第二章 直线和圆的方程（能力提升卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
2．（24-25高二下·陕西榆林·期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·新疆昌吉·期中）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二·全国·课后作业）若圆上的所有点都在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
10．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为
11．（24-25高三上·广东湛江·开学考试）已知圆与圆相交于两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为
B．当时，
C．当且时，
D．当时，的最小值为
填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为 ．
13．（24-25高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
14．（24-25高二上·云南大理·期中）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时．
解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（24-25高二·全国·课后作业）设直线l的方程为．
(1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；
(2)若直线l的倾斜角为，求m的值．
16．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）已知圆C：，
（1）求过被截得的弦长为的直线方程；
（2）已知定点，点A在圆C上运动，M是的重心，求点M的轨迹方程.
17．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
（1）m∈R时，证明l与C总相交；
（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
18．（24-25高二上·山西朔州·期中）已知圆为圆上任一点.
（1）求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值.
19．（24-25高二上·广东广州·期中）圆．
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
(2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由．第二章 直线和圆的方程（能力提升卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系.
【详解】若，则直线，直线，此时平行，
若平行，则即，
当时，平行，
当时，直线，直线，此时也平行，
故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（24-25高二下·陕西榆林·期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.
【详解】圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为.
故选：A.
3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围.
【详解】由圆，设圆心且半径，
由圆，设圆心且半径，由，
所以时，两圆相交，则，
故选：C.
4．（24-25高三上·新疆昌吉·期中）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函数求出的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围.
【详解】因为点，是相异两点，
，且，
设直线的倾斜角为，则
当，倾斜角的范围为．
当，倾斜角的范围为．
故选：B
【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题.
5．（24-25高二·全国·课后作业）若圆上的所有点都在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准方程后，求出圆心及半径，根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，且横纵坐标的绝对值大于半径，列出不等式组，即可得解.
【详解】解：由得，
其圆心坐标为，半径为2，由题意知，解得．
故选：D.
6．（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．
【详解】解：设圆上任意一点为，中点为，
则，可得，
代入得，
化简得．
故选：D．
7．（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.
8．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】D
【分析】设P、C到直线AB的距离分别为，根据题意结合垂径定理可得，再根据结合几何关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径，
则，
设P、C到直线AB的距离分别为，
因为，解得，
分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
则，
当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，
所以点P到直线AB距离的最大值为7.
故选：D.
多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
【答案】CD
【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解.
【详解】对于A，因为直线l：的斜率，
但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误；
对于B，因为直线m：的斜率，且，
所以直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点到直线l的距离，故C正确；
对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确．
故选：CD.
10．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项；
【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，
：，，半径为1，
圆心距为，又点在圆上，点在圆上，
，，故A错误，B正确；
对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；
对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；
故选：BC．
11．（24-25高三上·广东湛江·开学考试）已知圆与圆相交于两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为
B．当时，
C．当且时，
D．当时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】由方程得出圆心坐标；由两圆的位置关系得出的范围；由勾股定理结合距离公式判断C；由为圆的直径，结合二次函数的性质判断D.
【详解】由圆的方程可知圆的圆心坐标为，即正确；
当时，圆，，
所以有，即，解得，即B正确；
因为，且，所以，
即，解得或，即C错误；
因为圆的直径为2，所以当时，为圆的直径，
所以，
当且仅当时，，即D正确.
故选：ABD.
填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】
求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，写出直线的方程.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则，故，
设直线的倾斜角为，则，
故直线的斜率为，
故直线的方程为，即．
故答案为：．
13．（24-25高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】数形结合，利用，即可解题.
【详解】
由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点．
因为,，
则，
所以直线的方程为．
故答案为：.
14．（24-25高二上·云南大理·期中）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时．
【答案】5
【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案；
【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，
以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点，
过点作，垂足为．
由题意可知千米，千米，，
则千米，从而千米，
故点处于危险区域的时长是小时．
故答案为：5
解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（24-25高二·全国·课后作业）设直线l的方程为．
(1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；
(2)若直线l的倾斜角为，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，列出不等式组，求出m的值即可；
（2）由题意可得直线的斜率为1，根据一般式方程求出斜率，建立等式，求解即可.
【详解】（1）由题意得,解得，
故当时，直线l在x轴上的截距为-3；
（2）由题意得，解得，
故当时，直线l的倾斜角为45°
16．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）已知圆C：，
（1）求过被截得的弦长为的直线方程；
（2）已知定点，点A在圆C上运动，M是的重心，求点M的轨迹方程.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）根据斜率存在和不存在，结合圆的弦长公式，分类讨论，即可求解；
（2）设，由重心的坐标公式求得，将点的坐标代入圆的方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，圆的圆心为，半径为，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，可得弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，此时直线的方程为，
因为直线被圆截得的弦长为，即，可得，
由圆心到直线的距离，可得，得，
此时直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
（2）设，因为定点，且M是的重心，
由重心的坐标公式，，可得，即，
因为点A在圆C上运动，代入可得，即，
所以的轨迹方程.
17．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
（1）m∈R时，证明l与C总相交；
（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为.
【分析】（1）求出直线l的定点，进而判断定点和圆C的位置关系，最后得到答案；
（2）当圆心C到直线l的距离最大时，弦长最短，进而求出m，然后根据勾股定理求出弦长.
【详解】（1）直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，则l过定点P(4，－3)，
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
（2）圆的C方程可化为：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，
如图所示，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短，
此时PC⊥l，又，所以直线l的斜率为，则，
在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.
故当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为.
18．（24-25高二上·山西朔州·期中）已知圆为圆上任一点.
（1）求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值.
【答案】（1）最大值是，最小值是；（2）最大值是，最小值是.
【详解】（2）试题分析：（1）是圆上的点与点连线的斜率，最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.设切线的斜率为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率；（2）令，则，转化为线性规划问题求解，平移直线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.利用点到直线的距离公式，求得的取值范围.
试题解析：
（1）显然可以看作是点与点连线的斜率.令，如图所示，则其最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.
对上式整理得，
∴，
∴.
故的最大值是，最小值是.
（3）令，则可视为一组平行线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.
依题意，得，取得，
故的最大值是，最小值是.
考点：直线与圆的位置关系.
19．（24-25高二上·广东广州·期中）圆．
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
(2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)存在；
【分析】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用求得参数，即得圆的方程；
（2）先求出点，，设出直线方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将等价转化成、的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得值.
【详解】（1）由得，
因为圆与y轴相切，所以，解得或4，
故所求圆C的方程为或．
（2）令得，
解得或，而，即，．
假设存在实数a，设，，
当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，
由得，
根据韦达定理有（*），
又，则、的斜率互为相反数，
即，得：，
于是，即，
将（*）代入可得：，化简得：，解得．
当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数．
综上所述，存在，使得．
