函数与方程、函数模型及其应用练习-2026届高三数学一轮复习（含解析）

2026高考数学一轮复习《函数与方程、函数模型及其应用》同步练含答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用二分法求解方程近似解的过程中，设，经计算得部分函数值近似值如下表：
1 1.25 1.5 2 2.25
0.98 5.39 8.24
据此可以判断方程的根所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3.已知火箭的最大速度（单位:km/s）和燃料质量M（单位:kg）、火箭质量（单位:kg）的关系是.若火箭的最大速度为9240 km/s，则≈（　　）（参考数值: ）
A． B．
C．10 D．100
4.设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ）
A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%
6.已知函数,则当方程有三个不同实根时,实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知，存在实数m使得，则（ ）
A． B．可能大于0
C． D．
8.已知函数，给出下列四个命题：
①在定义域内是减函数；
②是非奇非偶函数；
③的图象关于直线对称；
④是偶函数且有唯一一个零点.
其中真命题有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．在R上单调递增 B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．的零点是1
10.某位养鱼爱好者定期给鱼缸的水质进行过滤，水中的杂质残留量与过滤时间（单位：小时）的关系满足，（其中：是初始残留量，为常数）．过滤1个小时后，水中的杂质残留量为原来的，过滤3个小时后，水中的杂质残留量为原来的，则下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．过滤5个小时后，水中的杂质残留量为原来的；
C．过滤7个小时后，水中的杂质残留量为原来的；
D．若水中的杂质残留量不超过原来的，则至少需要过滤11.84小时
11.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（単位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．已知，（ ）
A．若，则经过后，该物体的温度降为原来的
B．若，则存在，使得经过后物体的温度是经过后物体温度的的2倍
C．若，且，则
D．若，且是的导数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的零点个数是 个.
13.已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .
14.已知是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数．设，若在内恰有个实数根，且这2n个实数根之和为380，则k的最小值为 ．
参考答案
1．B 【解析】因为根据零点存在定理可得，则至少存在一个零点，故选：B.
2．B 【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可知它们有两个公共点，所以函数的零点个数是2，故选B．
3．D 【解析】由题意得，则，
所以，得，故选：D.
4．D 【解析】设，则，所以在上递减，在上递增，
，且时，，
有两个零点等价于与的图象有两个交点，
画出的图象，如下图所示，
由图可得，时，与的图象有两个交点，
此时，函数有两个零点，
实数m的取值范围是，故选：D.
5．C 【解析】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，
因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，
所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C.
6．A 【解析】当时，，；当时，，，则的图象大致如下：
方程有三个不同实根，则函数的图象与直线有三个不同的交点，由图可知.
故选：A.
7．D 【解析】由，可得，
若，则，
令，，
则，易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
则，易得当时，取最小值，此时，
所以，所以，
所以，
所以当时，方程无解，故B错误；
若，则恒成立，故A错误，
所以只需解即可，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
所以当时，满足，故C错误，D正确.
故选：D.
8．D 【解析】函数可看成函数与函数的复合函数，
①函数在上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；
②，且，故是奇函数，假命题；
③，，若，则，假命题；
④是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题.
故选：D.
9．AD 【解析】，的定义域是，
且在上递增，A选项正确.
，所以不是奇函数，B选项错误.
，所以C选项错误.
由于，且在上递增，所以的零点是，D选项正确.
故选：AD
10．ACD 【解析】A.由题意可知，，两式相除得，则，故A正确；
B.过滤3个小时后，5个小时后，两式相除得，所以，
所以过滤5个小时后，水中的杂质残留量为原来的，故B错误；
C. 过滤5个小时后，7个小时后，两式相除得，得，故C正确；
D.由，过滤1个小时后，，得，
设经过小时后，水中的杂质残留量不超过原来的，
则，即，，
两边取对数，，即，
得，所以至少需要小时，故D正确.
故选：ACD
11．AC 【解析】把，代入，得，解得，则，故A正确；
根据题意，，化简得，，因为，所以方程无解，故B错误；
因为，，所以，
所以，即，故C正确；
因为，所以，
所以
，即，故D错误.
故选：AC
12.2 【解析】的零点即为方程的实根，
即的实根，即求的实根，解得，有两个根，
所以f（x）的零点个数为2．
故答案为2．
13. 且 【解析】， ，
在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:
因为函数的图像与函数 的图像恰有两个交点，
所以 且，
故答案为： 且，
14．38 【解析】由是奇函数，是偶函数，可得，
解得．
如图，作出函数的部分图象和直线．

设的实数根从小到大依次为，，，，…，，
则数形结合可得，，，…，，
所以，解得，
结合图象可得k的最小值为．
故答案为：38.