3.3 勾股定理的简单应用 课件（25张ppt）

3.3 勾股定理的简单应用
第1课时
1.能运用勾股定理解决实际问题，发展应用意识．
2.在解决实际问题的过程中体会转化、建模、数形结合的思想方法，体会数学的应用价值．
甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm)
长宽比
甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm)
长宽比
分析：1. 若将屏幕视为矩形，长、_____、_______的关系可转化为直角三角形问题．
对角线
宽
甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm)
长宽比
2. 对于甲手机：设宽为 x 英寸，则长为______英寸；
对于乙手机：设宽为9y英寸，则长为________英寸．
x
9y
2x
2x
16y
16y
甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm)
解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸，乙手机屏幕的长、宽分别
为16y英寸，9y英寸．根据勾股定理，得
　甲：(2x)2＋x2＝5.52，解得x2＝6.05，
屏幕面积：2x×x＝2x2＝2×6.05＝12.1平方英寸；
乙： (16y)2＋(9y)?＝5.42，解得y2＝????????.????????????????????，
屏幕面积：16y×9y＝144y2＝144×????????.????????????????????≈12.5平方英寸．
∵12.1＜12.5
∴乙手机屏幕的面积更大.
?
实际问题
数学建模
抽象出几何图形
确定所求线段在直角三角形中
代数求解
利用勾股定理建立方程
应用勾股定理解决这类实际问题的思路：
例1 《九章算术》中有一个“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺),中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?
x
10－x
3
┐
B
C
A
例1 《九章算术》中有一个“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺),中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?
解：如图，竹子在点B处折断，竹梢点A着地，
△ABC是直角三角形．
设BC的长为x尺，则AB的长为(10－x)尺．
由勾股定理，得 x2＋32＝(10－x)2．
解得 x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
x
10－x
3
┐
B
C
A
1. 如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点对B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为16m，教学楼高15m，围墙BC高3m，问至少需要多长的彩旗带？
E
D
解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，
由题意，得BE＝16m，AD＝15m，BC＝3m，
∴ED＝BC＝3m，AE＝AD－ED＝15－3 ＝12m，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB2＝AE2＋BE2＝162＋122＝400，
∴AB＝20m.
答：至少需要20m长的彩旗带.
16m
15m
3m
2. 如图，在一次消防演习中，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上.当梯子位于AB位置时，AO＝2.4 m，BO＝1.8m．如果梯子顶端要下降0.4m(即AC＝0.4m)，那么梯子的底端B应向右滑动多少米？
解：在Rt△ABO中，
∵AB2＝AO2＋BO2＝2.42＋1.82＝9.0，
∴AB＝3m，
∴CD＝AB＝3m，
在Rt△CDO中，
∵CO＝AO－AC＝2.4－0.4＝2(m)，
∴OD2＝CD2－CO2＝32－22＝5，
∴OD＝????≈2.236(m)，
∴BD＝OD－OB≈2.236－1.8＝0.436≈0.4(m)．
答：梯子的底端B应向右滑动约0.4米.
?
3．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设芦苇长AB＝x尺，则水深BC＝(x－1)尺，
由题意得 (x－1)2＋52＝x2，
解得 x＝13
即AB＝13尺，BC＝12尺.
答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺.
┐
B
C
A
1尺
5尺
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1．构造直角三角形；
3．用勾股定理列出方程；
4．解方程；
5．检验、写出答案．
2．设出未知数；
3.3 勾股定理的简单应用
第2课时
1.能运用勾股定理及其逆定理进行代数推理，理解如何用代数方法证明几何结论．
2.能运用勾股定理及其逆定理进行相关的计算．
在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩？为什么这样测量？
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
A
例1 证明：
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
条件
结论
2. 依据命题条件,怎么画出能体现这些条件的图形？
①
②
③
A
l
∟
Q
Q
P
3. 当Q移动时，△PAQ始终是什么三角形？
4. 在直角三角形中，三边满足什么关系？
怎样比较两边的长短？
例1 证明：
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
证明：∵PA⊥l，
∴△APQ为直角三角形.
根据勾股定理，得
PQ2＝PA2＋AQ?．
∵AQ＞0，
∴PQ2＝PA2＋AQ?＞PA2．
∴PA＜PQ．
已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点．
求证：PA＜PQ．
A
l
∟
Q
P
例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn.
∟
C
A
B
D
∟
h
m
n
分析：1. h，m，n在哪些直角三角形中？
三边满足什么关系？
2. AC，BC又在哪个三角形中？之间有什么关系？
证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC2＝h2＋m2．
在Rt△DBC中，根据勾股定理，得
BC?＝h2＋n2．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB?．
∵AB＝m＋n，
∴h2＋m2＋h2＋n2＝(m＋n)?.
2h2＋m2＋n2＝m2＋n2＋2mn.
∴h2＝mn.
例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn.
∟
C
A
B
D
∟
h
m
n
如图，在数轴上点B表示????，点C表示????……你能在数轴上画出表示????的点吗？试写出a99的值．
?
a1
1
1
1
1
1
1
a2
a3
a4
a5
0
A
－1
C
D
B
A5
A4
A3
A2
A1
E
解：如图所示，在数
轴上的点E表示????．
由图中的规律可知，
a99＝????????????＝10．
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
探究
1. 长度分别为????，????，????的三条线段能构成一个三角形吗？
如果可以，判断这个三角形的形状．
?
解：∵????≈1.73，????≈2.24，????≈2.83，
∴????＋????＞????，
∴ 这三条线段能构成一个三角形.
∵(????)2＋(????)2＝3＋5＝8，(????)2＝8，
∴(????)2＋(????)2＝(????)2，
∴这个三角形是直角三角形．
?
根据边长如何
判断三角形形状？
勾股定理的逆定理
解：如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AB＝a，BD＝????????BC＝????????a，
由等腰三角形三线合一得AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2＝AB?－BD2＝a?－????????????2＝????????a?，
∴AD＝????????????????．
?
2. 求边长为a的等边三角形的一条中线的长．
C
A
B
D
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边作正方形ABDE，与△ABC位于AB的同侧，图中阴影部分的面积是多少？
C
A
B
D
E
∟
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC?＋BC2＝2?＋42＝20，
∴S正方形ABDE＝AB2＝20，
S△ABC＝????????×AC×BC＝????????×2×4＝4，
∴S阴影＝S正方形ABDE－S△ABC＝20－4＝16．
?
求出平方即可.
勾股定理的简单应用
勾股定理
解决实际问题
用代数方法证明几何结论
勾股定理的逆定理
判断是否是直角三角形