2.3.4圆与圆的位置关系 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.4圆与圆的位置关系
学习目标
能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法．
能利用圆与圆的位置关系解决公切线有关问题
重难点
重点：圆与圆的位置关系判断
难点：公共弦和公切线有关问题
三、知识梳理
几何判定方法
圆与圆的五种位置关系：设两个圆的半径分别为，两个圆的圆心距为d，则两个圆外离 ；两个圆外切 ；两个圆相交 ；两个圆内切 ；两个圆内含 .
2.代数判定方法
给定平面中的 与 ，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．此时，设两圆的圆心距为 ，则 的圆心坐标为 ，设两圆的方程分别为 ，将它们联立，
得方程组 ，整理可得一元二次方程
计算判别式
若判别式_______，则两圆相交
若判别式_______，则两圆相切
若判别式_______，则两圆相离
四、例题讲解
例1 分别判断下列两个圆的位置关系：
（1）；
（2）．
例 2 判断圆 与圆 的位置关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程．
总结：
同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线.
平面内两个圆的公切线条数与它们的位置有什么关系？
五、课堂练习
1.已知圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
2.圆与圆的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.外离 D.相交
3.圆与圆的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为( )
A.内含 B.相交 C.外切 D.外离
5.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
6.已知圆与圆外切，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为( )
A.外离 B.外切 C.内切 D.相交
8.已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是( )
A.0 B.4 C.8 D.12
9.已知圆和圆，则这两个圆的位置关系为__________.
10.若圆与圆内切，则____________.
六、课后练习
1.若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知圆与圆有两个公共点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.若圆和圆相切，则r等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.已知两圆和相交，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若圆与圆相切，则实数a的值为( )
A. B. C.或 D.3r或r
6.已知圆与圆相外切，则ab的最大值为( )
A.2 B. C. D.3
7.（多选）已知圆与圆内切，则m的值可以为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.（多选）已知，圆，圆，则( )
A.两圆可能外离 B.两圆可能相交 C.两圆可能内切 D.两圆可能内含
9.圆与圆外切，则实数________.
10.已知圆与圆内切，则___________.
答案及解析
知识梳理
1.
2.（1） （2） （3）
四、例题讲解
例题1
解：（1）由方程可知圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 ，因此两圆的圆心距 ，又因为 ，所以 ，从而两个圆相交．
（2）将两圆的方程化为标准方程，分别为 ，由此可知圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 半径 ，因此两圆的圆心距，又因为 ，所以 ，从而可知两圆内切．
例题2
解：两圆的圆心距为 ，又因为，所以圆 与圆 相交．解方程组 ，可得 或 因此两圆的交点为 ，，从而可以求得交点所在的直线方程为
五、课堂练习
1.答案：C
解析：，圆心，半径，
可化简为，
则圆的圆心为，半径，
，所以两圆相交.
故选：C.
2.答案：D
解析：的圆心和半径为，，的圆心和半径为，，
故，，故两圆相交，
故选：D.
3.答案：C
解析：圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
两圆的圆心距为，
所以，所以两圆的位置关系为外切.
故选：C.
4.答案：A
解析：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
又，
所以，
所以圆与圆的位置关系为内含.
故选：A.
5.答案：A
解析：由题，
，
故，
故，，
故，
故两圆相交.
故选：A
6.答案：C
解析：由圆与圆外切，可得，即，.
故选：C.
7.答案：D
解析：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，
半径为，因为，则，故这两个圆相交.
故选：D.
8.答案：C
解析：因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，
故选：C.
9.答案：内含
解析：因为圆，
圆，
所以圆心距，
而两圆半径之差，故两个圆内含.
故答案为：内含
10.答案：
解析：因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，
所以，
解得.
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：C
解析：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，
则有，
即，解得，
又，所以.
故选：C.
2.答案：C
解析：由题意可得：，
即：，
解得：，且，
所以a的取值范围为，
故选：C
3.答案：C
解析：圆的圆心，半径为5;
圆的圆心，半径为r.
若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|，
求得或-8，不满足.
若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|，
求得或-18(舍去)，
故选：C.
4.答案：C
解析：由圆，知圆心为，半径，由圆，知圆心为，半径，
所以根据两圆相交得，，则.
故选：C.
5.答案：C
解析：圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为2r.
①当两圆外切时，有，此时.
②当两圆内切时，有，此时.
综上，当时，两圆外切；当时，两圆内切.
故选：C.
6.答案：D
解析：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
依题意，，
于是，即，因此，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为3.
故选：D.
7.答案：BD
解析：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆内切，所以，
即，解得或2.
故选：BD.
8.答案：ABC
解析：圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，，.当时，，两圆外离；当时，，两圆相交；
当时，，两圆内切；当时，，两圆外切.
综上所述，两圆可能外离，可能相交，可能内切，可能外切，不可能内含.
故选：ABC.
9.答案：±4
解析：两圆的圆心为，，半径为1和4，
因为两圆外切，则，解得.
故答案为：±4
10.答案：
解析：由圆知，圆心为，半径为，由圆知，圆心为，半径为，因为两圆内切，故，即，解得.