4.2.2 指数函数的图象和性质(二)
[学习目标] 1．能判断与证明指数型函数的单调性．(逻辑推理) 2．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何借助指数函数的性质比较幂的大小？
问题2．如何借助指数函数的性质解不等式？
探究1 利用指数函数的单调性比较大小
[典例讲评] 【链接教材P117例3】
1．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)．
[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，
所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0
【教材原题·P117例3】
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5，1.73；
(2)0.8，0.8；
(3)1.70.3，0.93.1．
分析：对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y＝1.7x和y＝0.9x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
[解] (1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．
因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数．
因为2.5<3，所以1.72.5<1.73．
(2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y＝是减函数．
因为－>－，所以0.8<0.8．
(3)由指数函数的性质知
1．70.3>1.70＝1，
0．93.1<0.90＝1，
所以1.70.3>0.93.1．
比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小，要按底数a>1和0[学以致用] 【链接教材P118练习T2】
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A． B．
C． D．
BC [对于A，∵函数y＝1.8x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.82.5<1.83，故A错误；对于，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－>∴，故B正确；对于C，＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且>，∴，又函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，∴，∴，故D错误．故选BC．]
【教材原题·P118练习T2】比较下列各题中两个值的大小：
(1)，；
(2)0.3-3.5，0.3-2.3；
(3)1.20.5，0.51.2．
[解] (1)函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，
∵0＜6＜7，∴＜．
(2)函数y＝0.3x在R上为减函数，
∵－3.5＜－2.3，∴0.3-3.5＞0.3-2.3．
(3)∵1.20.5＞1.20＝1，0.51.2＜0.50＝1，
∴1.20.5＞0.51.2．
探究2 指数型不等式的解法
[典例讲评] 2．(1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，∴原不等式可以转化为．
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象(图略)可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象(图略)可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1 指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f (x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形，将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[学以致用] 【链接教材P119习题4.2T3】
2．已知f (x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a的取值范围是________．
(0，1) [因为f (x)＝a－x＝在R上为单调函数，又f (－2)>f (－3)，所以f (x)为增函数，故有>1，所以0【教材原题·P119习题4.2T3】比较满足下列条件的m，n的大小：
(1)2m＜2n；(2)0.2m＜0.2n；
(3)am＜an(0＜a＜1)；(4)am＞an(a＞1)．
[解] (1)因为函数y＝2x为R上的增函数，且2m＜2n，则m＜n．
(2)因为函数y＝0.2x为R上的减函数，且0.2m＜0.2n，则m＞n．
(3)当0＜a＜1时，函数y＝ax为R上的减函数，且am＜an，则m＞n．
(4)当a＞1时，函数y＝ax为R上的增函数，且am＞an，则m＞n．
探究3 指数型函数的单调性
[典例讲评] 3．判断函数f (x)＝的单调性．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
y＝在R上单调递减，
∴f (x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
[母题探究] 把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间．
[解] 函数f (x)＝的定义域是R．
令u＝－x2＋2x，则原函数变为y＝2u．
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，
又函数y＝2u是增函数，
所以函数f (x)＝在(－∞，1]上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x单调递减，又函数y＝2u是增函数，所以函数f (x)＝在[1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f (x)＝的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]．
函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求得y＝f (φ(x))的单调性．
[学以致用] 3．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
D [法一(复合函数法)：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．]
4．求下列函数的单调区间：
(1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
[解] (1)令u＝－x2＋3x＋2＝－，易知u＝－x2＋3x＋2在上单调递增，在上单调递减，
∵当a>1时，y＝au在R上单调递增，
∴函数y＝，单调递减区间为．
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x-1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x-1在[1，＋∞)上单调递增；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x．
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21-x在(－∞，1)上单调递减．
故函数y＝2|x-1|的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)．
【教用·备选题】
(多选)已知函数f (x)＝，则( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，2]
C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减
ABD [令u＝x2＋4x＋3，则u∈[－1，＋∞)．
对于A，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，y＝，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；
对于C，D，因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．
故选ABD．]
1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不能确定
B [因为函数y＝0.3x在R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m2．(教材P119习题4.2T6改编)设a＝90.4，b＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
A [依题意，a＝(32)0.4＝30.8＜30.9＝＝b，
而a＝90.4＞90＝1＝0.80＞0.80.9＝c，
所以c＜a＜b．故选A．]
3．函数f (x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
A [∵f (x)＝，0<<1，
∴f (x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．故选A．]
4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是________．
＝24-2x，得
x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤2，
即函数y＝2x的值域是．]
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：研究y＝af (x)(a＞0，且a≠1)型函数，易忽视讨论a>1还是0回顾本节知识，自主完成以下问题：
比较幂的大小的常用方法有哪些？
[提示]
课时分层作业(三十) 指数函数的图象和性质(二)
一、选择题
1．设<<<1，那么( )
A．0C．a>b>1 D．b>a>1
B [由<<<以及函数y＝是减函数可知02．已知a＝30.8，b＝40.8，c＝30.7，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．b＜a＜c
B [由函数y＝3x为增函数，可得a＞c；
由幂函数y＝x0.8在(0，＋∞)上单调递增，可得b＞a，
所以b＞a＞c．故选B．]
3．已知函数f (x)＝3x－，则f (x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A [因为f (x)＝3x－，定义域为R，
