1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 答案
1.直线的方向向量：若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
2.平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量.
3.平面的法向量的求法（待定系数法）
① 建立适当的坐标系；② 设平面的法向量为；
③ 求出平面内两个不共线向量的坐标，；
④ 根据法向量定义建立方程组
⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
【自主诊断】
1．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．
【解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且，∴两两垂直．以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，易知向量是平面的一个法向量．设为平面的法向量，
则即，
取，则，所以平面的一个法向量为.
课时2 空间线面位置关系的判定 答案
一、判定空间中的平行关系
1.线线平行：
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即R,使得.
2.线面平行：
设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.
3.面面平行：
若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证，即证，则R,使得.
二、判定空间的垂直关系
1.线线垂直：
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
2.线面垂直：
方法一：设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.
方法二：设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，，若则.
3.面面垂直：
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
课时1 用空间向量研究距离问题 答案
1.点A,B间的距离 .
2.点P到直线的距离
若P为直线外的一点，Q在直线上，为直线的方向向量，，则点P到直线距离为.
3.点到平面的距离
若点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在直线l上的投影向量的长度，即.
4.直线平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.
5.利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.
【自主诊断】
1．在长方体中，，，则点到平面的距离等于 .
【解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离：．
课时2 用空间向量研究夹角问题 答案
1.求异面直线所成的角
已知为两异面直线，其方向向量分别是，，所成的角为，
则.
注意：向量，所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是.
2.求直线和平面所成的角
设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，
则为的余角或的补角的余角，即有.
注意：当时，，如图①所示；当时，，如图②所示.
3.求平面与平面的夹角
（1）二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是.如图：
（2）平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
（3） 空间向量求平面与平面的夹角
设平面与平面的法向量分别为，，平面与平面的夹角即向量，的夹角或其补角，即.1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
课时1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.直线的方向向量：若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
2.平面的法向量：若向量所在直线 平面，则称这个向量垂直于平面，记作 向量叫做平面的法向量.
3.平面的法向量的求法（待定系数法）
① 建立适当的坐标系；② 设平面的法向量为；
③ 求出平面内两个不共线向量的坐标，；
④ 根据法向量定义建立方程组
⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
【自主诊断】
1．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．
课时2 空间线面位置关系的判定
一、判定空间中的平行关系
1.线线平行：
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明 ，即R,使得 .
2.线面平行：
设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明 ，即 .
3.面面平行：
若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证，则R,使得 .
二、判定空间的垂直关系
1.线线垂直：
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明 ，即 .
2.线面垂直：
方法一：设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.
方法二：设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，，若则.
3.面面垂直：
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，
即证 .
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
课时1 用空间向量研究距离问题
1.点A,B间的距离.
2.点P到直线的距离
若P为直线外的一点，Q在直线上，为直线的方向向量，，则点P到直线距离为.
3.点到平面的距离
若点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在直线l上的投影向量的长度，即 .
4.直线平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.
5.利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.
【自主诊断】
1．在长方体中，，，则点到平面的距离等于 .
课时2 用空间向量研究夹角问题
1.求异面直线所成的角
已知为两异面直线，其方向向量分别是，，所成的角为，
则 .
注意：向量，所成角的范围是 ，而异面直线所成的角范围是 .
2.求直线和平面所成的角
设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，
则为的余角或的补角的余角，即有.
注意：当时，，如图①所示；当时，，如图②所示.
3.求平面与平面的夹角
（1）二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围 如图：
（2）平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中 的二面角称为平面与平面的夹角.
（3） 空间向量求平面与平面的夹角
设平面与平面的法向量分别为，，平面与平面的夹角即向量，的夹角或其补角，即 .
