第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
[学习目标] 1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(逻辑推理) 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(数学运算)
探究1 两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
问题1 观察cos (α－β)和cos (α＋β)之间的差异与联系，你能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式吗？
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问题2 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
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[新知生成]
1．两角和的余弦公式
cos (α＋β)＝__________________________，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)．
2．两角和与差的正弦公式
sin (α＋β)＝_________________________，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；
sin (α－β)＝__________________________，其中α，β∈R，简记作S(α－β)．
[典例讲评] 【链接教材P219例4】
1．(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为( )
A．－ B．－
C． D．
(2)＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[学以致用] 【链接教材P220练习T3】
1．求下列各式的值：
(1)sin 165°；
(2)sin ．
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探究2 给值求值问题
[典例讲评] 【链接教材P218例3】
2．(源于湘教版教材)已知sin α＝，α为第二象限角，sin β＝－，β∈，求sin (α＋β)与sin (α－β)的值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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给值求值问题的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[学以致用] 【链接教材P220练习T2、P229习题5.5T4】
2．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均为锐角，求sin α的值．
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探究3 给值求角问题
[典例讲评] 3．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
[尝试解答] _________________________________________________________
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已知三角函数值求角的方法
已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．
[学以致用] 3．已知α∈，β∈，sin β＝－，且cos (α－β)＝，则α的值为( )
A． B．
C． D．
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1．sin 17°cos 43°＋cos 17°sin 43°＝( )
A． B．
C． D．
2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－
C． D．3m
3．已知α，β都是锐角，cos α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．不能确定
4．化简：sin cos α－cos sin α＝________．
1．知识链：
2．方法链：公式法、构造法．
3．警示牌：求值或求角时易忽视角的范围．
1 / 1第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
[学习目标] 1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(逻辑推理) 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？
问题2．两角和与差的正弦公式是什么？
问题3．两角和与差的正弦、余弦公式间存在怎样的联系？
探究1 两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
问题1 观察cos (α－β)和cos (α＋β)之间的差异与联系，你能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式吗？
提示：注意到α＋β＝α－(－β)，我们可以以－β代替公式C(α－β)中的角β，根据两角差的余弦公式进行展开．即cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos α·cos (－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β．
问题2 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
提示：sin (α＋β)＝cos ＝cos ＝sin αcos β＋cos αsin β．
[新知生成]
1．两角和的余弦公式
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)．
2．两角和与差的正弦公式
sin (α＋β)＝sin_αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)．
【教用·微提醒】 注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”．
[典例讲评] 【链接教材P219例4】
1．(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为( )
A．－ B．－
C． D．
(2)＝________．
(1)B (2)2－ [(1)法一：原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－．
法二：原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°
＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°
＝sin (40°－70°)＝sin (－30°)
＝－sin 30°＝－．
(2)原式＝
＝
＝
＝＝2－．]
【教材原题·P219例4(节选)】
利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
(2)cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°．
分析：和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．
[解] (1)由公式S(α－β)，得
sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin (72°－42°)
＝sin 30°
＝．
(2)由公式C(α＋β)，得
cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°
