第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
一、空间向量的概念
1.在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的 叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母```表示.
2.长度为 的向量叫做零向量，记为0.
3.模为 的向量叫做单位向量.
4.与向量长度 而方向 的向量，叫做的相反向量，记为.
5.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
6. 与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥.
7.方向 且模 的向量叫做相等向量.
8.与平行的 称为直线l的方向向量.
二、空间向量的运算
1. 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.
（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时，；
2.运算法则: 法则、 法则、平行六面体法则.
平行六面体法则:在平行六面体中，.
3.运算律（其中）
交换律：；
结合律：；
分配律： ，.
三、共线向量
1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作∥.
2.共线向量定理：空间任意两个向量，∥ .
3．三点共线：三点共线(其中)．
4.与共线的单位向量为 .
四、共面向量
1. 定义：一般地，能平移到 叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是 ，使.
3. 证明四点共面的方法
方法一： 若要证明四点共面，只需要证明.
方法二：若要证明四点共面，只需要证明(其中).
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.数量积定义：已知两个非零向量，则 叫做的数量积，记作.即 .特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
2.空间向量的数量积满足如下的运算律：
；
交换律：；
分配律：.
3.数量积的应用：
①证明向量垂直：当，时，有；
②求向量模长或线段长：；
③求向量夹角或异面直线的夹角： .
【自主诊断】
1.已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( )
A． B． C． D．1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算 答案
一、空间向量的概念
1.在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母```表示.
2.长度为0的向量叫做零向量，记为0.
3.模为1的向量叫做单位向量.
4.与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为.
5.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
6.零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥.
7.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
8.与平行的非零向量称为直线l的方向向量.
二、空间向量的运算
1. 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.
（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时，；
2.运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
平行六面体法则:在平行六面体中，.
3.运算律（其中）
交换律：；
结合律：；
分配律：，.
三、共线向量
1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作∥.
2.共线向量定理：空间任意两个向量，∥存在实数使.
3．三点共线：三点共线(其中)．
4.与共线的单位向量为.
四、共面向量
1. 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
3. 证明四点共面的方法
方法一： 若要证明四点共面，只需要证明.
方法二：若要证明四点共面，只需要证明(其中).
1.1.2 空间向量的数量积运算 答案
1.数量积定义：已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
2.空间向量的数量积满足如下的运算律：
；
交换律：；
分配律：.
3.数量积的应用：
①证明向量垂直：当，时，有；
②求向量模长或线段长：；
③求向量夹角或异面直线的夹角：.
【自主诊断】
1.已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则( )
A． B． C． D．
【解析】四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体，分别为棱的中点，
．故选．
