【学霸笔记：同步精讲】5.6 5.6.1 5.6.2 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.6　函数 y＝A sin (ωx＋φ)
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
5.6.2　函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象
第2课时　函数 y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
[学习目标]　1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(直观想象) 2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(直观想象、数学运算) 3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象？
问题2．如何根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式？
探究建构 关键能力达成
探究1　“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
[典例讲评]　【链接教材P237例1】
1．已知函数 f (x)＝sin 2????+π6，作出 f (x)在一个周期内的图象(将给定的表格填全，并描点画图)．
?
2x＋π6
?
?
?
?
?
x
?
?
?
?
?
f (x)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
?
?
?
?
?
f (x)
?
?
?
?
?
[解]　
2x＋π6
0
π2
π
3π2
2π
x
－π12
π6
5π12
2π3
11π12
f (x)
0
1
0
－1
0
0
π
2π
x
f (x)
0
1
0
－1
0
图象如图：
【教材原题·P237例1】
例1　画出函数y＝2sin 3?????π6的简图．



?
[解]　先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y＝sin?????π6的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的13，得到函数y＝sin 3?????π6的图象；最后把曲线上
各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数
y＝2sin 3?????π6的图象，如图5.6-7所示．
?
下面用“五点法”画函数y＝2sin 3?????π6在一个周期????＝2π3内的图象．
令X＝3x－π6，则x＝13????+π6．列表(表5.6-1)，描点画图(图5.6-8)．
表5.6-1
?
X
0
π2
π
3π2
2π
x
π18
2π9
7π18
5π9
13π18
y
0
2
0
－2
0
X
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
反思领悟　用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”即????????+????取π2时????所对应的点、一个“波谷点”即????????+????取3π2时????所对应的点．
?
[学以致用]　【链接教材P240习题5.6T2】
1．已知函数 f (x)＝cos 2?????π3，在给定坐标系中作出函数 f (x)在[0，π]上的图象．
?
[解]　f (x)＝cos 2?????π3，列表如下．
?
2x－π3
－π3
0
π2
π
3π2
5π3
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
f (x)
12
1
0
－1
0
12
0
π
x
0
π
f (x)
1
0
－1
0
图象如图．
【教材原题·P240习题5.6T2】画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：
(1)y＝4sin 12x；
(2)y＝12cos 3x；
(3)y＝3sin 2????+π6；
(4)y＝2cos 12?????π4．
?
[解]　(1)
12x
0
π2
π
3π2
2π
x
0
π
2π
3π
4π
y＝4sin 12????
0
4
0
?4
0
0
π
2π
x
0
π
2π
3π
4π
描点连线得如图①，
(2)
3x
0
π2
π
3π2
2π
x
0
π6
π3
π2
2π3
y＝12cos 3x
12
0
－12
0
12
3x
0
π
2π
x
0
0
0
描点连线得如图②，
(3)
2x＋π6
0
π2
π
3π2
2π
x
－π12
π6??
5π12
2π3
11π12
y＝3sin 2????+π6
0
3
0
?3
0
0
π
2π
x
描点连线得如图③，
(4)
12?????π4
0
π2
π
3π2
2π
x
π2
3π2
5π2
7π2
9π2
y＝2cos 12?????π4
2
0
?2
0
2
0
π
2π
x
描点连线得如图④，
探究2　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
[典例讲评]　2．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)????>0，????>0，????<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．
?
[解]　法一(逐一定参法)：
由题图知A＝3，T＝5π6??π6＝π，
∴ω＝2π????＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)．
∵点?π6，0在函数图象上，根据图象趋势，
∴－π6×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又????<π2，∴φ＝π3，∴y＝3sin 2????+π3．
?
法二(五点对应法)：
由题图知A＝3．
∵图象过点π3，0和5π6，0，
∴π????3+????＝π，?????5π????6+????＝2π，?解得????＝2，????＝π3.???
∴y＝3sin 2????+π3．
?