＝cos (20°＋70°)
＝cos 90°
＝0．
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[学以致用] 【链接教材P220练习T3】
1．求下列各式的值：
(1)sin 165°；
(2)sin ．
[解] (1)sin 165°＝sin (180°－15°)＝sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝．
(2)sin ＝sin ＝sin cos ＋cos ·．
【教材原题·P220练习T3节选】 求下列各式的值：
(1)sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°；
(2)cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°；
(3)cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°；
(4)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°；
(5)sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°．
[解] (1)sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°＝sin (72°＋18°)＝sin 90°＝1．
(2)cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝．
(3)cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin (14°－74°)＝sin (－60°)＝－sin 60°＝－．
(4)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－cos (34°＋26°)＝－cos 60°＝－．
(5)sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°·(－cos 70°)－cos 20°sin 70°＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1．
【教用·备选题】 化简：
(1)sin 2x cos x－cos 2x sin x；
(2)sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β；
(3)sin (α＋β)cos (α－β)＋sin (α－β)cos (α＋β)；
(4)．
[解] (1)sin 2x cos x－cos 2x sin x＝sin (2x－x)＝sin x．
(2)sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β＝sin [(α－β)＋β]＝sin α．
(3)sin (α＋β)cos (α－β)＋sin (α－β)cos (α＋β)
＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)
＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin 2α．
(4)＝
＝＝2tan α．
探究2 给值求值问题
[典例讲评] 【链接教材P218例3】
2．(源于湘教版教材)已知sin α＝，α为第二象限角，sin β＝－，β∈，求sin (α＋β)与sin (α－β)的值．
[解] 因为α为第二象限角，所以cos α<0．
又sin α＝，
所以cos α＝－＝－．
因为β∈，所以cos β>0．
又sin β＝－，
所以cos β＝＝．
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝．
【教材原题·P218例3(节选)】
已知sin α＝－，α是第四象限角，求，cos 的值．
[解] 由sin α＝－，α是第四象限角，得
cos α＝＝＝，
于是有sin ＝sin cos α－cos sin α
＝；
cos ＝cos cos α－sin sin α
＝
＝．
给值求值问题的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[学以致用] 【链接教材P220练习T2、P229习题5.5T4】
2．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均为锐角，求sin α的值．
[解] 由α，β均为锐角，可知0°<α＋β<180°，从而sin β>0，sin (α＋β)>0．
由cos (α＋β)＝，得
sin (α＋β)＝
＝＝．
由cos β＝，得
sin β＝＝＝．
由公式S(α－β)，得sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝．
1．【教材原题·P220练习T2节选】 (1)已知cos θ＝－，θ∈，求sin 的值；
(2)已知sin θ＝－，θ是第三象限角，求cos 的值．
[解] (1)因为cos θ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sinθ＝±．
因为θ∈，所以sin θ＝，
所以sin ＝sin θcos ＋cos θsin ．
(2)因为sin θ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以cosθ＝±，
因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－，
所以cos ＝cos cos θ－sin sin θ＝．
2．【教材原题·P229习题5.5T4】 在△ABC中，cos A＝，cos B＝，求cos C的值．
[解] ∵cos A＝，cos B＝且A，B为△ABC的内角，
∴0＜A＜，0＜B＜，
sin A＝ ，sin B＝．
∴cos C＝－cos (A＋B)＝－(cos A cos B－sin A sin B)＝－．
探究3 给值求角问题
[典例讲评] 3．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
[解] 因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－＝－，
cosβ＝－＝－．
由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝．
所以α＋β＝．
已知三角函数值求角的方法
已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．
[学以致用] 3．已知α∈，β∈，sin β＝－，且cos (α－β)＝，则α的值为( )
A． B．
C． D．
B [因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝．
因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)，
因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝，
因为sin α＝sin (α－β＋β)＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β＝，
又α∈，
所以α＝．故选B．]
【教用·备选题】
已知sin (α－β)＝，sin β＝，且α－β和β均为钝角，求α的值．
[解] 因为α－β和β均为钝角，sin (α－β)＝，sin β＝，
所以cos (α－β)＝－＝－，
cosβ＝－＝－，π<(α－β)＋β＝α<2π，
所以cos α＝cos [(α－β)＋β]＝cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝－，
所以α＝．
1．sin 17°cos 43°＋cos 17°sin 43°＝( )
A． B．
C． D．
C [sin 17°cos 43°＋cos 17°sin 43°＝sin (17°＋43°)＝sin 60°＝．
