2.7.2 抛物线的几何性质 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1253490011671300 2.7.2抛物线的几何性质
学习目标
通过研究抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质；
能利用抛物线的几何性质进行简单应用
理解四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同
重难点
重点：掌握抛物线的几何性质，利用抛物线的几何性质进行简单应用
难点：四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同，利用抛物线的几何性质的实际应用
新知识导入
已知抛物线C的方程为 y2=2x，根据这个方程完成下列任务：
(1)方程中 x 与 y 取值范围是多少？由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征.
(2)抛物线C是否具有对称性？
(3)抛物线C与坐标轴是否有交点？如果有，求出交点坐标.
三、知识梳理
1.抛物线的范围：设抛物线C的标准方程是，则除顶点外，抛物线上的其余点都在 .
2.抛物线的对称性：设抛物线C的标准方程是，则抛物线C关于 对称，
称为抛物线的对称轴（简称为轴）.
3.抛物线的顶点：设抛物线C的标准方程是，则它的顶点为 .
4.抛物线的离心率：设抛物线C的标准方程是，则它的离心率 .
5.归纳总结

例题讲解
例1 已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点 ，求这个抛物线的标准方程.



例2 已知点 P 在抛物线 x2=-5y 上，且 A(0,-3)，求 |PA| 的最小值.



例3 已知直线 l 平行于 y 轴，且 l 与 x 轴的交点为 (4,0)，点 A 在直线 l 上，动点 P 的纵坐标与 A 的纵坐标相同，且 OA⊥OP，求 P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状.




五、课堂练习
1.下列关于抛物线的说法正确的是( )
A.开口向下，准线方程为 B.开口向左，准线方程为
C.开口向下，准线方程为 D.开口向左，准线方程为
2.抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知F是抛物线的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3，则( )
A. B. C.4 D.6
4.已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为( )．
A.2 B. C. D.
5.已知抛物线上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴的距离为( )
A. B. C.2 D.4
6.已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为( )
A. B.2 C. D.3
7.抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标( )
A.2 B.4 C.5 D.6
8.已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
9.已知点在抛物线上，且到C的焦点的距离为，则实数 .
10.已知抛物线的顶点和焦点分别为O，F，则以线段为直径的圆的方程是___________．
六、课后练习
1.已知抛物线，C上一点P到焦点距离为5，则点P的纵坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则( )
A. B. C. D.
3.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆C长轴的长为( )
A.2 B. C.4 D.8
4.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆离心率为( )
A. B. C. D.
5.（多选）关于曲线，下列说法正确的是( )
A.若，则曲线表示圆 B.若，则曲线表示抛物线
C.若，则曲线表示椭圆 D.若，则曲线表示双曲线
6.（多选）对抛物线，下列描述正确的是( )
A.开口向左，焦点为 B.开口向左，准线方程为
C.开口向下，准线方程为 D.开口向下，焦点为
7.求抛物线的焦点到直线的距离.
8.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，求p的值.
9.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且过点，求抛物线的标准方程.
10.若抛物线上一点M到焦点F的距离，求点M的坐标.
答案及解析
三、知识梳理
y轴的右侧
x轴 x轴
原点
e=1
例题讲解
例题1
解：根据已知条件可设抛物线的标准方程为：y2 = -2px(p>0)
因为点 在抛物线上，所以 ，所以 2p = 3
从而所求方程为 y2 = -3x
例题2
解：设点 P 的坐标为 (x,y)，则 x2=-5y，
而且，
又因为 y?0 ，所以 时，|PA|2 取最小值.
因此所求最小值为
例题3
解：由条件可知，直线 l 的方程为 x=4，因此点A的横坐标为4.
设 P 的坐标为 (x,y)，则点 A 的坐标为 (4,y).
因此OA=(4,y)，OP=(x,y).
因为 OA⊥OP 的充要条件是 OA?OP=0，所以 4x+y2=0，
即动点 P 的轨迹方程为 y2=-4x.
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线.
五、课堂练习
1.答案：C
解析：抛物线的开口朝下，准线方程为.
故选：C.
2.答案：C
解析：由题意，设抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义知，，解得，故抛物线的方程为.
故选：C.
3.答案：C
解析：由，得，解得.
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
又因为M的纵坐标为3，点M在C上，
所以.
故选：C.
4.答案：C
解析：设点P的坐标为，
有，
故的最小值为．
故选：C.
5.答案：B
解析：由抛物线方程可得：抛物线的准线方程为：，
由抛物线的定义可得：点M到准线的距离为6，
所以M点纵坐标为2，代入抛物线方程可得：，
得：，
所以点M到y轴的距离为，
故选：B
6.答案：C
解析：抛物线C的方程为，
，可得，
设，由抛物线的定义得，
所以，

故选：C.
7.答案：B
解析：抛物线的准线方程为，
设点P的横坐标为x，
P到焦点F的距离等于，
故.
故选：B.
8.答案：D
解析：因为椭圆的离心率为，所以，解得，
则抛物线的标准方程为，它的焦点坐标为.
故选：D.
9.答案：/
解析：由抛物线的定义可知，，
解得，所以，
将点代入得，，又，所以.
故答案为：.
10.答案：
解析：由抛物线可得：顶点坐标为，焦点坐标为.
所以线段的中点坐标为，.
则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为：.
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：C
解析：将抛物线方程化为标准形式，，
，焦点坐标，准线方程，
设P点坐标为，
P到焦点距离为5，
P到准线距离为5，，
，即点P的纵坐标为3，故C正确.
故选：C.

2.答案：D
解析：设焦点为F，则，解得.

故选：D
3.答案：C
解析：抛物线的焦点为.
椭圆的焦点在x轴上，故，焦点坐标为.
由得，长轴长为.
故选：C.
4.答案：D
解析：由抛物线方程可得抛物线的焦点，
因为椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
椭圆的半焦距
，解得.
椭圆的离心率
故选：
5.答案：AD
解析：若，，
表示以为圆心，半径为的圆，故A正确，但C不正确；
若，，则，时，表示两条直线，
时不表示任何图形；
若，
则，时，表示两条直线，
时不表示任何图形.故B不正确；
若，，则
表示焦点在x轴上的双曲线；
若，，
则表示焦点在y轴上的双曲线.故D正确.
故选：AD.
6.答案：CD
解析：抛物线的标准方程为，则，可得，
所以，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，其开口向下，
故选：CD.
7.答案：1
解析：焦点为，其到的距离.
8.答案：4
解析：椭圆的右焦点，.
9.答案：或
解析：抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，需分类讨论：
（1）对称轴是x轴，即焦点在x轴上时，
设方程为，代入P点得，
所以方程为；
（2）对称轴是y轴，即焦点在y轴上时，
设方程为，代入P点得，所以方程为.
综上，所求抛物线方程为或.
10.答案：
解析：由定义，点M到准线的距离也是2p，
设，则M到准线的距离，
，，，
.