法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点?π6，0在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x的图象向左平移π6个单位长度而得，
∴y＝3sin 2????+π6，即y＝3sin 2????+π3．
?
反思领悟　给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一个零点”的数据代入“ωx＋φ＝0＋2kπ，k∈Z”(要注意正确判断“第一个零点”的位置)求得φ，选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z．
?
(2)五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[学以致用]　【链接教材P241习题5.6T4】
2．已知函数 f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，????<π2，求f (x)的解析式．
?
[解]　由题图知 f (x)min＝0，且 f (x)max＝4，
所以A＝4?02＝2，????＝4+02＝2，
又T＝2π????＝45π12?π6＝π，知ω＝2．
又 f π6＝4，得sin π3+????＝1，
所以π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，
则φ＝2kπ＋π6，k∈Z，又????<π2，所以φ＝π6，
故函数 f (x)＝2sin 2????+π6＋2．
?
【教材原题·P241习题5.6T4】　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，
0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为__________________．
y＝2sin 2????+2π3　
?
y＝2sin 2????+2π3　[由题图可知A＝2，????2＝5π12+π12＝π2，
∴T＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin (2x＋φ)．
∵函数的图象过点?π12，2，
把点的坐标代入函数的解析式，
得2＝2sin 2×?π12+????，∴φ－π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
解得φ＝2π3＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，
∴此函数的解析式是y＝2sin 2????+2π3．]
?
√
【教用·备选题】　函数f (x)＝2sin (ωx－φ)(ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A．2，－π6　 B．2，－π3
C．2，π3 　 D．4，－5π6
?
C　[由题图知，34????＝5π12??π3＝3π4，
解得T＝π，ω＝2π????＝2ππ＝2．
由点5π12，2在函数 f (x)的图象上，
得 f 5π12＝2sin 5π6?????＝2，则sin 5π6?????＝1，
则5π6－φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝－2kπ＋π3，k∈Z，
又－π<φ<π，则φ＝π3．故选C．]
?
探究3　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用
[典例讲评]　3．已知函数 f (x)＝3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求ω的值；
(2)将函数 f (x)的图象向左平移π6个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在区间?π6，2π3上存在零点，求实数k的取值范围．
?
[解]　(1) f (x)＝3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12
＝32sin 2ωx＋cos2????????+12?12
＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＝sin 2????????+π6．
因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为π2，
所以函数y＝f (x)的最小正周期T＝π，
所以T＝2π2????＝π，解得ω＝1．
?
(2)由(1)得f (x)＝sin 2????+π6，将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度后，
得到y＝sin 2????+π3+π6＝cos 2x的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x，
因为x∈?π6，2π3，
?
当x＝2π3时，函数g(x)取得最小值，g2π3＝?12；
当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1，
故g(x)∈?12，1．
因为函数y＝g(x)－k在区间?π6，2π3上存在零点，所以k＝g(x)有解，
所以实数k的取值范围为?12，1．
?
反思领悟　研究y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则 f (θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则 f (θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间．
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝A sin t的性质．
[学以致用]　【链接教材P255复习参考题5T21】
3．(多选)已知函数f (x)＝sin 2????+π3，以下命题中为真命题的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于直线x＝π12对称
B．x＝－π6是函数f (x)的一个零点
C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移π3个单位长度得到
D．函数f (x)在0，π12上单调递增
?
√
√
√
ABD　[令2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝π12+????π2，k∈Z．当k＝0时，x＝π12，即函数 f (x)的图象关于直线x＝π12对称，选项A正确；令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝????π2?π6，k∈Z，当k＝0时，x＝?π6，即x＝－π6是函数 f (x)的一个零点，选项B正确；2x＋π3＝2????+π6，故函数 f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C错误；若x∈0，π12，则2x＋π3∈π3，π2，故 f (x)在0，π12上单调递增，选项D正确．故选ABD．]
?