f (－x)＝3－x－－3x
＝－＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，
所以f (x)＝3x－在R上是增函数．故选A．]
4．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．∪(1，＋∞) D．
A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是．故选A．]
5．函数y＝4x－3·2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是( )
A．[－31，1) B．[－35，－31]
C．[－35，1) D．(－∞，－31]
C [令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，
则4x－3·2x+2＋1＝t2－12t＋1，
令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，
所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35，
又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，
即函数y＝4x－3·2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1)．故选C．]
二、填空题
6．若不等式2与不等式x2＋ax＋b＜0的解集相同，则a＋b＝________．
－5 [＝23-3x，
∵y＝2x在R上单调递增，
∴x2－2x－3＜3－3x，即x2＋x－6＜0，
∴a＝1，b＝－6，∴a＋b＝－5．]
7．已知函数f (x)＝＋a为奇函数，则a的值为________．
－ [法一：∵f (x)为奇函数，
∴f (－x)＋f (x)＝0，
即＋a＝0，
∴2a＝－＝－1，
∴a＝－．
法二：f (0)＝＋a，又f (0)＝0，∴a＝－．]
8．已知函数f (x)＝2|x－a|(a为常数)，若f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
(－∞，1] [由函数f (x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f (x)单调递增，而已知函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．]
三、解答题
9．已知集合M＝，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域．
[解] 由3x+1≤，
得3x+1≤34-2x．
因为函数y＝3x在定义域R上是增函数，
所以x＋1≤4－2x，解得x≤1．
因为函数y＝2x是增函数，
所以当x≤1时，2x≤21＝2，
即y＝2x≤2．
又因为指数函数y＝2x>0，
所以0即当x∈M时，函数y＝2x的值域为(0，2]．
10．已知函数f (x)＝，记a＝f ()，b＝f ()，c＝f ()，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
B [函数f (x)＝的定义域为R，f (4－x)＝＝f (x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，而函数t＝(x－2)2在(2，＋∞)上单调递增，函数y＝et在定义域上单调递增，于是函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增，又a＝f ()＝f (4－)，2＜＜4－＜，则f ()＜f (4－)＜f ()，所以b＜a＜c．故选B．]
11．(多选)已知函数f (x)＝，则( )
A．f (x)为偶函数
B．f (x)的值域为(0，2 025]
C．f (x)在[－2，＋∞)上单调递减
D．f (66)＜f (88)
BC [易得f (x)的定义域为R，且f (－x)＝≠f (x)，
故f (x)不为偶函数，故A错误；
令u＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)，
所以y＝在u∈[－1，＋∞)上的值域为(0，2 025]，故B正确；
因为u＝(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在u∈[－1，＋∞)上单调递减，
所以根据复合函数的单调性，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C正确；
由于函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f (66)＞f (88)，故D错误．故选BC．]
12．若2x－3－x<2y－3－y，则( )
A．x－y≥0 B．x－y<0
C．x－y>0 D．x－y≤0
B [令f (x)＝2x－3－x，
∵y＝2x和y＝－3－x都是增函数，
∴f (x)是增函数，
∵2x－3－x<2y－3－y，
即f (x)∴x13．已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①0①②⑤ [作y＝与y＝的图象(图略)．
当a＝b＝0时，＝1；
当a当a>b>0时，也可以使．
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④．]
14．已知函数f (x)＝．
(1)若a＝－1，求函数f (x)的单调递增区间；
(2)如果函数f (x)有最大值3，求实数a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f (x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在[－2，＋∞)上单调递减，y＝在R上是减函数，
∴f (x)在[－2，＋∞)上单调递增，
即f (x)的单调递增区间是[－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝，
由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1．
因此必有解得a＝1，
即当f (x)有最大值3时，实数a的值为1．
15．已知f (x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数f (x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f (x)的单调性；
(3)若当x∈[－1，5]时，f (x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)若函数f (x)为奇函数，
∵x∈R，∴f (0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，
f (x)＝－1＋为奇函数，
∴a＝－1．
(2) x1，x2∈R，且x1则f (x1)－f (x2)＝＝，
由x1∴>0，又＋1>0，
故f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在R上是减函数．
(3)当x∈[－1，5]时，
∵f (x)为减函数，
∴f (x)max＝f (－1)＝＋a，
若f (x)≤0恒成立，
则满足f (x)max＝＋a≤0，
得a≤－，∴a的取值范围为．
1 / 14.2.2 指数函数的图象和性质(二)
[学习目标] 1．能判断与证明指数型函数的单调性．(逻辑推理) 2．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．(逻辑推理、数学运算)
探究1 利用指数函数的单调性比较大小
[典例讲评] 【链接教材P117例3】
1．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用______的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小，要按底数a>1和0[学以致用] 【链接教材P118练习T2】
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A． B．
C． D．
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____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 指数型不等式的解法
[典例讲评] 2．(1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，________________；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形，将不等式两边的____进行统一，此时常用到以下结论：1＝__(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[学以致用] 【链接教材P119习题4.2T3】
2．已知f (x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a的取值范围是________．
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探究3 指数型函数的单调性
[典例讲评] 3．判断函数f (x)＝的单调性．
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究] 把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间．
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函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求得y＝f (φ(x))的单调性．
[学以致用] 3．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________
4．求下列函数的单调区间：
(1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
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1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不能确定
2．(教材P119习题4.2T6改编)设a＝90.4，b＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
3．函数f (x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是________．
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：研究y＝af (x)(a＞0，且a≠1)型函数，易忽视讨论a>1还是01 / 1