《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计——2026届高三数学一轮复习

《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计
1 教学内容解析
数学是关于现实世界数量关系与空间形式的科学．解析几何作为数形结合的典范，将公理体系化的论证几何推进到算理体系下的运算几何．遵从学科知识的历史发展脉络与认知发展的心理逻辑，先有“形”，后有“数”，形是解析几何的研究对象，数是解析几何的研究方法，“坐标法”的提出创造性地实现几何问题与代数问题的翻译与转化．
直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何主干内容的升华，基于《直线与方程》、《圆与方程》、《圆锥曲线与方程》的学习，学生获得了用方程表示图形的意识，经历了从形到数再由数解形的基本过程，特别是直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系的研究历程逐步积累了借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，深化对于“数形融通”的认识．
图1 知识结构
本节课的教学内容基于单元整体教学理念，聚焦知识结构生成，聚焦思想方法渗透，聚焦问题解决能力，聚焦思维品质提升，强化“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的学科特征，强调利用几何图形的基本性质简化代数运算重要意义，多思少算，充分利用直线、三角形、平行四边形等基本平面图形的性质解决与圆锥曲线位置关系的问题，提高直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模和数学抽象等素养．
根据以上分析，确定本节课的教学重点：平面解析几何知识体系再建构；圆锥曲线与方程知识的综合运用；数形结合思想的再升华．
2 教学目标设置
本节课的教学目标设置如下．
（1）通过对圆锥曲线与方程相关知识的整合与应用，发现基本思想统领下知识内部的联系；
（2）经历知识再建构的过程，体会数形结合、转化与化归等数学思想，形成大单元观念；
（3）围绕问题解决，在分析与解决问题的过程中，体会不同构图方式决定不同切入口，培育思维品质，提升思维水平．
本节课的教学是以“直线与圆锥曲线位置关系”为研究载体，借助2024年高考题，帮助学生系统了解研究解析几何的思维过程，深化用坐标法解决几何问题的基本方法的认识，提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在单元整体教学高观点引领、思想性驾驭、结构化关联的基本要求指引下，用数学文化、理性思维和实践应用育人，努力实现数学学科的育人价值．
3 学生学情分析
3.1 学生已有的认知基础
本节课的授课对象是江苏省高品质高中立项学校高三学生，他们已经初步掌握了“平面解析几何”的主干知识，能从代数角度研究点、直线、圆、圆锥曲线及图形之间的关系，初步具备研究解析几何的直接经验，具有一定的结合图形直观来获得解题思路的能力，有一定的探究推理能力和逻辑思维能力．
3.2 达成目标所需的认知基础
要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，本节课的教学需要逐级构建章节知识结构，有系统性和连贯性．深刻理解用代数方法研究图形位置关系的数学思想，深刻理解数形结合思想和坐标法的本质的基础上，能够“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”，这些是学生缺乏的，也是学生所需要的．
3.3 教学难点与突破策略
基于达成目标的认知困难，确定本节课的教学难点：“数”与“形”对立与统一的再感悟；解析几何研究的一般路径的再探索；不同构图方式对不同能级求解运算影响的再认识．
突破难点的相应策略如下：
①以问题驱动教学，让学生通过画图辨图、数形转换、猜想验证、联想对比，不断创设认知冲突，强化目标意识；
②分析问题内涵，规划探究路径，展示思维过程；
③通过操作确认、思辨论证，逐步建立直线与圆锥曲线位置关系的几何属性与代数属性的变化规律，并借助图形软件动态演示．
4 教学策略分析
问题探究式教学——教师为主导（问题引领，方向指引），学生为主体（合作交流，自主探究），知识为主线（直线与圆锥曲线的位置关系），思想为主旨（数形结合，转化与化归）．
基于此，确定具体教学策略如下：
（1）站在大单元的角度组织复习内容，通过精心设计问题串，创设情境，引导学生回顾解析几何研究历程与研究方法，从“数”与“形”两个角度进行分析，帮助学生形成完整的认知结构；
（2）基于有意义学习、建构主义等学习理论观点组织教学活动．结合学生的实际学习能力和学生的思维特点及认知基础，运用引导发现和讲练结合的方法提出问题，让学生分析、思考和交流，在巩固知识的同时培养学生自主建构新知识的能力；
（3）围绕问题解决，让学生体会数形结合的双向转化过程，感悟“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的学科特征，培养数学思维．
5 教学过程设计
环节1：温习回顾，自主建构
解析几何彻底改变了数学的研究方法．——M．克莱因
【问题1】你能说一说对“解析几何”的认识吗？
学生活动：零散的、片段化的记忆．
教师总结：代数方法研究几何问题，“几何”与“代数”双向奔赴，抓几何图形的特征，能简化或者优化，算理、算法又揭示了图形的本质．
【设计意图】借助克莱因的名言，揭示解析几何的方法论意义．引导学生追忆学习过程，教师适时总结，宏观上把握解析几何基本思想，同时进行可操作的指导．感悟代数与几何的双向奔赴，实现知识的体系化、结构化同时，深入体会解析几何基本思想，提出课题．
环节2：主题聚焦，方法引领
【问题2】直线与圆锥曲线有哪几种位置关系？
学生活动：相离、相切、相交
【问题2.1】如何判断的？以椭圆为例．
学生活动：交点个数；方程组解的情况；．
教师总结：几何视角，也有代数视角．椭圆、双曲线、抛物线一脉相承，求同存异，但它们各有特征，如“相切”与只有“一个公共点”、“一组解”的对应关系，在双曲线与抛物线中需要特别关注．
【问题3】关于直线与椭圆相交，你有哪些研究经历？
学生活动：学生追忆研究过的直线与椭圆相交的问题．
教师总结：研究内容上，既有过定性的判断，也有过定量的求解．研究方法上，基于曲线自身的几何性质，从几何视角能观察、发现规律，还可以联立方程，借助根与系数的关系；“设而不求”是我们同学研究问题最常见的手段，“点差法”也能获得一些规律，如直线与中点弦的斜率关系等；多条线又可以组合成三角形、四边形等．在静止与运动中，利用方程研究几何性质；反过来，几何性质也能求解曲线或直线的方程．
【设计意图】椭圆是圆锥曲线最具代表性的图形，“相交”是最普遍的位置关系，立足“直线与椭圆相交”，从思想、方法逐渐过渡到问题提出与解决，叙事式追忆研究经历，单一图形过渡到组合图形，位置关系判断过渡到定量研究，将无序的、片段化的记忆引导走向内容、方法、策略的有序建构，为提出“例题”奠定基础．
环节3：重温经典，策略辨析
例题（2024全国新高考Ⅰ卷16）已知和为椭圆C：（a>b>0）上的两点．
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
【问题4】如何探索直线l的方程？需要哪些几何要素？
【问题4.1】课前已让同学们尝试完成，请大家分享你的研究过程．
学生活动1：投影展示，说思路1（以BP为底）．
学生活动2：投影展示，说思路2（以AD为底）.
