【学霸笔记：同步精讲】5.5 5.5.2 第2课时 三角恒等变换的应用 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

(共84张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.5　三角恒等变换
5.5.2　简单的三角恒等变换
第2课时　三角恒等变换的应用
[学习目标]　1．能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并．(数学运算) 2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．(数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何把y＝a sin x＋b cos x转化成y＝A sin (x＋φ)的形式？
问题2．应用三角函数解决实际问题时应注意哪些问题？
探究建构 关键能力达成
探究1　辅助角公式及应用
问题1　利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin 20°－cos 20°．
提示：sin 20°－cos 20°＝sin 20°cos 60°－cos 20°·sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°．
问题2　根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行化简：
sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x．
提示：sin x±cos x＝sin ，sin x±cos x＝2sin ，cos x±sin x＝2sin ．
问题3　如何将三角函数式：y＝a sin x＋b cos x化简成y＝A sin (x＋φ)的形式？
提示：第一步：提常数，提出，
得到y＝a sin x＋b cos x＝；
第二步：引入辅助角φ，使其满足cos φ＝，sin φ＝；
第三步：逆用公式，得a sin x＋b cos x＝(cos φsin x＋
sin φcos x)＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝．
[新知生成]
辅助角公式
a sin x＋b cos x＝_________________(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
【教用·微提醒】　a sin x＋b cos x＝·cos (x－θ)也是常用的化简形式．
sin(x＋φ)
[典例讲评]　1．化简下列各式：
(1)y＝3sin x－cos x；
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；
(3)y＝sin ＋sin ．
[解]　(1)y＝3sin x－cos x＝2＝2＝sin ．
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)
＝sin 2x cos 2x＋cos22x
＝sin4x＋
＝sin 4x＋cos 4x＋
＝
＝
＝sin ．
(3)y＝sin ＋sin
＝sin cos ＋cos sin ＋sin
＝sin cos
＝
＝sin ．
反思领悟　将三角函数y＝f (x)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的措施
(1)将sin x cos x运用二倍角公式化为sin 2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos (x±α)运用两角和与差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[学以致用]　【链接教材P229习题5.5T12】
1．用辅助角公式化简下列式子：
(1)sin －cos ；
(2)sin 4x－cos 4x；
(3)sin x＋cos x．
[解]　(1)sin －cos ＝2sin ．
(2)sin 4x－cos 4x＝
＝＝sin ．
(3)sin x＋cos x＝3
＝3(sin x cos θ＋cos x sin θ)＝3sin (x＋θ)，
其中cos θ＝，sin θ＝，即tan θ＝．
【教材原题·P229习题5.5T12】化简：
(1)3sin x＋3cos x；
(2)cos x－sin x；
(3)sin ＋cos ；
(4)sin cos ．
[解]　(1)3sin x＋3cos x＝6＝6sin ．
(2)cos x－sin x＝＝sin ．
(3)sin ＋cos ＝．
(4)sin cos
＝
＝sin ．
探究2　恒等变换与三角函数的性质
[典例讲评]　【链接教材P227例9】
2．设函数 f (x)＝cos x cos ＋sin2x－．
(1)求 f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数 f (x)的最大值及此时的x值．
[解]　(1) f (x)＝cos x cos ＋sin2x－＝cos x＋·sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin ，
所以f (x)的最小正周期为＝π，
由2kπ－≤2kπ＋(k∈Z) kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当x∈时，2x－∈，
所以当2x－，
即x＝时，函数 f (x)有最大值．
【教材原题·P227例9】
例9　求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y＝sin x＋ cos x；
(2)y＝3sin x＋4cos x．
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin (x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式．反之，利用和(差)角公式，可将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (x＋φ)的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
[解]　(1)y＝sin x＋cos x
＝2
＝2＝2sin ．
因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2．
(2)设3sin x＋4cos x＝A sin (x＋φ)，则
3sin x＋4cos x＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ．
于是A cos φ＝3，A sin φ＝4，
于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25，所以A2＝25．
取A＝5，则cos φ＝，sin φ＝．
由y＝5sin (x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5．
反思领悟　应用公式解决三角函数综合问题的步骤
