5.4.3 正切函数的性质与图象
[学习目标] 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象) 2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
探究1 正切函数的定义域、周期性与奇偶性
问题1 结合诱导公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，说明正切函数有什么性质？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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[新知生成]
正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是__函数，也是____函数，其最小正周期是 _．
[典例讲评] 【链接教材P213习题5.4T7、T8】
1．(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为( )
A． B．
C．π D．2π
(2)函数y＝的定义域为________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[学以致用] 1．函数f (x)＝cos ＋tan x为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________
探究2 正切函数的图象及性质
问题2 如图，在单位圆中，切线AT交OB于T，则AT与tan x有什么关系？由此想一下，如何画y＝tan x，x∈的图象？
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____________________________________________________________________
问题3 利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？
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[新知生成]
正切函数的图象
解析式 y＝tan x
正切曲线
对称中心
渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的
[典例讲评] 2．(1)图中的图形是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
a b
c d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
[尝试解答] _________________________________________________________
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解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[学以致用] 2．(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为( )
A．π B．
C． D．π
(2)函数y＝tan 的图象的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
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探究3 正切函数的单调性、值域
[新知生成]
单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R
[典例讲评] 【链接教材P212例6】
3．已知函数f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f (π)与f 的大小．
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[学以致用] 【链接教材P214习题5.4T9、T14】
3．函数f (x)＝tan x在上的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．－
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____________________________________________________________________
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4．(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
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1．(教材P213练习T4改编)函数f (x)＝tan 的最小正周期是( )
A．2π B．4π
C．2 D．4
2．函数y＝2tan (－x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．函数y＝tan 在一个周期内的图象是( )
A B
C D
4．(教材P214习题5.4T13改编)不等式tan x>－1的解集是________．
1．知识链：
2．方法链：整体代换、公式法、换元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)对称中心为(k∈Z)．
1 / 15.4.3 正切函数的性质与图象
[学习目标] 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象) 2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何借助单位圆画正切函数图象？
问题2．正切函数的性质有哪些？
探究1 正切函数的定义域、周期性与奇偶性
问题1 结合诱导公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，说明正切函数有什么性质？
提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数．
[新知生成]
正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是 π．
[典例讲评] 【链接教材P213习题5.4T7、T8】
1．(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为( )
A． B．
C．π D．2π
(2)函数y＝的定义域为________．
(1)A (2) [(1)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝．故选A．
(2)由题意可知，要使tan x有意义，则x≠＋kπ，k∈Z．又分母tan x≠0，解得x≠kπ，k∈Z．
综合可得x≠，k∈Z．
所以函数y＝的定义域为．]
1．【教材原题·P213习题5.4T7】求函数y＝2的定义域．
[解] 由x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋kπ(k∈Z)，
∴原函数的定义域为．
2．【教材原题·P213习题5.4T8】求函数y＝，x≠(k∈Z)的周期．
[解] 令y＝f (x)，法一：
∵f (x)＝tan ＝tan ＝tan ，
∴所求函数的周期为．
法二：所求函数的周期T＝．
与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[学以致用] 1．函数f (x)＝cos ＋tan x为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
