函数单调性知识总结与题型归纳
知识再现
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（3）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（4）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（5）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
（6）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
题型一：单调性的定义
例1.（多选）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（ ）
A． B． C． D．
例3.已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例4.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例5.若函数是上的减函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
例6.若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型二：常见函数的单调性
例7.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值
例8.已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是________.
例9.已知函数，则使得函数在区间上递减时实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例10.如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是________.
例11.函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例12.函数在上的最大值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
例13.函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和 C． D．和
例14.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和 C．和 D． 和
例15.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
题型三：用定义证明函数的单调性
例16.用定义证明函数在上单调递增.
例17.已知．
（1）证明：在（2，+∞）单调递增；
（2）解不等式：．
例18.试用定义讨论并证明函数在上的单调性.
题型四：抽象函数的单调性
例19.已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__．
例20.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是________.
例21.已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
例22.已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型五：单调性的性质
例23.函数的值域为
A． B． C． D．
例24.已知函数，则函数有（ ）
A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值
例25.关于函数的最值的说法正确的是（ ）
A．既没有最大值也没有最小值 B．没有最小值，只有最大值
C．没有最大值，只有最小值 D．既有最小值0，又有最大值
例26.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例27.函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
例28.已知函数，若在区间上是减函数，则实数的取值范围是________.函数单调性知识总结与题型归纳
知识再现
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（3）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（4）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（5）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
（6）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
题型一：单调性的定义
例1.（多选）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.
若，则，故选项C不正确. 故选：ABD.
例2.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（ ）
A． B． C． D．
解析：“对任意，，且都有”，
函数在上单调递减，
结合选项可知，A ：在单调递增，不符合题意，
B：在单调递增，不符合题意，
C：在单调递增，不符合题意，
D：在单调递减，符合题意. 故选：D．
例3.已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
例4.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：函数，
函数在，上为减函数，在上函数值保持不变，
若，
则或，解得：，故选：．
例5.若函数是上的减函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
解析：因为函数是上的减函数，所以有，解得，故选A.
例6.若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意可得，解得，所以实数a的取值范围为.故选：A.
题型二：常见函数的单调性
例7.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值
解析：因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.
例8.已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是________.
例9.已知函数，则使得函数在区间上递减时实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例10.如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是________.
例11.函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B
例12.函数在上的最大值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
解:函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数．当x＝2时，. 故选:B
例13.函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和 C． D．和
解析：，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.故选：B
例14.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和 C．和 D． 和
解析：（2）如图所示：
函数的单调递增区间是和．故选：B.
例15.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，所以的增区间为，故选：D.
题型三：用定义证明函数的单调性
例16.用定义证明函数在上单调递增.
例17.已知．
（1）证明：在（2，+∞）单调递增；
（2）解不等式：．
【解析】（1） x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2，+∞），则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，∴在[2，+∞）单调递增．
（2）由，即∈[2，+∞），
∵在[2，+∞）单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
例18.试用定义讨论并证明函数在上的单调性.
题型四：抽象函数的单调性
例19.已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__．
解析：根据题意，函数是定义在区间上的减函数，
若，则有，解可得，
即的取值范围为，，故答案为：，．
例20.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是________.
例21.已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为对任意、，恒成立，
所以，，
则由，得，又是上的减函数，
所以，解得．因此，不等式的解集为.故选：B．
例22.已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
解析：由于，令得，即，
则，由于，则，即有，
由于对于，都有，则在上递减，不等式即为.则，解得或，即解集为.故选：D
题型五：单调性的性质
例23.函数的值域为
A． B． C． D．
解析：由题意可得，解得，则函数的定义域为，
由于函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数，
所以，函数在定义域上为增函数，
当时，该函数取得最小值，即；当时，该函数取得最大值，即.
因此，函数的值域为.
故选：A.
例24.已知函数，则函数有（ ）
A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值
解析：因为，令，所以，
所以，因为的对称轴为，所以在上递增，
所以，无最大值，所以的最小值为，无最大值，故选：C.
例25.关于函数的最值的说法正确的是（ ）
A．既没有最大值也没有最小值 B．没有最小值，只有最大值
C．没有最大值，只有最小值 D．既有最小值0，又有最大值
解析：函数的定义域为：.
,
函数在时,都是增函数且,因此
函数在时,是单调递减函数故函数有最大值,最大值为,函数没有最小值.故选：B
例26.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：令，解得的定义域为
在上递增，在上递减，函数在上为增函数
函数的单调增区间为故选：A
例27.函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：由函数有意义得，解得.
函数图象的对称轴为直线
在上单调递增，在上单调递减，
的单调递减区间是.故选：C.
例28.已知函数，若在区间上是减函数，则实数的取值范围是________.