(1)降幂将解析式化为f (x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式：如将sin x cos x运用二倍角公式化为利用降幂公式sin2x＝，cos2x＝析式化为一次式．
(2)利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
[学以致用]　【链接教材P228练习T1】
2．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝cos x＋sin x；
(2)y＝sin x－cos x；
(3)y＝sin 2x－cos 2x．
[解]　(1)∵y＝cos x＋sin x＝sin ，
∴函数y＝cos x＋sin x的最大值为1，最小值为－1．
(2)∵y＝sin x－cos x＝sin ，
∴函数y＝sin x－cos x的最大值为，最小值为．
(3)∵y＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
∴函数y＝sin 2x－cos 2x的最大值为2，最小值为－2．
【教材原题·P228练习T1】求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y＝5cos x－12sin x；
(2)y＝cos x＋2sin x．
[解]　(1)y＝5cos x－12sin x＝13＝13cos (x＋φ)，其中tan φ＝，
∴函数y＝5cos x－12sin x的最小正周期为T＝2π，ymax＝13，ymin＝
－13．
(2)y＝cos x＋2sin x＝＝cos (x－φ)，其中tan φ＝2，
∴函数y＝cos x＋2sin x的最小正周期为T＝2π，ymax＝，ymin＝
－．
【教用·备选题】　(源自湘教版教材)已知函数f (x)＝2sin cos ＋cos ，求函数f (x)的周期、最大值和最小值．
[解]　因为f (x)＝sin ＋cos
＝
＝2sin ．
所以f (x)的最小正周期T＝＝4π．
当sin ＝1时，f (x)取得最大值2；
当sin ＝－1时，f (x)取得最小值－2．
探究3　三角函数在实际问题中的应用
[典例讲评]　【链接教材P227例10】
3．在校园美化、改造活动中，某校决定在半径为30 m，圆心角为的扇形空地OPE内修建一个矩形的花坛ABCD，如图所示，请你确定B点的位置，使花坛的面积最大，并求出最大面积．
[解]　如图所示，设CD的中点为M，连接OM，交AB于N，连接OC，记∠COM＝α，
，且OM＝30cos α(m)，CM＝30sin α(m)，
BN＝CM＝30sin α(m)，ON＝＝sin α(m)．
所以S矩形ABCD＝2·BN·BC＝2×30sin α×(30cos α－10sin α)＝
1 800sin αcos α－600sin2α＝900sin 2α－300(1－cos 2α)＝600－300＝600sin －300(m2)，0＜α＜，
由0＜α＜，得＜2α＋＜，故当2α＋，即α＝时，(S矩形ABCD)max＝600－300＝ (m2) ，此时OB＝2ON＝20sin ＝(m)．
故当OB＝10 m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为300 m2．
【教材原题·P227例10】
例10　如图5.5-2，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
分析：可先建立矩形ABCD的面积S与α之间的函数
关系S＝f (α)，再求函数S＝f (α)的最大值．
[解]　在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α．
在Rt△OAD中，
＝tan ＝．
所以OA＝sin α，
AB＝OB－OA＝cos α－sin α．
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC
＝sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝
＝sin ．
由0<α<，得<2α＋<，所以当2α＋，即α＝时，
S最大＝．
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
反思领悟　用三角函数解实际问题应注意以下三点
(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系．
(2)注意实际问题中变量的范围．
(3)重视三角函数有界性的影响．
[学以致用]　【链接教材P228练习T2、T3】
3．如图，已知扇形MON所在圆半径为1，∠MON＝，扇形内接矩形ABOC，设∠AON＝θ．

(1)将矩形面积S表示为θ的函数，并指出θ的取值范围；
(2)当θ取何值时，矩形面积S最大，并求S的最大值．
[解]　(1)由条件OA＝1，∠AON＝θ，
∴OC＝cos θ，AC＝sin θ．
∴S＝sin θcos θ＝sin 2θ，其中0<θ<．
(2)∵0<θ<，∴0<2θ<π，
故当2θ＝，即θ＝时，Smax＝．
1．【教材原题·P228练习T2】要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
[解]　如图，设圆心为O，长方形面积为S，
设∠AOB＝α，则AB＝R sin α，OB＝R cos α，
∴S＝2AB·2OB＝2R sin α·2R cos α＝2R2sin 2α，
∴当α＝时，花坛的面积最大，Smax＝2R2．此时，
AB＝R．
∴截取矩形的长为R，宽为R时，花坛面积最大，最大值为2R2．
2．【教材原题·P228练习T3】已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R．
求证R＋r＝．
[证明]　设O是内切圆圆心，OB，OA分别是内切圆半径、外接圆半径，则OB＝r，OA＝R，∴α＝．
在Rt△OAB中，
sin α＝，即sin ，∴R＝．
cos α＝，即cos ，
∴r＝R·cos ，
∴R＋r＝
＝＝＝．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)cos α－sin α的化简结果是(　　)
A．sin 　 B．cos
C．sin 　 D．cos
√
√
AD　[cos α－sin α＝＝cos ＝
sin ．
故选AD．]
√
2．函数 f (x)＝cos2，x∈R，则 f (x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
D　[ f (x)＝cos2
＝(1－sin 2x)＝sin 2x，
此函数既不是奇函数也不是偶函数．故选D．]
√
3．(教材P228练习T2改编)把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，把面积y表示为θ的表达式，则有(　　)
A．y＝50cos 2θ 　
B．y＝25sin θ
C．y＝25sin 2θ 　
D．y＝50sin 2θ
D　[由题知OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB，
所以，在Rt△AOB中，OA＝5cos θ，AB＝5sin θ，
所以，其矩形木料的面积为y＝2OA×2AB＝4×25sin θcos θ＝100sin θ cos θ＝50sin 2θ．
