2.7.1 抛物线的标准方程 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.7.1抛物线的标准方程
学习目标
1.了解拋物线的定义，几何图形和标准方程．明确拋物线方程中参数的几何意义．
2.会求拋物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．
重难点
重点：明确拋物线方程中参数的几何意义，会求拋物线的标准方程
难点：灵活运用拋物线的定义解决一些问题
三、知识梳理
1.抛物线的定义：设是平面内的一个定点，l是不过点的一条定直线，则平面上到的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为 ，其中定点称为抛物线的 ，定直线l称为抛物线的 .
2.焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .
3.焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .
四、例题讲解
例 1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
（1）抛物线的焦点到准线的距离是 3，而且焦点在 轴的正半轴上；
（2）抛物线的焦点是 ．
例 2 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（1）抛物线的焦点到 轴的距离是 2，而且焦点在 轴的正半轴上；
（2）抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一．
例 3 已知平面直角坐标系中，动点 到 的距离比 到 轴的距离大 2，求 的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线．
五、课堂练习
1.抛物线的准线方程是，则实数a的值( )
A. B. C.8 D.-8
2.已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( )
A.2 B.3 C.6 D.9
3.已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为( )
A. B.或
C. D.或
6.已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，则p的值为( )
A. B. C.1 D.2
8.以为焦点的抛物线标准方程是( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线C的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_________.
10.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________.
六、课后练习
1.已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为( )
A. B. C. D.
2.已知点F是拋物线的焦点，是C上的一点，，则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
4.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则p的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
5.（多选）已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则_________.
7.分别根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是； （2）准线方程是.
8.写出抛物线的焦点坐标.
9.写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）.
10.求焦点在x轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程.
答案及解析
三、知识梳理
1.抛物线 焦点 准线
2.
3.
四、例题讲解
例题1
解：（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有 的形式，而且 ，因此所求标准方程为 准线方程为 ．
（2）因为抛物线的焦点坐标是 ，所以抛物线的标准方程具有 的形式，而且 ，因此 ，从而所求抛物线的标准方程是 ，准线方程为 ．
例题2
解：（1）由已知可得焦点坐标为 ，因此抛物线的标准方程具有 的形式，且 4，从而所求抛物线的标准方程是
（2）因为双曲线 中，，又因为双曲线的焦点在 轴上，所以焦点坐标为 或 ．如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式，且 ，此时抛物线的标准方程是 ；如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式，且 ，此时抛物线的标准方程是
例题3
解：设 的坐标是 ，则根据题意可知 ，化简得 ．当 时，方程可变为 ，这表示的是端点在原点、方向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示；当 时，方程可变为 ，这表示的是焦点为 的抛物线，如图所示．
五、课堂练习
1.答案：A
解析：抛物线化为标准方程：，
因为其准线方程是，而，
所以，即，
故选：A.
2.答案：C
解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，
即，解得.
故选：C.
3.答案：A
解析：设抛物线的方程为，
因为抛物线的焦点是，
所以，所以，
所以抛物线的标准方程为.
故选：A.
4.答案：D
解析：由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为.
因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为.
故选：D.
5.答案：D
解析：由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，
所以其对应标准方程为为或.
故选：D
6.答案：B
解析：因为抛物线的焦点，开口向左，所以抛物线的标准方程为，
故选：B
7.答案：C
解析：根据抛物线的标准方程可得焦点坐标为，
即，可得.
故选：C.
8.答案：D
解析：由题意，抛物线方程形如，
因，解得，
故以为焦点的抛物线标准方程是.
故选：D.
9.答案：
解析：由题意设抛物线的方程为，
，
，
抛物线的标准方程为.
故答案为：.
10.答案：4
解析：根据题意，椭圆的方程为 ， 其中 ，其右焦点坐标为 ， 则抛物线 的焦点为 ，
则 ，
则 ，
故答案为：4.
六、课后练习
1.答案：D
解析：因为的圆心为，
所以，得到，
又焦点在y轴的正半轴上，
所以抛物线的标准方程为，
故选：D.
2.答案：C
解析：由抛物线的定义可知，
，所以.
故选：C.
3.答案：C
解析：当抛物线焦点在x轴上时：
直线与x轴的交点为，此时抛物线为；
当抛物线焦点在y轴上时：
直线与y轴的交点为，此时抛物线为；
综上所述：抛物线的标准方程是或
故选：C
4.答案：D
解析：由题意知，（）的焦点为，
的右顶点为，
所以，解得.
故选：D.
5.答案：BC
解析：由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线C的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线C的方程为：，
故选：BC.
6.答案：
解析：由得，
所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，
所以点与准线的距离等于2，
即，解得，
故答案为：.
7.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为焦点是，所以，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为准线方程是，所以，所以，
所以抛物线方程为.
8.答案：
解析：当时，抛物线开口向右，，
，
抛物线的焦点坐标为；
当时，抛物线开口向右，，
，
抛物线的焦点坐标为；
综上所述，抛物线的焦点坐标为.
9.答案：（1），准线方程：
（2），准线方程：
解析：（1）由得，故，
焦点为，准线为.
（2）由得，
当时，，焦点为，准线为；
当时，，焦点为，准线为；
焦点为，准线为.
10.答案：
解析：设抛物线方程为，
其过，，
，为所求.