3.1.3 组合与组合数 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 3.1.3 组合与组合数 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 264.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-08 15:46:34 | ||
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文档简介
3.1.3组合与组合数
一、学习目标
1.理解组合和组合数的概念，会区分排列与组合问题；
2.掌握组合数公式，会利用公式解决一些简单组合问题；
3.掌握组合数的基本性质
二、重难点
重点：掌握组合数公式运用，会区分排列与组合问题
难点：应用组合知识解决有关组合的实际问题
新知识导入
下面这两个计数问题的答案一样吗？
（1）小张要在 3 所大学中选择 2 所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在 3 所大学中选择 2 所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系.
两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可.
换句话说，前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序.
三、知识梳理
1.组合：一般地，从 n 个不同对象中取出 个对象并成一组，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个 .
2.组合数：从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的 ，用符号 表示.
注意：（1）所谓并成一组是指与顺序无关.
（2）同符号 一样，在符号 中，总是要求 n 和 m 都是正整数，且 .
3.组合数公式： ，且当时， ， ， .
4.组合数的性质： ， .
5.排列与组合有什么共同点和不同点
例题讲解
例1 已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等：
（1）这些点共可以连成多少条不同的线段？
（2）以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？
例2 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
(1)共有多少种不同的取法？
(2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？
(3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
总结
假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m+1个，这样的组合共有多少个？
法1： 从n+1个对象中取出m+1个的组合数为
法2： 分成两类情况：第一类，如果取出的对象中含甲，“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，有种方法.
第二类，如果取出的对象中不含甲，从剩余n个不同对象取出m+1个的组合”，有种方法.根据分类加法计数原理，共有种方法
可得：
例3 现有 30 件分别标有不同编号的产品，且除了 2 件次品外，其余都是合格品，从中取出 3 件:
（1）一共有多少种不同的取法？
（2）若取出的 3 件产品中恰有 1 件次品，则不同的取法共有多少种？
（3）若取出的 3 件产品中至少要有 1 件次品，则不同的取法共有多少种？
例4 要把 9 本不同的课外书分给甲、乙、丙 3 名同学：
如果每个人都得 3 本，则共有不同的分法多少种？
（2）如果要求一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本，则共有不同的分法多少种
例5 现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？
五、课堂练习
1.( )
A.25 B.35 C.70 D.1050
2.若，则( )
A.5 B.6或5 C.7 D.7或8
3.某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有( )选法．
A.30种 B.34种 C.60种 D.35种
4.从3名男生和2名女生中选2人参加演讲比赛，不同选法的种数为( )
A.5 B.6 C.9 D.10
5.( )
A.25 B.30 C.35 D.40
6.( )
A. B. C. D.
7.某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有( )
A.72种 B.36种 C.24种 D.18种
8.已知，则n的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
10.若，则_________.
六、课后练习
1.某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为( )
A.20 B.35 C.50 D.60
2.若，则( )
A.2 B.3 C.5 D.5
3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
4.某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有( )
A.35种 B.105种 C.210种 D.231种
5.某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为( )
A.90种 B.140种 C.196种 D.256种
6.（多选）5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
7.（多选）给出下面几个问题，其中是组合问题的是( )
A.某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛
B.从1，2，3，4中选出2个数作为平面向量a的坐标
C.从1，2，3，4中选出2个数分别作为焦点在x轴上的双曲线的实轴长和虚轴长
D.从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段
8.小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有________种选择.
9.某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有_________________种.
10.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有__________种摆放方法.
答案及解析
三、知识梳理
1.组合
2.组合数
3. 1 n 1
4.
四、例题讲解
例题1
解：（1）由题意，任意三点不共线，而任意两点都能连成一条线段，所以共可以连成的不同线段条数为
（2）因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段的长度都不相等，因此共可以作出不同的非零向量个数为
例题2
解：因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为
(2)解： “不取红球”，等同于“从7个不同白球中取出5个白球”，是组合问题.
方法数为：
(3)解：因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来，只需再从剩余的7个白球中取出4个即可，是组合问题.
方法数为：
例题3
解：(1)所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数
(2)抽取可以分成两步完成：
第一步，在2件次品中取出1件，有种方法；
第二步，在28件合格品中取出2件，有种方法.
因此取法种数为
(3)满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品和恰有2件次品.
恰有1件次品的取法有种，
恰有2件次品的取法有 种.
因此取法种数为 有
例题4
解：(1)要完成分配任务，可以分为三步：
第一步，分给甲3本书，有种方法；
第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法；
第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法.
因此共有不同的分法数为
(2)要完成分配任务，可以分为两步：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；
第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法.
因此共有不同的分法数为
例题5
解：安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A.
有A的安排方法可以分成两步完成：
第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A，共种方法；
第二步，在B，C，D，E，F这5人中选出3人安排在其他3个岗位上，共种方法.