故选D．]
4．(2024·全国甲卷)函数 f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
2　[由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，
sin ∈，于是 f (x)∈[－，2]，故 f (x)在[0，π]上的最大值为2．]
2　
1．知识链：
2．方法链：转化与化归．
3．警示牌：易忽视实际问题中的定义域．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结解决三角函数综合问题的步骤．
[提示]　应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：
↓
↓
2．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量 求定义域时应注意什么
[提示]　通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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课时分层作业(五十七)　三角恒等变换的应用
√
一、选择题
1．(2021·全国乙卷)函数 f (x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 　 B．3π和2
C．6π和 　 D．6π和2
C　[因为函数f (x)＝sin ＋cos ＝＝＝sin ，所以函数 f (x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为．故选C．]
题号
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√
2．已知函数 f (x)＝sin (x＋φ)＋cos (x＋φ)是奇函数，则tan φ＝(　　)
A． 　
B．－
C． 　
D．－
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D　[由f (x)＝sin (x＋φ)＋cos (x＋φ)＝2sin ，
又函数为奇函数，则φ＋＝kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋kπ，k∈Z，
所以tan φ＝tan ＝－tan ＝－．故选D．]
题号
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√
3．已知sin θ＋cos θ＝1，则cos ＝(　　)
A． 　
B．－
C． 　
D．－
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C　[由sin θ＋cos θ＝1，
得＝1，即sin ．
又cos ＝1－2sin2，
所以cos ．故选C．]
√
题号
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4．设m＝cos 6°－sin 6°，n＝sin 26°，p＝，则它们的大小关系是(　　)
A．pC．m题号
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C　[cos 6°－sin 6° ＝ sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6° ＝sin (30°－6°) ＝sin 24°，
p＝
＝
＝＝cos 20°－sin 20°
题号
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＝sin 45°cos 20°－cos 45°sin 20°
＝sin (45°－20°)＝sin 25°，
∵y＝sin x在上单调递增，
∴sin 24°√
题号
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√
5．(多选)函数f (x)＝sin2x＋sin x cos x，则(　　)
A．f (x)图象的一条对称轴方程为x＝
B．f (x)图象的一个对称中心为
C．f (x)的最小值是
D．f (x)的最大值是
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AD　[ f (x)＝sin2x＋sin x cos x＝sin 2x＝sin
．
对于A，令2x－＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，
令k＝0，得f (x)图象的一条对称轴方程为x＝，故A正确；
对于B，令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，
题号
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令k＝0，得f (x)图象的一个对称中心为，故B错误；
对于C，当sin ＝－1时，f (x)的最小值是－1＋，故C错误；
对于D，当sin ＝1时，f (x)的最大值是1＋，故D正确．故选AD．]
题号
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二、填空题
6．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝_____．
－　[因为3sin x－cos x＝2＝2sin ，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－．]
－　
题号
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7．已知A为三角形的内角，则sin A＋cos A的取值范围为__________．
(－1，]　[∵A为三角形的内角，∴0＜A＜π．
sin A＋cos A＝＝sin ，
又＜A＋＜，∴－＜sin ≤1，
∴－1＜sin ≤，
即－1＜sin A＋cos A≤．]
(－1，]　
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8．如图是半径为1的半圆，且PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，则其值为________时，矩形的面积最大，最大面积为________．
　1　[∵OP＝1，∠SOP＝α，∴PS＝sin α，SR＝2cos α，
∴矩形PQRS的面积S＝SR·PS＝2cos α·sin α＝sin 2α，
由题意知0＜α＜，则0＜2α＜π，∴当2α＝，即α＝时，Smax＝1．]
　
1
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三、解答题
9．已知函数 f (x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1．
(1)求函数 f (x)的单调递增区间；
(2)设α∈，求sin α的值．
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[解]　(1) f (x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
