2y－x)－1，则m，n满足的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m≤n D．m≥n
D [m－n＝x2＋y2＋19－4(2y－x)＋1＝(x＋2)2＋(y－4)2≥0，当且仅当x＝－2，y＝4时取等号，所以m≥n．故选D．]
【教用·备选题】
已知P＝，Q＝a2－a＋1，则P，Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≤Q D．无法确定
C [a2≥0，又a2＋a＋1＝，≥0，故Q≥P，当且仅当a＝0时取等号．故选C．]
1．【教材原题·P40练习T2】比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小．
[解] 因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，
所以(x＋3)(x＋7)＜(x＋4)(x＋6)．
2．【教材原题·P40练习T3】已知a＞b，证明a＞＞b．
[证明] 因为a＞b，
所以a－b＞0，
所以a－＞0，
所以a＞．
因为＞0，
所以＞b．
综上，a＞b时，a＞＞b．
探究3 重要不等式
问题3 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b如何表示这种关系？
提示：大正方形的面积S＝()2＝a2＋b2，四个小直角三角形面积之和S′＝4×ab＝2ab，
因为S≥S′，即a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
[新知生成]
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
问题4 如何证明问题3中得到的不等式？
提示：证明：利用完全平方公式，得a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0．
因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
[典例讲评] 3．已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b．
[证明] a3＋b3－(ab2＋a2b)
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)
＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)．
∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，
∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0．
∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
故a3＋b3≥ab2＋a2b．
重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)等号成立的充要条件是“a＝b”，其变形ab≤与体现两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系．
[学以致用] 3．已知x，y∈R，且x2＋y2＝16，证明xy≤8．
[证明] 由重要不等式可知x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)，即16≥2xy，所以xy≤8．
1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是( )
A．a不是负数，可表示成a≥0
B．x不大于3，可表示成x<3
C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
AC [a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．故选AC．]
2．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1．故选A．]
3．中国“神舟十九号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为________．
7．9≤v<11.2 [“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2．]
4．(教材P43习题2.1T4改编)一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为________．
13或24 [设十位数字为x，则个位数字为x＋2，
∴10＜10x＋x＋2＜30，解得＜x＜，
∵x取整数，则x＝1或2，
当x＝1时，该两位数为13；
当x＝2时，该两位数为24．
故这个两位数为13或24．]
1．知识链：
2．方法链：作差法．
3．警示牌：在用不等式表示实际问题中变量不等关系时，易忽略实际意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示] a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较两个实数大小的一般步骤是什么？
[提示] 第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形方法，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于0、等于0、还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
第四步：下结论．
课时分层作业(十) 不等关系与不等式
一、选择题
1．(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是( )
A．|x＋10|<50 B．|x－10|<50
C．|x＋30|<20 D．|x－30|<20
D [由题意可知，102．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190．设甲班和乙班的分数分别为x，y，则用不等式组表示为( )
A． B．
C． D．
D [甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190，
则故选D．]
3．某公司运输一批木材，总重量为600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，B型货车载重量24吨．设派出A型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜100 B．5x＋4y≥100
C．5x＋4y＞100 D．5x＋4y≤100
B [由题意可得，30x＋24y≥600，所以有5x＋4y≥100．故选B．]
4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．PA [∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，且a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q．故选A．]
5．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( )
A．256136
C．136A [设原来每天行驶x km，
则根据题意有
解得256即原来每天行驶256 km到260 km之间．故选A．]
二、填空题
6．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”)
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，
又a>b，所以(a－b)2>0．]
7．设x，y∈R，则x2＋y2－1________2x－4y－6(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
≥ [因为x2＋y2－1－(2x－4y－6)＝x2－2x＋y2＋4y＋5＝(x－1)2＋(y＋2)2≥0，所以x2＋y2－1≥2x－4y－6．]
8．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
2 ±1 [根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0，即a＝b＝±1时等号成立．]
三、解答题
9．(教材P58T7改编)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变差了？
[解] (1)设该公寓窗户面积为x(x＞0)平方米，则地板面积为(165－x)平方米，
依题意，解得15≤x＜82.5，
所以这所公寓的窗户面积至少为15 平方米．
(2)记窗户面积为a平方米、地板面积为b平方米，同时减少的面积为c平方米，
依题意，0＜a＜b，0＜c＜a，减少面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
由，
因为0＜a＜b，0＜c＜a，则a－b＜0，b－c＞0，
得＜0，因此＜，
所以同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变差了．