A [ f (x)＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，其定义域为，定义域关于原点对称，f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，故函数f (x)为奇函数．]
探究2 正切函数的图象及性质
问题2 如图，在单位圆中，切线AT交OB于T，则AT与tan x有什么关系？由此想一下，如何画y＝tan x，x∈的图象？
提示：AT＝tan x．
当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象，如图所示．
问题3 利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？
提示：对称中心，k∈Z．
[新知生成]
正切函数的图象
解析式 y＝tan x
正切曲线
对称中心
渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的
【教用·微提醒】 画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－．
[典例讲评] 2．(1)图中的图形是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
a b
c d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
(1)D (2)AD [(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，∴直线x＝，k∈Z与函数y＝tan 的图象不相交，
令k＝－1，得x＝－，
令k＝0，得x＝．故选AD．]
解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[学以致用] 2．(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为( )
A．π B．
C． D．π
(2)函数y＝tan 的图象的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
(1)C (2)C [(1)y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为．
(2)令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，
所以函数y＝tan 的图象的对称中心是，k∈Z．
令k＝2，可得函数的图象的一个对称中心为．]
探究3 正切函数的单调性、值域
[新知生成]
单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R
【教用·微提醒】 正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
[典例讲评] 【链接教材P212例6】
3．已知函数f (x)＝3tan ．
(1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f (π)与f 的大小．
[解] (1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ，
所以f (x)的最小正周期T＝＝4π．
由kπ－<得4kπ－因为y＝3tan 在(k∈Z)上单调递增，
所以f (x)＝3tan 的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝
f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
因为0<<<，
且y＝tan x在上单调递增，
所以tan 所以－3tan ＞－3tan ，
所以f (π)>f ．
【教材原题·P212例6】
例6 求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间．
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．
[解] 自变量x的取值应满足
≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z．
所以，函数的定义域是．
设z＝，又tan (z＋π)＝tan z，
所以tan ＝tan ，
即tan ＝tan ．
因为 x∈都有tan ＝tan ，
所以，函数的周期为2．
由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z解得－＋2k因此，函数的单调递增区间为，k∈Z．
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[学以致用] 【链接教材P214习题5.4T9、T14】
3．函数f (x)＝tan x在上的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．－
D [由正切函数y＝tan x的单调性可知，f (x)＝tan x在上单调递增，
所以其最小值为f (x)min＝tan ＝－．故选D．]
4．(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
[解] (1)由于 －－π<－3.1<－3<－π，
且函数y＝tan x 在区间上单调递增，
因此tan (－3.1)(2)由于－＋π<<<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
因此tan 【教用·备选题】 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
(1)tan 220°________tan 200°；
(2)tan ________tan ．
(1)> (2)> [(1)tan 220°＝tan 40°＝，tan 200°＝tan 20°＝tan ，
因为y＝tan x在上单调递增，
所以tan 220°>tan 200°．
(2)tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
因为－<<<，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan 即tan >tan ．]
1．【教材原题·P214习题5.4T9】利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：
(1)tan 与tan ；
(2)tan 1 519°与tan 1 493°；
(3)tan 6π与tan ；
(4)tan 与tan ．
[解] (1)tan ＝－tan ，tan ＝－tan ．
∵0＜＜＜，且y＝tan x在上单调递增，∴tan ＜tan ，∴－tan ＞，∴tan ＞tan ．
(2)tan 1 519°＝tan (4×360°＋79°)＝tan 79°，
tan 1 493°＝tan (4×360°＋53°)＝tan 53°．
∵0°＜53°＜79°＜90°，且y＝tan x在上单调递增，
∴tan 53°＜tan 79°，即tan 1 519°＞tan 1 493°．
(3)tan 6π＝tan π，tan ＝tan π．
∵＜π＜π＜π，且y＝tan x在上单调递增，
∴tan π＜tan π，
即tan 6π＞tan ．
(4)tan ＝tan ＝tan ．
∵－＜－＜＜，且y＝tan x在上单调递增，
∴tan ＜tan ，即tan ＜tan ．
2．【教材原题·P214习题5.4T14】求函数y＝的单调区间．
[解] 当－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)时， y＝－tan 单调递减，
即x∈，k∈Z，
所以y＝－tan 的单调递减区间为，k∈Z；无单调递增区间．
1．(教材P213练习T4改编)函数f (x)＝tan 的最小正周期是( )
A．2π B．4π
C．2 D．4
C [ f (x)的最小正周期为＝2．故选C．]
2．函数y＝2tan (－x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A [y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数．]