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(2)因为f ＝sin ，所以sin ，
又α∈，所以α＋∈，
所以cos ，
所以sin α＝sin
＝sin cos －cos sin
＝．
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10．若f (x)＝cos x－sin x在[0，a]上单调递减，则a的最大值是(　　)
A． 　B． C． 　D．π
√
C　[ f (x)＝cos x－sin x＝cos ．
当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a>0，a＋≤π，即0题号
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11．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是(　　)
A． 　B．－ C． 　D．4
√
B　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)＝其中sin φ＝，cos φ＝．当
sin (φ－x)＝1，即φ－x＝2kπ＋(k∈Z)时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋＋x(k∈Z)，∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－，∴tan x＝－．]
√
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√
12．(多选)已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x＋1，则(　　)
A．f (x)的最小正周期是π
B．f (x)的图象关于点对称
C．f 是偶函数
D．f (x)在上恰有4个零点
√
题号
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ABD　[ f (x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin ＋1，
对于A，f (x)的最小正周期是＝π，所以A正确；
对于B，因为f ＝2sin ＋1＝1，
所以f (x)的图象关于点对称，所以B正确；
对于C，f ＝2sin ＋1＝＋1，
令g(x)＝f ＝2sin ＋1，
题号
2
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则g(－x)＝2sin ＋1＝－2sin ＋1≠g(x)，
所以f 不是偶函数，故C错误；
对于D，由f (x)＝2sin ＋1＝0，
得sin ，
所以2x＋＋2kπ，k∈Z，或2x＋＋2kπ，k∈Z，
题号
2
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得x＝－＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
因为x∈，所以x＝－，
所以f (x)在上恰有4个零点，所以D正确．故选ABD．]
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13．设函数 f (x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值是________．
－4　[ f (x)＝2cos2x＋sin 2x＋a
＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a
＝2sin ＋a＋1．
当x∈时，2x＋∈，
∴f (x)min＝2×＋a＋1＝－4，∴a＝－4．]
－4　
题号
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14．已知函数 f (x)＝2cos ωx·sin ωx＋cos 2ωx，其中ω>0．
(1)若函数 f (x)的最小正周期为π，求函数 f (x)在的值域；
(2)若 f (x)在区间上单调递增，求ω的最大值，并求ω取最大值时函数y＝f (x)图象的对称轴．
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[解]　(1) f (x)＝2cos ωx·sin ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin ，
若函数f (x)的最小正周期为π，且ω＞0，则＝π，可得ω＝1，
所以f (x)＝2sin ，
由x∈，
可得2x＋∈，
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所以sin ∈，
所以2sin ∈[－，2]，
即函数f (x)在上的值域为[－，2]．
(2)因为x∈，
所以－，
因为f (x)在区间上单调递增，
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所以(k∈Z)，
所以(k∈Z)，
又ω>0，所以取k＝0，可得ω≤2，
所以ω的最大值为2，
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此时f (x)＝2sin ，
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，
所以函数y＝f (x)图象的对称轴为直线x＝，k∈Z．
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15．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
(1)若∠BOP＝α，求线段AB的长；
(2)求矩形ABCD面积的最大值．
[解]　(1)∵∠POQ＝且OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO＝，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝，∴∠BAP＝，
在扇形OPQ中，半径OP＝1，
过点B作OP的垂线，垂足为N，
∴BN＝OB sin α＝sin α，
在Rt△ABN中，AB＝＝2sin α．
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(2)矩形ABCD面积S＝AB·AD，
设∠BOP ＝α，由(1)可知AB＝2sin α，
BN＝sin α，
ON＝OB cos α＝cos α，
AN＝AB cos ＝sin α，
∴OA＝ON－AN＝cos α－sin α，
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∴S矩形ABCD＝AB·AD＝AB·OA
＝2sin α(cos α－sin α)
＝sin 2α＋cos 2α－＝2sin －，
∵α∈，
∴2α＋∈，
∴当2α＋，即α＝时，矩形ABCD面积有最大值，最大值为2－．
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谢 谢！