所以此类安排方法共有种.
没有A的安排方法共有种.
因此安排方法种数为
五、课堂练习
1.答案：C
解析：，故C正确.
故选：C.
2.答案：B
解析：，
由组合数的性质可得或，则或5.
故选：B.
3.答案：B
解析：从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有种．
故选：B.
4.答案：D
解析：由题可得不同选法数位.
故选：D
5.答案：B
解析：.
故选：B.
6.答案：B
解析：根据组合数性质，
可得.
故选：B.
7.答案：B
解析：两名语文老师由种分配方程;
数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分，
或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有，
所以不同的分配方案有，
故选：B
8.答案：B
解析：，化简得：，解得：或（舍去）.
故选：B.
9.答案：B
解析：依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题，
所以组成该评审委员会的不同方式共有种.
故选：B.
10.答案：4或6
解析：由，
可得或，
解得或.经检验成立
故答案为：4或6.
六、课后练习
1.答案：D
解析：根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种).
故选：D.
2.答案：B
解析：，整理得，因为，解得.
故选：B.
3.答案：D
解析：由题意得：选出4人参会，总的选法共有种，
选出4人均为男生的选法有种，
则4人中既有男生又有女生的选法共有种，
故选：D.
4.答案：B
解析：由题意，7名男性取3名，3名女性取2名构成一组，余下其他5人构成另一组，
所以不同分组方法有种.
故选：B
5.答案：B
解析：依题意，从10名大学生中任取4名有种方法，甲乙都未取到的有种方法，
所以甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为.
故选：B.
6.答案：BC
解析：学生甲不站两端，则可选择中间三个位置，即有种站法，
剩余四名学生有四个位置可选，共种站法，
故共有种不同站法;
或先从其余四名学生中选出两人站在两端，有种站法，
剩余三名学生有三个位置可选，共种站法，
故共有种不同站法;
故选：BC.
7.答案：AD
解析：A，D中的问题与顺序无关，因而是组合问题.B，C中当选出的2个数的顺序发生变化时，结果也发生变化，因而是排列问题.
故选：AD.
8.答案：10
解析：根据题意可得小沉的选择种数为.
故答案为：10
9.答案：18
解析：抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.
所以满足要求的抽取方法共有（种）.
故答案为：18.
10.答案：16
解析：由于红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色菊花和黄色菊花，故有（种）摆放方法.
一、学习目标
1.理解组合和组合数的概念，会区分排列与组合问题；
2.掌握组合数公式，会利用公式解决一些简单组合问题；
3.掌握组合数的基本性质
二、重难点
重点：掌握组合数公式运用，会区分排列与组合问题
难点：应用组合知识解决有关组合的实际问题
新知识导入
下面这两个计数问题的答案一样吗？
（1）小张要在 3 所大学中选择 2 所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在 3 所大学中选择 2 所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系.
两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可.
换句话说，前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序.
三、知识梳理
1.组合：一般地，从 n 个不同对象中取出 个对象并成一组，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个 .
2.组合数：从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的 ，用符号 表示.
注意：（1）所谓并成一组是指与顺序无关.
（2）同符号 一样，在符号 中，总是要求 n 和 m 都是正整数，且 .
3.组合数公式： ，且当时， ， ， .
4.组合数的性质： ， .
5.排列与组合有什么共同点和不同点
例题讲解
例1 已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等：
（1）这些点共可以连成多少条不同的线段？
（2）以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？
例2 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
(1)共有多少种不同的取法？
(2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？
(3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
总结
假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m+1个，这样的组合共有多少个？
法1： 从n+1个对象中取出m+1个的组合数为
法2： 分成两类情况：第一类，如果取出的对象中含甲，“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，有种方法.
第二类，如果取出的对象中不含甲，从剩余n个不同对象取出m+1个的组合”，有种方法.根据分类加法计数原理，共有种方法
可得：
例3 现有 30 件分别标有不同编号的产品，且除了 2 件次品外，其余都是合格品，从中取出 3 件:
（1）一共有多少种不同的取法？
（2）若取出的 3 件产品中恰有 1 件次品，则不同的取法共有多少种？
（3）若取出的 3 件产品中至少要有 1 件次品，则不同的取法共有多少种？
例4 要把 9 本不同的课外书分给甲、乙、丙 3 名同学：
如果每个人都得 3 本，则共有不同的分法多少种？
（2）如果要求一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本，则共有不同的分法多少种
例5 现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？
五、课堂练习
1.( )
A.25 B.35 C.70 D.1050
2.若，则( )
A.5 B.6或5 C.7 D.7或8
3.某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有( )选法．
A.30种 B.34种 C.60种 D.35种
4.从3名男生和2名女生中选2人参加演讲比赛，不同选法的种数为( )
A.5 B.6 C.9 D.10
5.( )
A.25 B.30 C.35 D.40
6.( )
A. B. C. D.
7.某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有( )
A.72种 B.36种 C.24种 D.18种
8.已知，则n的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
10.若，则_________.