【教材原题·P255复习参考题5T21】　已知函数f (x)＝sin ????+π6＋sin ?????π6＋cos x＋a的最大值为1．
(1)求常数a的值；
(2)求函数f (x)的单调递减区间；
(3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合．
?
[解]　(1)由题意，函数f (x)＝sin ????+π6＋sin ?????π6＋cos x＋a，
化简得，f (x)＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x＋a＝3sin x＋cos x＋a＝2sin ????+π6＋a，
因为sin ????+π6的最大值为1，
所以2×1＋a＝1，解得a＝－1．
?
(2)由(1)可知f (x)＝2sin ????+π6－1．
根据三角函数的性质可得，
2kπ＋π2≤????+π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，
解得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3(k∈Z)，
所以f (x)的单调递减区间为π3+2????π，4π3+2????π，k∈Z．
?
(3)由题意，f (x)≥0，
即2sin ????+π6－1≥0，
可得sin ????+π6≥12．
所以2kπ＋π6≤????+π6≤2kπ＋5π6(k∈Z)，
解得2kπ≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，
所以f (x)≥0成立的x的取值集合是????2????π≤????≤2π3+2????π，????∈????．
?
应用迁移 随堂评估自测
1．(2024·北京高考)设函数 f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，
f (x2)＝1，且????1?????2的最小值为π2，则ω＝(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
?
√
B　[因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min
＝π2，所以f (x)的最小正周期T＝2×π2＝π，所以ω＝2π????＝2．]
?
√
2．(教材P241习题5.6T4改编)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)????>0，????>0，????<π2的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝2sin 2?????π6
B．y＝2sin 2?????π3
C．y＝2sin ????+π6
D．y＝2sin ????+π3
?
A　[由题图可知，A＝2，T＝2π3??π6＝π，所以ω＝2．
由函数图象经过点π3，2，可得2sin 2×π3+????＝2，
所以2×π3+????＝π2＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－π6＋2kπ，k∈Z，
因为????<π2，所以φ＝－π6，
所以函数的解析式为y＝2sin 2?????π6．]
?
√
3．(多选)设函数f (x)＝cos ????+π3，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的一个周期为－2π
B．y＝f (x)的图象关于直线x＝8π3对称
C．f (x＋π)的一个零点为x＝π6
D．f (x)在π2，π上单调递减
?
√
√
ABC　[因为T＝2π，故－2π也是f (x)的一个周期，A正确；????8π3＝
cos 8π3+π3＝cos 3π＝－1，故B正确；由f (x＋π)＝cos ????+π+π3＝?cos????+π3＝0，得x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π6(k∈Z)，当k＝0时，x＝π6，故C正确；函数f (x)＝cos ????+π3的图象可由y＝cos x的图象向左平移π3个单位长度得到，如图可知，f (x)在π2，π上先单调递减后单调递增，D错误．
故选ABC．]
?
4．已知函数 f (x)＝sin 2x－cos 2x，则下列说法正确的是________．
(填序号)
① f (x)的最大值是2；
② f (x)的图象向左平移π8个单位长度后得到的函数为奇函数；
③ f (x)的图象关于直线x＝3π8对称；
④ f (x)在0，π2上单调递增．
?
②③　
②③　[因为 f (x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin 2?????π4，
所以函数f (x)的最大值为2，故①错误；
又 f ????+π8＝2sin 2????+π8?π4＝2sin 2x，令g(x)＝2sin 2x，
则g(－x)＝2sin (－2x)＝－2sin 2x＝－g(x)，故②正确；
又 f 3π8＝2sin 2×3π8?π4＝2sin π2＝2，故③正确；
当x∈0，π2时，2x－π4∈?π4，3π4，
所以根据正弦函数的单调性可知函数 f (x)在0，π2上不单调，故④错误．故正确的有②③．]
?