学生活动3：投影展示，说思路3（以AP为底）.
学生活动4：投影展示，说思路4（平行线）.
学生活动5：先猜后证．
教师总结：对学生解法及时评价并总结．
【问题5】回顾研究过程，比较几种解法，请谈一谈你的体会．
学生活动：不同视角、不同工具、不同设法、多思少算……
教师活动：多思少算！本题的解法是多样的，有同学设直线AB的方程，过程类比设直线PB；也有同学利用椭圆的参数方程或者结合向量知识，甚至还有同学用了仿射变换等等．
【设计意图】围绕问题解决，让学生说想法，说思路，说过程，充分展示思维过程．抓住如何确定直线的几何要素展开研究，在交流过程中评价、比较解法的异同、优劣，逐渐深化“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识．
环节4：提出问题，师生共研
师：就此题背景，适当改变条件，你还想继续研究什么问题呢？请独立思考2分钟后，4人一小组合作交流，然后汇报你们组的想法．
【问题6】你还能提出哪些新的问题？
学生活动：独立思考、合作交流.
【设计意图】经历深刻的数学思维活动，检验学生能否继续发现并提出新问题，分析与解决新问题．借用波利亚的名言，引导学生基于已有经历，反思研究过程，提出新的问题．在独立思考的基础之上，小组交流，分享命题可能，学生汇报，教师点评，适时关注到学生思考结果与经典考题的相似度，学生自主完成，检验教学效果，发展数学运算素养．
变式 （2020全国新高考Ⅱ卷）已知椭圆C：（）过点M，点A为其左顶点，且AM的斜率为．
（1）求C的方程；（）
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
学生活动：学生独立完成，投影展示．
【设计意图】学生在教师的指导下主动探究，既是检验、也是发展学生的数学思维能力水平．高考真题代表变式出场，恰时恰点弥合学生的认知需求．
环节5：回顾小结，升华经验
【问题7】请同学们回顾本节课的收获．
学生活动：结合板书，从知识、方法、数学思想几方面进行了总结．
教师总结：深入研究直线与圆锥曲线的位置关系，以直线与椭圆相交为例，聚焦高考，重温经典，用代数方法研究几何图形，深切感受了数形结合思想和坐标法的本质——多思少算．为直线与双曲线、抛物线的研究提供方法类比和知识迁移，为解决其它新问题奠定基础．
【设计意图】从知识、方法、思想等多维度进行反思提炼．既总结收获、积累经验，有站在单元的视角明晰解析几何研究的方向，鼓励学生自主探究、培育素养，为达成“真懂会用”的考查要求持续努力．
6 课堂教学评价与作业设计
课堂教学评价
关于教学评价，不仅关注学生的学业表现，还关注学生的情绪与动机；不仅关注收获的结果，更关注学习的过程；不仅关注学生的“学会”，更关注学生的“会学”．教学过程中，学生能够积极主动参与课堂，大胆分享自己的心得、体会，阐述自己的研究过程，交流自己的困惑并能够通过独立思考、教师讲解、同学交流等方式得以解决，积累学习经验，养成良好的学习习惯．面对难点，特别是需要调动较深层次思考，如“由数想形”、“直觉猜想”等活动，能够直面困难，通过画图尝试、猜想验证、逻辑推理等手段勇于探索，并大胆展示自己的想法，敢于试错，培养良好的思维品质和科学精神．在辨析与比较中，尽力追忆研究过程，提取方法特征，提炼方法本质，思辨方法属性，总结方法特性，形成一般观念，为新问题的分析与解决奠定良好的认知基础．面对新的问题情境，能够充分思考，运用理性思维，在规划与实践中，快速解决问题，发展直观想象、数学运算核心素养．课堂小结，结合板书，追忆历程，总结升华，自觉提出“多思少算”的问题解决观，为直面新的问题情境奠定基础，为终身学习的习惯与方法养成奠定坚实的基础．
（二）作业设计
1.思考.运用：请结合今天的学习，思考并完成练习：
已知椭圆C：的离心率为，且过点A．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点D，使得|DQ|为定值．
2.探究.拓展：①记录今天的研究过程，写下你的研究体会；
②请对知识再建构，梳理直线与双曲线、抛物线位置关系的知识框图．