故选C．]
2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－
C． D．3m
A [因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m．故选A．]
3．已知α，β都是锐角，cos α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．不能确定
B [∵cos α＝，cos β＝，α，β都是锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝135°．故选B．]
4．化简：sin cos α－cos sin α＝________．
[原式＝sin ＝sin ．]
1．知识链：
2．方法链：公式法、构造法．
3．警示牌：求值或求角时易忽视角的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节课学习了哪些公式？
[提示] (1)cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(2)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(3)sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．
2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？
[提示] 根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．
课时分层作业(五十三) 两角和与差的正弦、余弦公式
一、选择题
1．求值：sin 105°＝( )
A． B．
C． D．
B [sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，故选B．]
2．已知点P(3，4)是角α的终边上一点，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
B [因为点P(3，4)是角α的终边上一点，
所以cos α＝，sin α＝，所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ．故选B．]
3．已知α，β都是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值为( )
A． B．
C． D．－
C [∵α，β都是锐角，
sin α＝，cos (α＋β)＝，
∴cos α＝，sin (α＋β)＝，
∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝．
故选C．]
4．已知锐角α，β满足sin α＋sin αsin β＝cos αcos β，则2α＋β＝( )
A． B．
C． D．π
A [因为sin α＋sin αsin β＝cos αcos β，所以cos ＝sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，
又因为α，β为锐角，则－α∈，α＋β∈(0，π)，
而y＝cos x在(0，π)上单调递减，从而－α＝α＋β，即2α＋β＝．故选A．]
5．(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则以下结论正确的是( )
A．cos α＝ B．cos β＝
C．cos ＝0 D．cos ＝0
AD [由三角函数定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，A正确，B错误；
cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝0，C错误，D正确．故选AD．]
二、填空题
6．已知cos ，则cos α＝______．
[由题意知0<α－<，又cos ，所以sin ，
所以cos α＝cos
＝cos cos －sin sin
＝．]
7．已知tan α＝3，tan β＝1，则＝________．
－1 [因为tan α＝3，tan β＝1，所以＝－1．]
8．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．
－ [由题意可知
①2＋②2得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
即sin (α＋β)＝－．]
三、解答题
9．(教材P220练习T5改编)已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin 的值．
[解] ∵sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α
＝sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α
＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin＝sin βcos ＋cos βsin
＝．
10．已知＜α＜π，且cos －cos α＝，则＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [－cos α＝cos αcos ＋sin αsin －cos α＝sin α－cos α＝sin ，因为＜α＜π，所以＜α－＜，则cos ．故选A．]
11．已知0<β<α<，且cos (α－β)＝，cos 2β＝，则sin (α＋β)＝( )
A． B．
C． D．
B [因为0<β<α<，所以0<α－β<，
又cos (α－β)＝，
所以sin (α－β)＝＝＝．
因为0<β<，所以0<2β<π，
因为cos 2β＝－，
所以sin 2β＝＝＝，
所以sin (α＋β)＝sin [(α－β)＋2β]
＝sin (α－β)cos 2β＋cos (α－β)sin 2β
＝．
故选B．]
12．已知0<α<β<，cos 2α＋cos 2β＋1＝2cos (α－β)＋cos (α＋β)，则( )
A．α＋β＝ B．α＋β＝
C．β－α＝ D．β－α＝
D [由已知可令2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，则cos [(α＋β)＋(α－β)]＋cos [(α＋β)－(α－β)]＋1＝2cos (α－β)＋cos (α＋β)，
2cos (α＋β)cos (α－β)－2cos (α－β)－cos (α＋β)＋1＝0，
[cos (α＋β)－1][2cos (α－β)－1]＝0，
即cos (α＋β)＝1或cos (α－β)＝．
又0<α<β<，
所以0<α＋β<π，－<α－β<0，
所以cos (α＋β)≠1，
即cos (α－β)＝，则α－β＝－，
所以β－α＝，故选D．]
13．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________．
－1 [＝cos 15°
＝2
＝2sin (15°－45°)
＝2sin (－30°)
＝－1．]
14．已知α，β∈，cos α＝，cos (α＋β)＝．
(1)求sin β的值；
(2)求2α＋β的值．
[解] (1)因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)，
又cos α＝，cos (α＋β)＝，
则sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝．
(2)cos (2α＋β)＝cos [(α＋β)＋α]
＝cos (α＋β)cos α－sin αsin (α＋β)
＝＝0，
由α，β∈，得2α＋β∈，
所以2α＋β的值为．
15．在△ABC中，cos A cos B＝________＋sin A sin B．已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，试比较实数a，b，c的大小关系．
[解] 由题意，得横线处的实数应为cos (A＋B)，即cos (π－C)．
故当C是直角时，a＝cos (A＋B)＝cos ＝0；
当C是锐角时，－1
当C是钝角时，0故b1 / 1