3.3 幂函数 学案（无答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3．3 幂函数【导学】
导学目标：
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数的图象，掌握它们的性质(重点).
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).
【知识要点】
1.幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
图 像
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值 域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞) 增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减
公共点 (1,1)
3.幂函数的图象
幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
【典型例题】
题型一　幂函数的解析式
注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
【例1-1】在函数①y＝，②y＝x3，③y＝2x，④y＝3，⑤y＝-2x2，⑥中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
【例1-2】已知幂函数，且为偶函数，求函数的解析式．
【例1-3】已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 .
.
题型二　幂函数的图象及性质
【例2-1】如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（ ）
A．，3， B．，3，
C．，，3 D．，，3
【例2-3】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，
画出f(x)的图象。
指出该函数的定义域与单调区间．
判断奇偶性。
题型三 利用幂函数的性质比较大小
比较幂值大小的方法 (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
【例3-1】比较下列各组数中两个数的大小：
(1)； （2）
【例3-2】比较下列各组数中两个数的大小
(1)； （2）
【例3-3】已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
题型四 幂函数图象过定点问题
【例4-1】（多选）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（ ）
的图像一定过原点
B．的图像一定过点
C．的图像可能经过第三象限
D．的图像可能经过第四象限
【例4-2】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-3】（多选）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A． B．为偶函数
C．为单调递增函数 D．的值域为