导数概念及其意义、导数运算讲义-2026届高三数学一轮复习（含答案）

导数概念及其意义、导数运算
课前学习任务
一、课标解读
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想,体会极限思想.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
5.会使用导数公式表.
二、必备知识
1.导数的概念
(1)平均变化率:对于函数y=f(x),我们把比值,即=　　　　　　　　叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是　　　　　=　　　　　　　　　　,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作　　　　或y'.
(3)导函数:从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即f'(x)=y'=　　　　　　　　.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0=　　　.
3.导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=　　
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=　　
f(x)=sin x f'(x)=　　
f(x)=cos x f'(x)=　　
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　　
f(x)=ex f'(x)=　　
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　
f(x)=ln x f'(x)=　　
(2)导数的运算法则
①[f(x)±g(x)]'=　　　　　.
②[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　,
特别地,[cf(x)]'=　　　.
③'=　　　　　　(g(x)≠0).
④复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)曲线的切线与曲线不一定仅有一个公共点. (　　)
(2)若f(x)=ln 3,则f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=sin 2x,则f'(x)=cos 2x. (　　)
2.(人教A版选择性必修第二册习题5.2第6题改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'sin x-cos x,则f(x)在x=处的导数为　　　　.
3.(人教B版选择性必修第三册6.1.3节练习B第4题改编)已知函数f(x)=x2,若直线l经过点(3,5)且与曲线f(x)=x2相切,则l的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　.
二、连线高考
4.(2020·全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
5.(2024·新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
课堂核心考点
考点一 导数的概念
1.(2024·湖北襄阳二模)已知函数f(x)=x2+,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C.2 D.4
[对点训练1](1)(2024·湖北武汉期中)若函数y=f(x)在x=x0处可导,则
等于(　　)
A.f'(x0)
B.2f'(x0)
C.-2f'(x0)
D.0
(2)(2024·山东济宁期中)已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),若=6,则a=(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
考点二 导数的运算
2.(1)(多选题)(2024·吉林长春模拟)下列求导运算中,不正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.(e2x)'=2e2x
B.(lg x)'=
C.()'=
D.sincos x'=coscos x-sinsin x
(2)(2024·河北石家庄期中)已知f(x)=ln x-3f'(e)x,则f'(e)=(　　)
A. B.-3 C.1-e D.
(2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错;
(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导;
(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先根据条件求出该点所在区间的解析式再求导;
(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解.
[对点训练2](1)(2024·江苏扬州期中)下列导数运算正确的是(　　)
A.(sin x)'=-cos x B.'=
C.(2x)'=2x D.'=-
(2)(2025·江苏徐州开学考试)已知函数f(x)=x3f'(1)-4ln x-12,则f(3)=　　　　　.
考点三 导数的几何意义
考向1　导数与函数图象
3.(1)(2024·吉林长春模拟)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,则(　　)
A.f'(-1)=f'(-2)<0B.f'(2)C.0>f'(2)>f'(1)>f'(-1)=f'(-2)
D.f'(2)(2)(2024·山东济南模拟)曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线l如图所示,则f'(-1)+f(-1)=　　　　.
[课堂笔记]

[对点训练3]
(1)右图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)
A B
C D
(2)函数f(x)的图象如图所示,记A=f'(x1),B=f'(x2),C=f'(x3),则A,B,C中最大的是　　　　.
考向2　求切线方程
4.(1)(2025·江苏南京、盐城期末调研)函数f(x)=x2+ln x的图象在点(1,1)处的切线的斜率为　　　　　.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为　　　　　　　　,　　　　　　　　.
[对点训练4](1)(2024·山东济南模拟)曲线y=ex-3x的切线中与直线x-2y=0垂直的切线方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0
C.2x+y-1=0 D.2x-y-1=0
(2)(2024·广东珠海一模)直线y=ax-e与曲线C:y=xln x相切,则a=　　　　.
考向3　求参数的值或取值范围
5.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　　.
变式探究1
若曲线y=(x+1)eax有两条过原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　　.
变式探究2
已知过点A(a,0)作曲线y=(1-x)ex的切线有且仅有1条,则a=　　　　.
答案解析
[知识梳理]
1.(1)
微思考　提示 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.
(2)　f'(x0)　(3)
2.f'(x0)
微思考　提示 不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率.
3.(1)0　αxα-1　cos x　-sin x　axln a　ex　　(2)①f'(x)±g'(x)　②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　cf'(x)　　④y'u·u'x
[自主诊断]　1.(1)√　(2)×　(3)×
2+1　解析 由f(x)=f'sin x-cos x,得f'(x)=f'cos x+sin x,因此f'=f'cos+sin,即f'=f'+,解得f'=+1.
3.y=2x-1或y=10x-25　解析 设切点为(x0,),由于f(x)=x2,所以f'(x)=2x,因此切线斜率为k=2x0,所以切线方程为y-=2x0(x-x0).又因为切线过点(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,于是切线l的方程为y-5=2(x-3)或y-5=10(x-3),即y=2x-1或y=10x-25.