【教用·备选题】
已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，往糖水中加入m克糖(m＞0)，(假设全部溶解)糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用(1)的结论比较M＝的大小．
[解] (1)由题意，可得不等式＜(m＞0)．
证明：
，
因为b＞a＞0，m＞0，可得a－b＜0，b＋m＞0，
所以＜0，即＜．
(2)由M＝，
N＝，
由(1)中的结论，可得＞，即M＞N．
10．已知0A．MN
C．M＝N D．无法确定
B [∵00，∴M>N，故选B．]
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：各自先饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．]
12．(多选)下列不等式恒成立的为( )
A．a2＋3>2a(a∈R)
B．x2＋y2>xy
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．8xy≤4x2＋8y2
AD [∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，
∴a2＋3>2a，故A正确；
x2＋y2－xy＝y2≥0，故B错误；
a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故C错误；
4x2＋8y2＝(2x)2＋(2y)2≥2·2x·2y＝，故D正确．]
13．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________．
(a2＋b2)>ab [由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即(a2＋b2)>ab．]
14．已知a>0，试比较a与的大小．
[解] 因为a－，a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当015．【链接教材P58复习参考题2T10】甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
[解] 设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，显然v1≠v2，
则甲用时t1＝，
乙用时t2＝，
t1－t2＝
＝s
＝·s
＝>0，
∴甲用时多，∴乙先到达教室．
【教材原题·P58复习参考题2T10】购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降， 每次购买这种物品的数量一
定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
[解] 按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为p1元/kg，购n kg，第二次购物时的价格为p2元/kg，仍购n kg，两次购物的平均价格为；
按第二种策略购物，设第一次花m元钱，能购 kg物品，第二次仍花m元钱，能购 kg物品，两次购物的平均价格为．
比较两次购物的平均价格：
≥0，
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济．一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济．
1 / 12.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
[学习目标] 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模) 2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)
探究1 用不等式(组)表示不等关系
问题1 如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．
[典例讲评] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m．
(1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；
(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 利用不等式(组)表示不等关系的注意点
(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示．
(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[学以致用] 【链接教材P40练习T1】
1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表：
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为( )
A．5x＋3y＋10z≥55
B．5x＋3y＋10z≤55
C．12x＋6y＋13z≤125
D．12x＋6y＋13z≥125
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____________________________________________________________________ 探究2 基本事实
问题2 数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么____ a－b＞0 ____
如果a－b等于0，那么____ a－b＝0 ____
如果a－b是负数，那么____ a－b＜0 ____
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
[典例讲评] 【链接教材P38例1】
2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________ [母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
____________________________________________________________________
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作差法比较两个实数大小的步骤及变形方法
(1)步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
[学以致用] 【链接教材P40练习T2、T3】
2．已知x，y满足m＝x2＋y2＋19，n＝4(2y－x)－1，则m，n满足的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m≤n D．m≥n
探究3 重要不等式
问题3 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b如何表示这种关系？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
一般地， a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当____时，等号成立．
问题4 如何证明问题3中得到的不等式？
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____________________________________________________________________ [典例讲评] 3．已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)等号成立的充要条件是“a＝b”，其变形ab≤与体现两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系．
[学以致用] 3．已知x，y∈R，且x2＋y2＝16，证明xy≤8．
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1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是( )
A．a不是负数，可表示成a≥0
B．x不大于3，可表示成x<3
C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
2．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
3．中国“神舟十九号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为________．
4．(教材P43习题2.1T4改编)一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为________．
1．知识链：
2．方法链：作差法．
3．警示牌：在用不等式表示实际问题中变量不等关系时，易忽略实际意义．
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