【学霸笔记：同步精讲】高考命题探源 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

(共28张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
高考命题探源
探源1　集合的关系与运算
[命题点分析]　集合间的关系及集合的交集、并集与补集运算是高考考查的重点和热点，多以选择题形式出现，属容易题，多与不等式、定义域、值域等知识结合，重在考查数学运算能力．
【案例1】　(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 　 B．1
C． 　 D．－1
√
B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B．所以a＝1，故选B．]
[考题来源]　本考题来源于教材复习参考题1第9题，高考题和教材复习参考题都是以列举法给出了数集，利用集合间的关系求参数值的问题．它们题型相似，难度相当，主要考查考生对集合间关系的理解及列举法的应用．
[试题评价]　本题以集合中元素值的确定为落脚点，考查了集合的表示、集合的运算以及对集合间的关系的理解，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养．
探源2　函数的基本性质
[命题点分析]　函数的单调性与最值是相互联系的两个性质，具有高度的抽象性，且应用起来灵活多变，是高考的热点和难点，且渗透性很强，是探究不等式、三角函数等问题的重要工具．函数的奇偶性、对称性、周期性和函数的单调性一样，同属于函数的基本性质，是高考命题的热点．
【案例2】　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)·为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 　 B．0
C． 　 D．1
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
√
1　
(1)B　(2)1　[(1)法一：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f (x)＝(x＋a)·为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B．
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B．
(2)法一(定义法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f (－x)＝f (x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1．
法二(取特殊值检验法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．
法三(转化法)：由题意知f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．]
[考题来源]　考题来源于教材复习参考题4第12题第(2)问，与教材习题命题角度高度一致，均以指、对数函数为载体，考查利用函数的奇偶性求参数的值，难度相当．
[试题评价]　上述两题都以参数值的求解为落脚点，考查了函数奇偶性的定义，指、对数的运算性质及对奇偶函数性质的理解，考查了逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养．
【案例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)设函数 f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] 　
B．[－2，0)
C．(0，2] 　
D．[2，＋∞)
√
D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．]
[考题来源]　本考题来源于教材习题4.2第1题，均以指数型函数为载体，考查复合函数的性质，难度较教材有所增加．
[试题评价]　该题以参数范围的求解为落脚点，考查了指数函数的单调性、复合函数的定义、二次函数的性质等，考查了考生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
探源3　利用三角恒等变换化简、求值
[命题点分析]　利用三角函数公式解决三角函数的化简求值问题．常以选择题、填空题形式出现，难度适中，解决这类问题首先分析已知角与未知角的差异与联系，然后利用三角函数公式进行恒等变换与化简求值，因此熟练掌握和(差)角公式、二倍角公式的正用和逆用是解决三角恒等变换问题的关键．
【案例4】　(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m 　B．－ C． 　D．3m
√
A　[因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝m，
由tan αtan β＝＝2，
得sin αsin β＝2cos αcos β，
所以cos αcos β＝－m，sin αsin β＝－2m，
则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m．故选A．]
[考题来源]　本题源于教材复习参考题5第15题第(1)小题，只是把条件和结论做了调换，与教材习题命题角度、难度均一致．
[试题评价]　本题属于给值求值问题，考查了两角和与差的余弦公式，体现了“弦切互化”“复角化单角”的思想，考查了逻辑推理、数学运算的核心素养．
[命题点分析]　三角函数的图象是研究三角函数性质的重要工具，可用来确定解析式、性质等；三角函数图象的变换是研究三角函数图象和性质的重要方法，因而是高考的必考点、热考点，常以客观题单独考查，有时也会作为解答题的一部分出现，难度中等．
探源4　三角函数的图象及图象变换
【案例5】　(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A．sin 　 B．sin
C．cos 　 D．cos
√
√
BC　[由题图可知，函数的最小正周期T＝＝π，∴＝π，ω＝±2．取ω＝2，则y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，根据题图可得2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝＝＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos ＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝时，cos ＝1≠－1，错误．故选BC．]
[考题来源]　本题来源于教材习题5.6第4题，两者均考查了由函数图象求解析式，与教材习题命题角度高度一致，难度相当．
[试题评价]　本题属于图象识别问题，考查了正弦、余弦函数图象的形状，“五点法”作图，正弦、余弦函数的周期性，考查了逻辑推理、直观想象等核心素养．
【案例6】　(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 　B．4 C．6 　D．8
√
C　[在同一坐标系中，作出函数y＝sin x与y＝在[0，2π]上的图象如图，由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为6．故选C．]
[考题来源]　本题源于教材P237例1，未做任何改编．
[试题评价]　本题考查在同一坐标系下的图象变换或五点法作图、视图能力，倡导考生落实双基、重视教材的例题、习题的功能，考查了直观想象的核心素养．
[命题点分析]　三角函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性和最值是三角函数的重要性质，是高考的热点，可直接考查，也可与三角恒等变换综合考查，难度中等．
探源5　三角函数的性质及应用
【案例7】　(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数 f (x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
A　[法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－．因为，所以区间是函数f (x)的单调递增区间．故选A．
法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－＜，所以f (x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以f (x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故D不正确．故选A．
法三(特殊值法)：因为＜＜＜π，但f ＝7sin ＝
7sin ＜7，所以区间不是函数f (x)的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f ＝7sin π＝0，＝7sin ＜0，所以区间不是函数f (x)的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f ＝7sin ＝－7sin ＞－7，＝7sin ＝－7，所以区间不是函数f (x)的单调递增区间，排除D．
故选A．]
[考题来源]　本题来源于教材P207例5，两者都求三角函数的单调区间，几乎如出一辙，难度也基本相当．
[试题评价]　本题通过求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，考查了考生对正弦函数单调性的掌握情况，求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间即可，考查了化归与转化、整体代换思想，以及逻辑推理和数学运算等核心素养，难度较小．
谢 谢！