六、课后练习
1.某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为( )
A.20 B.35 C.50 D.60
2.若，则( )
A.2 B.3 C.5 D.5
3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
4.某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有( )
A.35种 B.105种 C.210种 D.231种
5.某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为( )
A.90种 B.140种 C.196种 D.256种
6.（多选）5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
7.（多选）给出下面几个问题，其中是组合问题的是( )
A.某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛
B.从1，2，3，4中选出2个数作为平面向量a的坐标
C.从1，2，3，4中选出2个数分别作为焦点在x轴上的双曲线的实轴长和虚轴长
D.从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段
8.小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有________种选择.
9.某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有_________________种.
10.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有__________种摆放方法.
答案及解析
三、知识梳理
1.组合
2.组合数
3. 1 n 1
4.
四、例题讲解
例题1
解：（1）由题意，任意三点不共线，而任意两点都能连成一条线段，所以共可以连成的不同线段条数为
（2）因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段的长度都不相等，因此共可以作出不同的非零向量个数为
例题2
解：因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为
(2)解： “不取红球”，等同于“从7个不同白球中取出5个白球”，是组合问题.
方法数为：
(3)解：因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来，只需再从剩余的7个白球中取出4个即可，是组合问题.
方法数为：
例题3
解：(1)所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数
(2)抽取可以分成两步完成：
第一步，在2件次品中取出1件，有种方法；
第二步，在28件合格品中取出2件，有种方法.
因此取法种数为
(3)满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品和恰有2件次品.
恰有1件次品的取法有种，
恰有2件次品的取法有 种.
因此取法种数为 有
例题4
解：(1)要完成分配任务，可以分为三步：
第一步，分给甲3本书，有种方法；
第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法；
第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法.
因此共有不同的分法数为
(2)要完成分配任务，可以分为两步：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；
第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法.
因此共有不同的分法数为
例题5
解：安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A.
有A的安排方法可以分成两步完成：
第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A，共种方法；
第二步，在B，C，D，E，F这5人中选出3人安排在其他3个岗位上，共种方法.
所以此类安排方法共有种.
没有A的安排方法共有种.
因此安排方法种数为
五、课堂练习
1.答案：C
解析：，故C正确.
故选：C.
2.答案：B
解析：，
由组合数的性质可得或，则或5.
故选：B.
3.答案：B
解析：从7本中任选4本，除去选到4本全是小说的情况，共有种．
故选：B.
4.答案：D
解析：由题可得不同选法数位.
故选：D
5.答案：B
解析：.
故选：B.
6.答案：B
解析：根据组合数性质，
可得.
故选：B.
7.答案：B
解析：两名语文老师由种分配方程;
数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分，
或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有，
所以不同的分配方案有，
故选：B
8.答案：B
解析：，化简得：，解得：或（舍去）.
故选：B.
9.答案：B
解析：依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题，
所以组成该评审委员会的不同方式共有种.
故选：B.
10.答案：4或6
解析：由，
可得或，
解得或.经检验成立
故答案为：4或6.
六、课后练习
1.答案：D
解析：根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种).
故选：D.
2.答案：B
解析：，整理得，因为，解得.
故选：B.
3.答案：D
解析：由题意得：选出4人参会，总的选法共有种，
选出4人均为男生的选法有种，
则4人中既有男生又有女生的选法共有种，
故选：D.
4.答案：B
解析：由题意，7名男性取3名，3名女性取2名构成一组，余下其他5人构成另一组，
所以不同分组方法有种.
故选：B
5.答案：B
解析：依题意，从10名大学生中任取4名有种方法，甲乙都未取到的有种方法，
所以甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为.
故选：B.
6.答案：BC
解析：学生甲不站两端，则可选择中间三个位置，即有种站法，
剩余四名学生有四个位置可选，共种站法，
故共有种不同站法;
或先从其余四名学生中选出两人站在两端，有种站法，
剩余三名学生有三个位置可选，共种站法，
故共有种不同站法;
故选：BC.
7.答案：AD
解析：A，D中的问题与顺序无关，因而是组合问题.B，C中当选出的2个数的顺序发生变化时，结果也发生变化，因而是排列问题.
故选：AD.
8.答案：10
解析：根据题意可得小沉的选择种数为.
故答案为：10
9.答案：18
解析：抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.
所以满足要求的抽取方法共有（种）.
故答案为：18.
10.答案：16
解析：由于红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色菊花和黄色菊花，故有（种）摆放方法.