1．知识链：
2．方法链：五点法作图、换元法．
3．警示牌：求φ值时单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点的区别．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象时，其五个关键点有何特征？
[提示]　“五点法”中的五个点分别为函数的三个零点和两个最值点．
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示]　逐一定参法；五点对应法；图象变换法．
3．在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？
[提示]　采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(五十九)　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用
√
一、选择题
1．(2023·天津高考)已知函数 f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，
f (x)的一个周期为4，则 f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝sin π2???? 　 B．f (x)＝cos π2????
C．f (x)＝sin π4???? 　 D．f (x)＝cos π4????
?
B　[对于A，f (x)＝sin π2????，最小正周期为2ππ2＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin π2????的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos π2????，最小正周期为2ππ2＝4，因为f (2)＝cos π＝
－1，所以函数f (x)＝cos π2????的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin π4????和y＝cos π4????的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．]
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知函数 f (x)＝A sin π3????+π6(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)
A．1 　 B．2
C．4 　 D．8
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[函数f (x)＝A sin π3????+π6(A>0)的最小正周期T＝2ππ3＝6．
∵函数f (x)＝A sin π3????+π6(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，
∴????2+642＝52，∴A＝2．故选B．]
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．已知函数 f (x)＝2sin (ωx＋φ)????＞0，?π2＜????＜π2的部分图象如图所示，则(　　)


?
A．ω＝1，φ＝－π4 　 B．ω＝1，φ＝π4
C．ω＝2，φ＝－π4 　 D．ω＝2，φ＝π4
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[由题意得????2＝7π4?3π4＝π，
即T＝2π????＝2π，可得ω＝1，
所以f (x)＝2sin (x＋φ)，
又f 3π4+14????＝????5π4＝2sin 5π4+????＝－2，
所以5π4＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，可得φ＝2kπ＋π4，k∈Z，又－π2＜φ＜π2，故φ＝π4．故选B．]
?
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．已知函数 f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B????＞0，????＞0，????＜?π2的部分图象如图，则函数 f (x)(　　)
A．图象关于直线x＝－π3对称
B．图象关于点π6，3对称
C．在区间2π3，5π6上单调递减
D．在区间?5π12，π12上的值域为(1，3)
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C　[由题图可得A＝12×(5－1)＝2，
B＝12×(5＋1)＝3，
∴f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋3，
又f (x)的图象过点(0，2)，∴f (0)＝2sin φ＋3＝2，
∴sin φ＝－12，
∵????＜π2，∴φ＝－π6，
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∴f (x)＝2sin ?????????π6＋3，
∵f (x)的图象过点?π6，1，
∴f ?π6＝2sin ?π6?????π6＋3＝1，
可得sin π6????+π6＝1，
∴π6????+π6＝2kπ＋π2，k∈Z，可得ω＝2＋12k，k∈Z，
由题图可知????4＞π6，∴T＞2π3，即2π????＞2π3，
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∴0＜ω＜3，∴ω＝2，
∴f (x)＝2sin 2?????π6＋3，
对于A，f ?π3＝2sin ?5π6＋3＝2，不是最值，
则f (x)的图象不关于直线x＝－π3对称，错误；
对于B，f π6＝2sin π6＋3＝4≠3，错误；
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于C，2kπ＋π2≤2?????π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，
∴kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6，k∈Z，
∴f (x)的单调递减区间为????π+π3，????π+5π6，k∈Z．
k＝0时，f (x)在π3，5π6上单调递减，
2π3，5π6?π3，5π6，正确；
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于D，∵x∈?5π12，π12，
∴2x－π6∈(－π，0)，可得sin 2?????π6∈?1，0，
∴f (x)∈[1，3)，D错误．故选C．]
?
