函数的定义及常考题型总结
知识储备
1．函数的概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，
(2)函数的定义域与值域
函数中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)对应关系：除解析式、图象表格外，还有其他表示
对应关系的方法，引进符号统一表示对应关系．
题型一：函数的定义
例1．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是（ ）
A.A＝R，B＝{x|x>0}，：x→y＝|x|； B.A＝Z，B＝N*，：x→y＝x2；
C.A＝Z，B＝Z，：x→y＝； D.A＝[－1,1]，B＝{0}，：x→y＝0.
例2.设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有（ ）个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例3.已知集合,，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A． B． C． D．
例4.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
例5.（多选）下列关于同一函数说法正确的是（ ）
A.与是同一函数； B.与是同一函数；
C.与是同一函数；
D.与是同一函数.
题型二：函数定义域问题
例6.函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．以上都不对
例7.函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例8.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例10.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例11.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例12.若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
例13.已知的定义域为，则实数的取值范围是 ．
题型三：函数的对应关系
例14.设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B． C． D．
例15.若是上单调递减的一次函数，若，则__．
例16.已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例17.已知，则_________.
例18.已知求的解析式.
变式训练：
1.已知是二次函数，且，求；
2.已知函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，求.
4．已知函数满足，则函数的解析式是______．
题型四：函数的值域
例19.已知，，则___________．
例20.设函数，若，则实数的值为_____．
例21.已知，函数若，则___________.
例22.求函数值域
（1），； （2），；
（3） (4) （5）
例23.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
例24.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
例25.求函数的值域.
例26.若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．C． D．函数的定义及常考题型总结
知识储备
1．函数的概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，
(2)函数的定义域与值域
函数中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)对应关系：除解析式、图象表格外，还有其他表示
对应关系的方法，引进符号统一表示对应关系．
题型一：函数的定义
例1．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是（ ）
A.A＝R，B＝{x|x>0}，：x→y＝|x|； B.A＝Z，B＝N*，：x→y＝x2；
C.A＝Z，B＝Z，：x→y＝； D.A＝[－1,1]，B＝{0}，：x→y＝0.
[解析] A中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，B中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于C，集合A中负整数没有意义．
[答案] D
例2.设，，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有（ ）个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：选A。只有第④正确
例3.已知集合,，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应，
选项A中集合中2对应的数有两个，故错误；
选项B中集合中3没有对应的数，故错误；
选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误；
选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确，故选：D
例4.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选D。
例5.（多选）下列关于同一函数说法正确的是（ ）
A.与是同一函数； B.与是同一函数；
C.与是同一函数；
D.与是同一函数.
解析：选BD。
题型二：函数定义域问题
例6.函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．以上都不对
解析：由题意知, 且,即且,
解得且,故的定义域为且.故选:.
例7.函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
解析：要使函数有意义，则，解得且，
因此，函数的定义域为.故选：C.
例8.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为函数的定义域为，所以，解得，
所以函数的定义域为.故选：A.
例9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
解：因为函数的定义域为，所以，，即，
解得，所以，函数的定义域为故选：C
例10.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.故选：C
例11.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
解析∵的定义域为，∴，∴，
在中，解得，所以函数的定义域为．故选：B
例12.若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.故选：A
例13.已知的定义域为，则实数的取值范围是 ．
解析：∵函数的定义域为R，
恒成立，当m＝0，10>0恒成立；
当m≠0时，有解不等式可得，，
综上可得故答案为.
题型三：函数的对应关系
例14.设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B． C． D．
解析：设，其中，则，
所以，，解得或.
当时，，此时，合乎题意；
当时，，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B.
例15.若是上单调递减的一次函数，若，则__．
解析：因为是上单调递减的一次函数，所以设，且，
，又因为，
所以，解得，所以故答案为：．
例16.已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
解析：令，则 ，所以，
所以，故选：A.
例17.已知，则_________.
解析：令，则，
由，得()，
即(). 故答案为：.
例18.已知求的解析式.
解析：构造方程，利用解方程组的方法求解解析式即可.
以－x代替x得：,与联立得：.
变式训练：
1.已知是二次函数，且，求；
解析：
2.已知函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
解析：配凑法或换元法，选A.
3.已知，求.
解析：
4．已知函数满足，则函数的解析式是______．
解析：
题型四：函数的值域
例19.已知，，则___________．
解析：令，解得：，故
故答案为：
例20.设函数，若，则实数的值为_____．
解析：由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．故答案为：.
例21.已知，函数若，则___________.
解析：由解析式可得：，∴，可得.
故答案为：.
例22.求函数值域
（1），； （2），；
（3） (4) （5）
解析：（1），，在区间上单调递增，所以值域为.
（2）因为，函数的定义域为,
所以在上单调递增，在上单调递减，
，又因为，，所以.所以的值域为.
（3）的定义域是，，由于，所以，所以值域为.
（4）令，则，可得，
当时，等号成立，所以函数的值域为.
（5）因为，则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为.
例23.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案D
例24.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
解析：答案C.
例25.求函数的值域.
解析：
例26.若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．C． D．
【解析】因为函数的值域为，
所以能取遍所有大于或等于零的实数，即方程在实数范围内有解．
所以，解得．故选：B．