4.B　解析 f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知函数图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
5.ln 2　解析 由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.由y=ln(x+1)+a,得y'=设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,y0),则=2,∴x0=-将x0=-代入y=2x+1,得y0=2×-+1=0.∴ln-+1+a=0,∴a=ln 2.
研考点·精准突破
考点一
例1　B　解析 由题意知,f'(x)=2x-,则f'(1)=1.
所以=
f'(1)=故选B.
对点训练1　(1)C　(2)C　解析 (1)∵函数y=f(x)在x=x0处可导,
=
-2=-2f'(x0).
故选C.
(2)f'(x)=2x+a,因为
=6,所以f'(1)=6,即f'(1)=2+a=6,解得a=4.故选C.
考点二
例2　(1)BCD　(2)A　解析 (1)对于A,(e2x)'=2e2x,故A正确;对于B,(lg x)'=,故B错误;对于C,()'=,故C错误;对于D,sincos x'=-sinsin x,故D错误.故选BCD.
(2)因为f'(x)=-3f'(e),所以f'(e)=-3f'(e),解得f'(e)=故选A.
对点训练2　(1)B　(2)42-4ln 3
解析 (1)对于A,(sin x)'=cos x,故A错误;对于B,'=,故B正确;对于C,(2x)'=2x·ln 2,故C错误;对于D,'=()'=-,故D错误.故选B.
(2)因为f(x)=x3f'(1)-4ln x-12,则f'(x)=3x2f'(1)-,令x=1,得f'(1)=3f'(1)-4,解得f'(1)=2,则f(x)=2x3-4ln x-12,所以f(3)=2×33-4ln 3-12=42-4ln 3.
考点三
例3　(1)B　(2)-2　解析 (1)f'(-2),f'(-1),f'(1),f'(2)分别表示曲线y=f(x)在x=-2,x=-1,x=1,x=2处切线的斜率,结合图象可知,当x<0时,f'(x)是一个大于0的常数,当x>0时,f'(x)小于0且随着x的增大而减小,所以f'(2)(2)∵直线l过点(-2,0)和(0,-2),
∴直线l的斜率f'(-1)==-1,直线l的方程为y=-x-2,则f(-1)=1-2=-1.故f'(-1)+f(-1)=-1-1=-2.
对点训练3　(1)D　(2)A　解析 (1)由题目中导函数的图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
(2)作出f(x)在三点处的切线如图,则A=f'(x1),B=f'(x2),C=f'(x3)分别为切线l1,l2,l3的斜率,由图可知f'(x1)>f'(x3)>f'(x2),即A>C>B.
例4　(1)3　(2)y=　y=-　解析 (1)f'(x)=2x+,f'(1)=3,所以f(x)的图象在点(1,1)处的切线的斜率为3.
(2)当x>0时,y=ln x,点(x1,ln x1)(x1>0)上的切线为y-ln x1=(x-x1).
若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=
当x<0时,y=ln(-x),点(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为y-ln(-x2)=(x-x2).
若该切线经过原点,则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为y=-
对点训练4　(1)C　(2)2　解析 (1)由于直线x-2y=0的斜率为,因此所求切线的斜率应为-2,又y'=ex-3,设切点为P(x0,y0),所以-3=-2,解得x0=0,此时y0=1,故所求切线方程为y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.故选C.
(2)设切点坐标为(t,tln t),由于y'=ln x+1,所以切线的斜率为k=ln t+1,所以曲线在(t,tln t)处的切线方程为y=(ln t+1)(x-t)+tln t,即y=(ln t+1)x-t,所以t=e,a=ln t+1=ln e+1=2.
例5　(-∞,-4)∪(0,+∞)　解析 由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.
设切点为(x0,(x0+a)),则切线方程为y-(x0+a)=(1+x0+a)(x-x0).
又切线过原点,∴-(x0+a)=-x0(1+x0+a),
整理得+ax0-a=0.
∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,
+ax0-a=0有2个不同实数解,
∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
变式探究1　(-∞,-4)∪(0,+∞)　解析 设切点坐标为P(x0,y0).y'=eax[1+(x+1)a],所以切线方程为y-(x0+1)[1+(x0+1)a](x-x0).因为切线过原点(0,0),代入切线方程,可得-(x0+1)[1+(x0+1)a]·(-x0),整理得a+ax0-1=0.因为曲线有两条过原点的切线,所以a+ax0-1=0有两个不相等的实数根,则a≠0,Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,故a的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞).
变式探究2　1或-3　解析 过点A(a,0)作切线,设切点为P(x0,y0).
y'=-ex+(1-x)ex=-xex,直线PA的斜率kPA=-x0,
所以=-x0,
整理得-(a+1)x0+1=0,
由题意知关于x0的方程有两个相等的实数根,所以Δ=(a+1)2-4=0,
解得a=1或a=-3.