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)已知函数f (x)＝sin x cos x－3cos2x＋32，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于点π3，0对称
B．函数f (x)图象的一条对称轴是直线x＝－π12
C．f ?????π3是奇函数
D．f (x)在?π6，π3上单调递增
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
BC　[ f (x)＝sin x cos x－3cos2x＋32
＝12sin 2x－3cos2????+12+32
＝12sin 2x－32cos 2x＝sin 2?????π3．
对于A，当x＝π3时，f π3＝sin π3＝32，故A错误；
对于B，当x＝－π12时，f ?π12＝sin ?π2＝－1，故B正确；
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于C，f ?????π3＝sin (2x－π)＝－sin 2x，故该函数为奇函数，故C正确；
对于D，由于x∈?π6，π3，所以2x－π3∈?2π3，π3，函数在该区间上不单调，故D错误．故选BC．]
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．函数f (x)＝sin x＋a cos x的图象关于点π3，0对称，则a的值为________．
?
－3　[∵π3，0为f (x)的对称中心，
∴f π3＝0，即sin π3＋a cos π3＝0，
即32+12a＝0，∴a＝－3．]
?
－3　
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．(2021·全国甲卷)已知函数 f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f π2＝________．
?
－3　
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
－3　[法一(五点作图法)：由题图可知34????＝13π12?π3＝3π4(T为f (x)的最小正周期)，即T＝π，所以2π????＝π，即ω＝2，故 f (x)＝2cos (2x＋φ)．点π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3+????＝π2，得φ＝－π6，
即 f (x)＝2cos 2?????π6，
所以 f π2＝2cos 2×π2?π6＝－3．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
法二(代点法)：由题意知，34????＝13π12?π3＝3π4(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，2π????＝π，即ω＝2．又点π3，0在函数f (x)的图象上，所以2cos2×π3+????＝0，所以2×π3+????＝π2＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－π6，所以f (x)＝2cos2?????π6，所以f π2＝2cos 2×π2?π6＝－2cos π6＝－3．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
法三(平移法)：由题意知，34????＝13π12?π3＝3π4(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，2π????＝π，即ω＝2．函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是π4，0，对应函数f (x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是π3，0，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移π3?π4＝π12个单位长度得到的，所以 f (x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos 2?????π12＝
2cos 2?????π6，所以f π2＝2cos2×π2?π6＝－2cos π6＝－3．]
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．已知函数 f (x)＝A sin (ωx＋φ)????＞0，????＞0，|????|＜π2在一个周期内的简图如图所示，则 f (x)＝______________，方程f (x)＝m(m为常
数，且1?
2sin 2????+π6
?
π3　
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2sin 2????+π6　π3　[根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)????＞0，????＞0，????＜π2在一个周期内的简图，可得A＝2．再把点(0，1)的坐标代入，可得2sin φ＝1，∴sin φ＝12，
∴φ＝π6＋2kπ，k∈Z或φ＝5π6＋2kπ，k∈Z，
又????<π2，∴φ＝π6．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
根据五点法可得ω·5π12+π6＝π，∴ω＝2，
∴函数f (x)＝2sin 2????+π6．
易得它的一个顶点坐标为π6，2，且f (π)＝1，
∴由图象可得方程f (x)＝m(m为常数，且1?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．已知函数 f (x)＝2cos2ω1x＋sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．
(1)求 f (0)；
(2)写出 f (x)的最小正周期及一条对称轴方程(只写结果)；
(3)求函数 f (x)在0，π2上的最大值和最小值．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　若选①ω1＝1，ω2＝2．
(1) f (x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin 2????+π4＋1，
∴f (0)＝2sin π4＋1＝2×22＋1＝2．
(2)∵f (x)＝2sin 2????+π4＋1，
∴f (x)的最小正周期T＝2π2＝π，
一条对称轴方程为x＝π8(答案不唯一)．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(3)∵0≤x≤π2，
∴π4≤2????+π4≤5π4，
∴函数f (x)在0，π2上的最大值为2sin π2＋1＝2＋1，
函数f (x)在0，π2上的最小值为2sin 5π4＋1＝0．
若选②ω1＝1，ω2＝1．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(1) f (x)＝2cos2x＋sin x＝2－2sin2x＋sin x＝178?2sin?????142，
∴f (0)＝178?2×0?142＝2．
(2)∵f (x)＝178?2sin?????142，
∴f (x)的最小正周期T＝2π，一条对称轴方程为x＝π2(答案不唯一)．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(3)∵0≤x≤π2，∴0≤sin x≤1，
∴函数f (x)在0，π2上的最大值为178，
函数f (x)在0，π2上的最小值为178?2×1?142＝1．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数 f (x)＝sin ????????+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若2π3＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点3π2，2中心对称，则????π2＝(　　)
A．1 　B．32 C．52 　D．3
?
