4.3.2 对数的运算
第1课时 对数的运算
[学习目标] 1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理) 2．会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明．(数学运算)
探究1 对数的运算性质
问题1 若令M＝ap，N＝aq．
(1)由于apaq＝ap＋q，所以MN＝ap＋q．试问：loga(MN)与logaM，logaN之间存在怎样的等量关系？
(2)由于＝ap－q，所以＝ap－q．试问：loga与logaM，logaN之间存在怎样的等量关系？
(3)由于(ap)n＝anp(n∈R)，所以Mn＝anp(n∈R)．试问：logaMn与logaM之间存在怎样的等量关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝____________．
(2)loga＝____________．
(3)logaMn＝______(n∈R)．
[典例讲评] 【链接教材P125例4】
1．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga(x3y5)；
(3)loga
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
用对数运算性质解题的一般步骤
第一步：看对数式的真数部分的组成形式：积、商还是幂；
第二步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式；
第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确．
[学以致用] 【链接教材P126练习T1、T2】
1．(源自北师大版教材)计算：
(1)log2(64×16)；
(2)log3(9×27)；
；
(4)log336－log312；
(5)log7＋log7；
(6)lg 20＋lg 5．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 带有附加条件的对数式求值
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg 12；
(2)lg ．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
对数式求值的两种处理方式
(1)
(2)
[学以致用] 2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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探究3 利用对数的运算性质化简、求值
[典例讲评] 【链接教材P124例3】
3．计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
(1)利用对数运算性质求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
(2)对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)．
②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[学以致用] 3．求下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋lg 25．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．log318－log32＝( )
A．4 B．2log32
C．log32 D．2
2．(教材P127习题4.3T5改编)已知lg 3＝a，lg 5＝b，则lg 15＝( )
A． B．ab
C．a－b D．a＋b
3．0.5log25＝( )
A． B．－
C． D．2
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax；
(4)．
其中正确的有________．(填序号)
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：(1)易混淆对数的运算性质与指数幂的运算性质．
(2)易忽视对数的运算性质成立的条件．
1 / 14.3.2 对数的运算
第1课时 对数的运算
[学习目标] 1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理) 2．会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．对数具有哪三条运算性质？
问题2．如何借助指数幂的运算性质推导对数的运算性质？
探究1 对数的运算性质
问题1 若令M＝ap，N＝aq．
(1)由于apaq＝ap＋q，所以MN＝ap＋q．试问：loga(MN)与logaM，logaN之间存在怎样的等量关系？
(2)由于＝ap－q，所以＝ap－q．试问：loga与logaM，logaN之间存在怎样的等量关系？
(3)由于(ap)n＝anp(n∈R)，所以Mn＝anp(n∈R)．试问：logaMn与logaM之间存在怎样的等量关系？
提示：(1)由M＝ap，N＝aq，得p＝logaM，q＝logaN．
由MN＝ap＋q，得p＋q＝loga(MN)．
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．
(2)将指数式＝ap－q化为对数式，得
loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．
(3)由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R)．
[新知生成]
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．
(2)loga＝logaM－logaN．
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
【教用·微提醒】 (1)性质的逆运算仍然成立；
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义．
[典例讲评] 【链接教材P125例4】
1．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga(x3y5)；
(3)loga
[解] (1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．
(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
(3)loga＝loga(x2)
＝
＝2logax＋logay－logaz．
【教材原题·P125例4】
例4 用ln x，ln y，ln z表示ln ．
[解] ln＝ln(x2)－ln
＝ln x2＋ln
＝2ln x＋ln z．
用对数运算性质解题的一般步骤
第一步：看对数式的真数部分的组成形式：积、商还是幂；
第二步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式；
第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确．
[学以致用] 【链接教材P126练习T1、T2】
1．(源自北师大版教材)计算：
(1)log2(64×16)；
(2)log3(9×27)；
；
(4)log336－log312；
(5)log7＋log7；
(6)lg 20＋lg 5．
[解] (1)log2(64×16)＝log2(26×24)＝log2210＝10．
(2)log3(9×27)＝log3(32×33)＝log335＝5．
＝18．
(4)log336－log312＝log3＝log33＝1．
(5)log7＋log7＝log7
＝log7＝－1．
(6)lg 20＋lg 5＝lg 100＝lg 102＝2．
【教材原题·P126练习T1、T2】
1．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；
(2)lg 5＋lg 2；
(3)ln 3＋ln ；
(4)log35－log315．
[解] (1)由对数的运算性质，化简可得
log3(27×92)＝log327＋log392
＝log333＋log334
＝3log33＋4log33
＝3＋4＝7．
(2)根据对数的运算性质，可知
lg 5＋lg 2＝lg (5×2)＝lg 10＝1．
(3)由对数的运算性质，可知ln 3＋ln ＝ln ＝ln 1＝0．
(4)由对数的运算性质，可知
log35－log315＝log3＝log3＝log33-1＝－1．
2．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg ．
[解] (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z．
(2)lg ＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．
(3)lg ＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z．