3．函数y＝tan 在一个周期内的图象是( )
A B
C D
A [法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
法二：当x＝时，tan ＝0，排除C、D．
当x＝时，tan ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
4．(教材P214习题5.4T13改编)不等式tan x>－1的解集是________．
[正切函数最小正周期为π，在上单调递增，tan ＝－1，所以不等式tan x>－1的解集为．]
1．知识链：
2．方法链：整体代换、公式法、换元法．
3．警示牌：(1)最小正周期T＝．
(2)对称中心为(k∈Z)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、余弦函数(y＝cos x)
定义域 R
值域 R [－1，1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个
课时分层作业(五十一) 正切函数的性质与图象
一、选择题
1．函数y＝tan x( )
A．在整个定义域上单调递增
B．在整个定义域上单调递减
C．在每一个开区间(k∈Z)上单调递增
D．在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增
C [函数y＝tan x是周期函数，在每一个开区间(k∈Z)上单调递增，但在整个定义域上不是单调函数．故选C．]
2．函数f (x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
D [ f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)，为偶函数，T＝．]
3．函数y＝tan ，x∈的值域为( )
A．(－，1)
B．
C．(－∞，－)∪(1，＋∞)
D．
B [当x∈时，x－∈，
所以y＝tan ∈．故选B．]
4．设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>c>a
A [由题意得，
函数y＝tan x在上单调递增且tan x>0，
在上单调递增且tan x<0，
因为<1<<2<3<π，
所以tan 20，
所以a>c>b．故选A．]
5．(多选)已知函数f (x)＝tan ，则下列命题中正确的有( )
A．f (x)的最小正周期为
B．f (x)的定义域为
C．f (x)图象的对称中心为，k∈Z
D．f (x)的单调递增区间为，k∈Z
ACD [由题知，函数f (x)＝tan ，
所以f (x)的最小正周期为T＝，故A正确；
f (x)的定义域满足2x－≠＋kπ，k∈Z，
即x≠(k∈Z)，
所以f (x)的定义域为，故B错误；
f (x)图象的对称中心应满足2x－，k∈Z，
即x＝，k∈Z，
所以f (x)图象的对称中心为，k∈Z，故C正确；
f (x)的单调递增区间应满足－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，即所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z，故D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________．
±2 [由可知ω＝±2．]
7．函数y＝tan2x－2tan x＋2的最小值为________．
1 [y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，此函数取最小值1．]
8．若“ x∈，tan x＞m”的否定是真命题，则实数m的最小值是 ________．
[“ x∈，tan x＞m”的否定是“ x∈，tan x≤m”，它是真命题，
因为x∈时，tan x∈[0，]，
所以m≥，即实数m的最小值是．]
三、解答题
9．设函数f (x)＝tan ．
(1)求函数f (x)的单调区间及图象的对称中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
[解] (1)由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
由(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f (x)图象的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan ≤，
得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f (x)≤的解集是．
10．函数y＝tan x＋sin x－内的图象是( )
A B
C D
D [当＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x＞－2．故选D．]
11．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
B [∵y＝tan ωx在内单调递减，
∴ω<0且T＝≥π，
∴－1≤ω<0．]
12．(多选)下列不等式中，正确的是( )
A．tan B．tan >tan
C．tan 4D．tan 281°>tan 665°
AB [已知正切函数y＝tan x在和上单调递增，
∵tan π＝tan ＝tan ，且－<－π<π<，∴tan ＜tan π，
∴tan π∵tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
且－<－<－<，
∴tan ＜tan ，
∴tan >tan ，故B正确；
∵<3<π<4<，
∴tan 4>0>tan 3，故C错误；
∵tan 281°＝tan (360°－79°)＝tan (－79°)，
tan 665°＝tan (720°－55°)＝tan (－55°)，
且－90°<－79°<－55°<0°，
∴tan (－79°)＜tan (－55°)，
∴tan 281°13．已知函数f (x)＝a sin x＋b tan x－1(a，b∈R)，若f (－2)＝2 025，则f (2)＝________．
－2 027 [依题意，f (x)的定义域为，关于原点对称，
设g(x)＝f (x)＋1＝a sin x＋b tan x，
则g(－x)＝a sin (－x)＋b tan (－x)＝－(a sin x＋b tan x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则有f (2)＋1＋f (－2)＋1＝g(2)＋g(－2)＝0，而f (－2)＝2 025，所以f (2)＝－2 027．]
14．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．
[解] 因为y＝|tan x|＋tan x＝
所以画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，如图所示：
则该函数的定义域是，值域是[0，＋∞)，单调递增区间是，k∈Z，最小正周期是π．
15．已知函数f (x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f (x＋π)＝f (x)；②f (－x)＝f (x)；③f (0)＝1；
④>0；
⑤f >．
当f (x)＝tan x时，正确结论的序号为________．
①④ [由于f (x)＝tan x的周期为π，故①正确；
函数f (x)＝tan x为奇函数，故②不正确；
f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；
④表明函数在上单调递增，而f (x)＝tan x在区间上单调递增，故④正确；
⑤由函数f (x)＝tan x的图象可知，设A＝，
故函数在区间上有f >，
在区间上有f <，故⑤不正确．]
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