2.3.3直线与圆的位置关系 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.3直线与圆的位置关系
学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系．
2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．
二、重难点
重点：用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系
难点：能解决直线与圆位置关系的综合问题
三、知识梳理
直线与圆的三种位置关系：当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆 ，且称直线为圆的 ；当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆 ，且称直线为圆的 ，称公共点为 ；当直线与圆没有公共点时，称直线与圆 .
2.判断直线与圆的三种位置关系：
利用圆心到直线的距离d和圆的半径r来判断：直线与圆相交 ；直线与圆相切 ；直线与圆相离 .
联立直线方程和圆的方程，得，当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 .
例题讲解
例 1 已知直线 ，圆 ，分别求直线与圆相交、相切、相离时 的取值范围．
例 2 已知 是圆 上一点，求圆的过点 的切线方程.
例 3 已知直线 与圆 相交于 两点．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 中点的坐标．
归纳总结：如图所示，如果 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则
直线 与 相交 ；
直线 与 相切 ；
直线 与 相离 ．
五、课堂练习
1.已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.无法确定
2.直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能
3.直线与圆的位置关系是( )
A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
4.已知圆，直线相交，那么实数b的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.直线与圆的位置关系是( )
A.相交且直线过圆心 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相离
6.已知圆，则过圆上一点的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.圆与直线的位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能
8.直线与圆相切，则实数m等于( )
A.2 B. C.或 D.
9.过点作圆的切线l，则直线l的方程为________.（写出一个方程即可）
10.若圆与x轴相切，则实数的值是________.
六、课后练习
1.已知直线与圆和圆都相切，则k的值为( )
A. B. C. D.
2.设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.2或
3.已知直线与圆相切，则( )
A. B. C. D.0
4.已知直线l过点，圆，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相离
5.圆在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知直线与圆相切，则正实数a的值为( )
A. B. C. D.
7.（多选）过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B. C. D.
8.（多选）直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程可能是( )
A. B. C. D.
9.已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为____________．
10.写出满足“直线：与圆：相切”的一个m的值_________.
答案及解析
三、知识梳理
相交 割线 相切 切线 切点 相离
（1）dr
（2）相交 相切 相离
四、例题讲解
例题1
解：（方法一）联立直线的方程与圆的方程，得方程组 ，从方程组中消去 ，整理得 ， ③ 这个方程的判别式 当且仅当 时，，方程 ③ 有两个不相等的实数解，此时直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当且仅当 或 时，，方程 ③ 有两个相等的实数解，此时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当且仅当 或 时， ，方程 ③ 没有实数解，此时直线与圆没有公共点，直线与圆相离．
解：（方法二）因为圆的半径 ，圆心 到直线 的距离为 . 当且仅当 ，即 时，直线与圆相交；
当且仅当 ，即 或 时，直线与圆相切；
当且仅当 ，即 或 时，直线与圆相离．
例题2
解：（方法一）如果切线的斜率不存在，则切线方程为 ，但圆心 到 的距离为 1，不等于圆的半径 ，矛盾．因此切线的斜率一定存在，设为 ，从而切线方程为 ，即 ，从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知 ，解得 ，所以切线的点斜式方程为 ，因此所求方程为 ．
解：（方法二）圆的圆心为 ，而且 是与切线垂直的，如图所示．因为，所以切线的斜率为，从而可知切线的点斜式方程为，因此所求方程为 ．
例题3
解：（1）（方法一）如图所示，设 的中点为 ，根据垂径定理可知 ，因此 是个直角三角形．由点到直线的距离公式可知 ，又 是圆的半径，因此 ，从而在 Rt 中，有 因此
解：（1）（方法二）设 ，则 因为 都是直线 上的点，所以 ，第二式减去第一式可得 ，因此 ，从而 又因为从方程组 ，
消去 ，整理可得 ，而且 是这个方程的两个根，因此由韦达定理可知 所以 因此 ，从而可知 ．
（2）设 ，且线段 的中点坐标为 ，则
由（1）中的方法二可知 ，又因为直线 的方程可以化为 ，所以 因此所求中点坐标为 .
五、课堂练习
1.答案：A
解析：圆C的圆心为，半径，
圆心到直线l的距离，
所以直线和圆相切.
故选：A.
2.答案：A
解析：圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
3.答案：D
解析：圆的圆心为，半径为2，到直线的距离，
所以直线与圆相离.
故选：D
4.答案：D
解析：圆C的圆心为，半径为1，
直线，
由于圆与直线l相交，所以，解得.
故选：D
5.答案：D
解析：由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相离.
故选：D.
6.答案：A
解析：圆的圆心为，则直线AO的斜率，
故切线的斜率，所以切线方程为，
化简得：，
故选：A.
7.答案：C
解析：圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
由，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C.
8.答案：D
解析：因为直线与圆相切，故，即，故，
故选：D
9.答案：或（写出一个即可）
解析：由可知：直线l一定有斜率，
故设，
则，化简可得，故或，
当时，切线方程为，当时，切线方程为，
故切线方程为：或，
故答案为：或.
10.答案：16
解析：由，可得，
方程表示圆，则可得圆心为，半径为，
由圆与x轴相切，则可得，解得.
故答案为：16.
六、
1.答案：C
解析：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，
由直线与圆、圆都相切，则，解得，.
故选：C
2.答案：C
解析：由圆心在直线上，设圆心坐标为，
由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径，整理得，
解得或，所以这个圆的半径或2.
故选：C.
3.答案：A
解析：由，则，
所以圆心，半径，，
由题设，则.
故选：A
4.答案：C
解析：因为在圆C上，所以直线l与圆C相切或相交，故选C.
5.答案：D
解析：将圆的方程化为标准方程得，
∵点在圆上，∴点P为切点.
从而圆心与点P的连线应与切线垂直.
又∵圆心为，设切线斜率为k，
∴，解得.
∴切线方程为.
故选：D.
6.答案：A
解析：因为，则圆的圆心为，半径为a，
因为直线与圆相切，
所以，.
故选：A.
7.答案：AB
解析：由题意知，圆的圆心，半径，
当斜率不存在时，过点，则直线，
圆心到此直线的距离等于半径1，满足题意；
当斜率存在时，设斜率为k，过点，则直线方程为，
由直线与圆相切，所以圆心到此直线的距离等于半径1，
得，解得，故切线方程为.
故选：AB.
8.答案：ACD
解析：圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线l的斜率存在，
若直线l过坐标原点，设直线l为，即，
则，解得，
所以直线l的方程为或；
若直线l不过坐标原点，设直线l为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线l的方程为，
综上可得直线l的方程为或或.
9.答案：
解析：，即，直线l方程为，
直线l与圆相交，则，解得．
故答案为：．
10.答案：0（或，答案不唯一）
解析：由已知圆：的圆心为，半径，
又直线：与圆：相切，
所以圆心到直线的距离，
解得或.
故答案为：0（或，答案不唯一）.