√
A　[由函数的最小正周期T满足2π3＜T＜π，得2π3＜2π????＜π，解得2＜ω＜3．
又因为函数图象关于点3π2，2中心对称，所以3π2????+π4＝kπ，k∈Z，且b＝2，所以ω＝－16+23k，k∈Z，取k＝4，可得ω＝52，所以f (x)＝sin 52????+π4＋2，所以f π2＝sin 54π+π4＋2＝1．
故选A．]
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．若函数 f (x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f π6+????＝????π6?????，则
f π6＝(　　)
A．3或0 　 B．－3或0
C．0 　 D．－3或3
?
√
D　[由f π6+????＝????π6?????得，直线x＝π6是函数 f (x)图象的对称轴，所以f π6＝±3．]
?
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间π6，2π3单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ?5π12＝(　　)
A．－32 　 B．－12
C．12 　 D．32
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D　[由题意得12×2π????＝2π3?π6，解得ω＝2，易知x＝π6是 f (x)的最小值点，所以π6×2+????＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，于是 f (x)＝sin 2????+7π6+2????π＝sin 2????+7π6，?????5π12＝sin?5π12?×2+7π6＝sin π3＝32，故选D．]
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知函数 f (x)＝sin ????????+π3(ω>0)，f π6＝????π3，且 f (x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．
?
143　[依题意知f (x)＝sin ????????+π3(ω>0)，
f π6＝????π3，且f (x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，
∴f (x)的图象关于直线x＝π6+π32对称，
?
143　
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
即关于直线x＝π4对称，
∴π4????+π3＝3π2＋2kπ，k∈Z，
又π3?π6 即0<ω<12，∴ω＝143．]
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)????>0，????>0，????<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
?
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
?
2π3
7π6
5π3
?
A sin (ωx＋φ)
0
2
?
－2
0
ωx＋φ
0
π
2π
x
?
?
A sin (ωx＋φ)
0
2
?
－2
0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(1)将上表数据补充完整，填写在相应位置，并写出函数y＝f (x)的解析式；
(2)将函数y＝f (x)图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求使g(x)≥0成立的x的取值集合．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)由表格知：A＝2且????2＝5π3?2π3＝π，
即T＝2π，故ω＝2π????＝1，
由ω×2π3+????＝π2，得φ＝－π6．
则 f (x)＝2sin ?????π6，
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
所以表格补充如下：
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π6
2π3
7π6
5π3
13π6
A sin (ωx＋φ)
0
2
0
－2
0
ωx＋φ
0
π
2π
x
A sin (ωx＋φ)
0
2
0
－2
0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)由题设g(x)＝f ?????π6＝2sin ?????π3≥0，
即2kπ≤x－π3≤2kπ＋π，k∈Z，
所以2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3，k∈Z，
即使g(x)≥0成立的x的取值集合为????2????π＋π3≤????≤2????π＋4π3，????∈????．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．已知函数 f (x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f (x)的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1????(ω>0)得到．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，求实数ω的取值范围．
?
[解]　将函数f (x)＝sin x的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝
sin ?????π6的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1????(ω>0)，得到g(x)＝sin ?????????π6的图象．
若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，
则ωx－π6∈?π6，????π?π6，
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
所以4π<ωπ－π6≤5π，
得256<ω≤316．
故实数ω的取值范围是256，316．
[点评]　解答y＝A sin (ωx＋φ)在某个区间上的零点个数问题，常采用数形结合的方法求解．
?
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！