(4)lg ＝lg －lg (y2z)＝lg x－2lg y－lg z．
探究2 带有附加条件的对数式求值
[典例讲评] 2．(源自苏教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg 12；
(2)lg ．
[解] (1)lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1．
(2)lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3．
对数式求值的两种处理方式
(1)
(2)
[学以致用] 2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3．
[解] 由3b＝5，得log35＝b．
∴log3＝log330
＝log35＋log36＝log32＋log33
＝．
探究3 利用对数的运算性质化简、求值
[典例讲评] 【链接教材P124例3】
3．计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[解] (1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
(3)原式＝
＝
＝
＝．
【教材原题·P124例3】
例3 求下列各式的值：
(1)lg ；(2)log2(47×25)．
[解] (1)lg ＝lg 100＝；
(2)log2(47×25)＝log247＋log225
＝7log24＋5log22
＝7×2＋5×1
＝19．
(1)利用对数运算性质求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
(2)对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)．
②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[学以致用] 3．求下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋lg 25．
[解] (1)原式＝(lg 5)2＋(1－lg 5)(1＋lg 5)
＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1．
(2)lg 8＋(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3．
【教用·备选题】 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)．
[解] (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1．
(2)原式＝
＝
＝．
1．log318－log32＝( )
A．4 B．2log32
C．log32 D．2
D [log318－log32＝log39＝log332＝2．故选D．]
2．(教材P127习题4.3T5改编)已知lg 3＝a，lg 5＝b，则lg 15＝( )
A． B．ab
C．a－b D．a＋b
D [lg 15＝lg (3×5)＝lg 3＋lg 5＝a＋b．
故选D．]
3．0.5log25＝( )
A． B．－
C． D．2
C [0.5log25＝＝．故选C．]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax；
(4)．
其中正确的有________．(填序号)
(4) [根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(4)正确．]
1．知识链：
2．方法链：转化法．
3．警示牌：(1)易混淆对数的运算性质与指数幂的运算性质．
(2)易忽视对数的运算性质成立的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对数有哪些运算性质？
[提示] (1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
＝nlogaM．
(其中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R)
2．应用对数的运算性质应注意哪些问题？
[提示] (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，
②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
课时分层作业(三十二) 对数的运算
一、选择题
1．若10a＝4，10b＝25，则a＋b＝ ( )
A．1 B．
C．2 D．3
C [∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2．]
2．＝( )
A． B．3
C． D．3＋
C [＝．
故选C．]
3．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝( )
A．3t B．t
C．t D．
A [－lg ＝3lg －3lg ＝3lg ＝3(lg x－lg y)＝3t．]
4．已知3a＝2，则log38－2log36＝( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
A [∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2．
故选A．]
5．“ln 成立”是“ln M－ln N成立”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
B [成立，则＞0，分为或两种情况，
若则ln 成立能推出ln M－ln N成立，
若则ln 成立不能推出ln M－ln N成立，
而ln M－ln N成立一定能推出ln 成立，
所以“ln 成立”是“ln M－ln N成立”的必要不充分条件．故选B．]
二、填空题
6．2log26－log29＝ ________．
2 [2log26－log29＝log236－log29＝log24＝2．]
7．＝________．
[．]
8．若a，b满足ln a＋ln b＝0，则a＋b的最小值为________．
2 [由题可知ln a＋ln b＝0，即ln(ab)＝ln 1，即ab＝1，且a，b>0，又a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．]
三、解答题
9．已知log189＝a，18b＝5，求log1845．(用a，b表示)
[解] 由18b＝5，得log185＝b，而log189＝a，
所以log1845＝log189＋log185＝a＋b．
10．已知2m+1＝，则m＋log2m＝( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
C [法一：因为2m+1＝，所以2m＝，即m·2m＝．所以m＋log2m＝log22m＋log2m＝log2(m·2m)＝log2＝－3．
法二：由2m+1＝，得m＝log2－1，则m＋log2m＝log2＋log2m－1＝log2－1＝log2－1＝－2－1＝－3．]
11．已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝( )
A．1 B．4
C．1或4 D．或4
B [由题可得lg (x－2y)2＝lg (xy)，
所以(x－2y)2＝xy，
即x2－5xy＋4y2＝0，
所以(x－y)(x－4y)＝0，
解得x＝y或x＝4y，
所以＝1或＝4．
又因为
所以>2，所以＝4．故选B．]
12．空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而中国象棋空间复杂度的上限N约为1048(参考数据：lg 3≈0.48)，则下列各数中与最接近的是( )
A．10150 B．10125
C．10105 D．10135
B [∵M≈3361，N≈1048，
∴lg M≈361lg 3，lg N≈48，
lg ＝lg M－lg N≈361×0.48－48≈125，
∴≈10125．故选B．]
13．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求的值．
[解] 因为lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，根据根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以＝(lg b－lg a)2＝(lg b)2－2lg b·lg a＋(lg a)2＝(lg a＋lg b)2－4lg b·lg a＝2．
14．运用对数运算性质，解答下列两题．
(1)计算的值；
(2)因为210＝1 024∈(103，104)，所以210的位数为4．请判断2 0242 025的位数．
(参考数据：lg 2 024≈3.306，100.65≈4.467)
[解] (1)
＝．
(2)设2 0242 025＝N，则
lg N＝2 025 lg 2 024≈2 025×3.306＝6 694.65，
所以N＝106 694.65＝100.65×106 694，
又1<100.65<10，
所以N有6 695位数，即2 0242 025的位数为6 695．
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