导数专题练习
（题型概括：切线与切线放缩问题、公切线问题、隐零点问题、含参恒成立与有解问题、复合函数问题、双变量的指对数均值不等式问题、导数常见的同构问题等）
一、选择题
1.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
2.已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解析：
，
将代入得，故选D．
3.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，构造函数，所以，
令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，
令，则，令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．
故选：C
4.函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，的图象如图所示，
则，令，则方程为，，
又，当时，若方程在内有两个不同的解，
只需只有一解，即函数与，只有一个交点，
又函数在上单调递减，所以，即；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；
当时，若方程在内有两个不同的解，
只需有两个不同的解，
即函数与，有两个不同的个交点，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
综上所述，实数的取值范围为.
故选：D.
5.设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
【答案】A
【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
6.若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得或，
因为关于的长有6个不同的解，
所以或与函数的图象共有6个不同的交点，
由图象可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7.（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
8.（多选）已知函数,若,且,则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对A， 由,且得..
设,则.
可得.要证,即证..只需证.
设,
则.
令,则.
当时,单调递减.当时,单调递增.,即,在上单调递增..
故A正确
对C，等价于，故可得：
，由对数均值不等式可得：，故.
故C正确
二、填空题
9.已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，．
当，时，，满足题意；
当时，，解得．
综上，．
故答案为：
10.已知函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】若，不等式恒成立，则，
，
当时，对于，，所以在上单调递增，
所以时，，即满足题意；
当时，若，则，在上单调递减，
所以，与矛盾，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
11.定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则 ．
【答案】
【解析】作出的图象如下图所示
设，由图象知，
当时，方程有三个根，
当或者时，方程有两个根
则方程等价于，
则方程有5个不同的解，，，，，
等价于方程有两个根和或，
不妨设，由图象可得，五个根，，，，中，
有关于直线对称，关于直线对称，还有一个根为，
所以，
所以.
故答案为：
12.设，函数，若对任意，恒有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】时，，
，设，
，
当，在递增，在上递减，
，，
，，
当时，在递减，在递增，在递减，
只需， ，
，与 矛盾，舍去；
当时，在上递减，只需，，矛盾，舍去；
不满足条件.
当，在上递减，在上递增，在上递减.
，，只需，
，
，，
又， ，
，满足条件.
综上所述，
三、解答题
13.（1）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）若a>1，则与可能有几个交点？试说明理由。
【答案】(1)
时，无个交点；时，1个交点；时，两个交点
【解析】（1）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，
又，所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
又，所以当时，，时，，
即时，，时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
（2）对指数函数使用换底公式，构造同构即可讨论得到.
14.已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
15.已知函数的图象在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
【解析】（1）的导数为，
可得的图象在处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，
即，，
由，可得，由，可得，
则在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，若，由，
即恒成立，设，
所以在为增函数，
即对恒成立，
可得在恒成立，
由的导数为，
当，可得，在单调递减，在单调递增，
即在处取得极小值，且为最小值，
可得，解得，
则实数的取值范围是．
16.设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【解析】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，
故，
故方程有3个不同的根，
该方程可整理为，
设，
则
，
当或时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：且，
此时，
设，则，
故为上的减函数，故，
故.
（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：
故在上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：，
因为，故，
又，
设，，则方程即为：
即为，
记
则为有三个不同的根，
设，，
要证：，即证，
即证：，
即证：，
即证：，
而且，
故，
故，
故即证：，
即证：
即证：，
记，则，
设，则，所以，
，
故在上为增函数，故，
所以，
记，
则，
所以在为增函数，故，
故即，
故原不等式得证：导数专题练习
（题型概括：切线与切线放缩问题、公切线问题、隐零点问题、含参恒成立与有解问题、复合函数问题、双变量的指对数均值不等式问题、导数常见的同构问题等）
一、选择题
1.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
2.已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
3.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5.设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
6.若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
8.（多选）已知函数,若,且,则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9.已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ．
10.已知函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
11.定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则 ．
12.设，函数，若对任意，恒有，则实数的取值范围是 .
三、解答题
13.（1）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）若a>1，则与可能有几个交点？试说明理由。
14.已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
15.已知函数的图象在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数的取值范围．
16.设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
