2.6.2 双曲线的几何性质学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.6.2双曲线的几何性质
学习目标
理解并掌握双曲线的几何性质
能求双曲线的离心率．
能利用双曲线的简单性质求标准方程．
重难点
重点：利用双曲线的简单性质求标准方程
难点：运用双曲线的几何性质解决一些问题
三、知识梳理
1.双曲线的范围：设双曲线C的标准方程是，则双曲线C位于直线 ， 所夹平面区域的外侧.
2.双曲线的对称性：设双曲线C的标准方程是，则双曲线C关于 对称， 是双曲线的对称轴， 是对称中心，双曲线的对称中心也称为 .
3.双曲线的顶点：设双曲线C的标准方程是，则它的顶点坐标为 .
4.双曲线的实轴和虚轴：设双曲线C的标准方程是，则它的实轴和虚轴分别为 ，且实轴长为 ，虚轴长为 ，而双曲线的半实轴长为 ，半虚轴长为 .特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为 .
5.双曲线的渐近线：设双曲线C的标准方程是，则它的渐近线方程为 .
6.双曲线的离心率：设双曲线C的标准方程是，则它的离心率为 ，取值范围为 .
7.因为 ，所以可以看出 ．另外，注意到 ，这说明 越趋近于 1，则 的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
四、例题讲解
例 1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程：
（1）； （2）．
例 2 已知双曲线 的顶点为 ，虚轴的一个端点为 ，且 是一个等边三角形，求双曲线 的离心率．
例 3 已知双曲线 的左焦点为 ，且 是双曲线上的一点，求 的最小值．
五、课堂练习
1.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线,则它的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
4.已知双曲线的渐近线方程为，则( )
A. B.2 C.4 D.
5.已知双曲线离心率为3,则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.双曲线的顶点坐标为( )
A.， B.， C.， D.，
8.双曲线的虚轴长为( )
A.2 B.4 C.9 D.6
9.已知双曲线的离心率为,则_____________．
10.实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为___________.
六、课后练习
1.若双曲线的焦距是其实轴长的2倍,则E的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.若双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.4
6.（多选）渐近线方程为的双曲线方程可以是( )
A. B. C. D.
7.（多选）双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为________.
9.已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率__________.
10.已知为双曲线（，）上一点，C的实轴长为，则C的离心率为___________.
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.x轴、y轴、坐标原点 x轴、y轴 坐标原点 双曲线的中心
3.
4.线段 等轴双曲线
5.
6. e>1
四、例题讲解
例题1
解：（1）由标准方程可知双曲线的焦点在 轴上，且 因此实轴长 ．又因为 ，即 ．因此，双曲线的焦点坐标为 ．离心率 . 渐近线方程为 .
已知双曲线的方程可化为 ，由此可知这个双曲线的焦点在 轴上，且 ，因此实轴长 6，又因为 ，即 ．因此，双曲线的焦点坐标为 ，离心率 ，渐近线方程为 .
例题 2
解：设 为坐标原点，则 的中点为 ，且 ．
由 是等边三角形可知 ，因此 ，又因为 ，所以 ，从而 .
例 题3
解：记双曲线的焦距为 ，则 ，而且 ．设 ，则 ，又因为 是双曲线上一点，所以 ，即 ，因此
注意到 或 ，而且 ，所以当 时， 最小，此时 有最小值，且最小值为 .
五、课堂练习
1.答案：A
解析：的渐近线方程为,
即.
故选：A
2.答案：A
解析：双曲线,则它的渐近线方程为.
故选：A.
3.答案：D
解析：因为双曲线的渐近线方程为，
所以，，
所以双曲线的离心率为2.
故选：D.
4.答案：B
解析：双曲线的渐近线方程为，
，解得.
故选：B.
5.答案：C
解析：因为,所以,
由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：,
故选：C
6.答案：C
解析：依题意，，
，又，
所以，
整理得，所以，
所以双曲线E的渐近线方程为，
即，
故选：C.
7.答案：B
解析：由双曲线方程可知双曲线焦点在x轴上，，
所以双曲线的顶点坐标为，.
故选：B.
8.答案：D
解析：双曲线的虚轴长为.
故选：D.
9.答案：3
解析：由双曲线,得,所以
双曲线C的离心率为,
所以,解得
故答案为：3.
10.答案：
解析：依题设，设双曲线方程为，
且，，即，
所以双曲线方程为.
故答案为：
六、课后练习
1.答案：B
解析：由题意可得：,所以,
则,所以E的渐近线方程为.
故选：B.
2.答案：B
解析：由题意可得，
即有，由，
可得当时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为，
即有渐近线方程为.
故选：B.
3.答案：A
解析：双曲线一个焦点的坐标为，
可知双曲线交点在x轴上，
所以，另一个焦点坐标为，
因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：，
，
，
所以，解得，
又因为，即，解得，
所以双曲线渐近线方程为.
故选：A
4.答案：B
解析：方法一：设双曲线的半焦距为c，由题意可知解得则双曲线的方程为.
方法二：已知双曲线过点，经检验可知，只有双曲线符合此条件，
故选：B.
5.答案：C
解析：∵双曲线的一条渐近线的倾斜角是，
∴,
∴双曲线的离心率.
故选：C.
6.答案：BC
解析：对于A，双曲线的渐近线方程为，故A错误.
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B正确.
对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确.
对于D，双曲线的渐近线方程为，故D错误.
故选：BC.
7.答案：AB
解析：当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率；当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率，
故选：AB.
8.答案：或
解析：当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，实轴长为，
由题意得，，解得，，
所以该双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为，
则渐近线方程为实轴长为，
由题意得，，解得，，
则该双曲线的标准方程为.
综上，该双曲线的标准方程为或.
故答案为：或
9.答案：2
解析：双曲线C的渐近线方程为，即，焦点坐标为，虚轴顶点坐标为.因为焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，所以，则，所以.
10.答案：
解析：由题意知，
即，由为C上一点得，得，所以，
故C的离心率为.