简单的三角恒等变换 讲义-2026届高三数学一轮复习（含解析）

简单的三角恒等变换
课前学习任务
一、课标解读
能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
二、必备知识
1.三角恒等变换的三个步骤
2.三角恒等变换常用方法
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如:1=sin2x+cos2x=tan等.
(2)弦切互化:tan θ=,sin θ=tan θcos θθ≠+kπ,k∈Z等.
(3)降幂扩角:sin θcos θ=sin 2θ,sin2θ=,cos2θ=等.
(4)升幂缩角:1+cos θ=2cos2,1-cos θ=2sin2等.
(5)引入辅助角:asin θ+bcos θ=sin(θ+φ),这里辅助角φ所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tan φ=确定.
(6)项的分拆:如sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x等.
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin. (　　)
(2)辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中的φ是唯一的. (　　)
(3)tan. (　　)
(4)函数f(x)=sin2x--是非奇非偶函数. (　　)
2.(人教A版必修第一册5.2.2节练习第2题改编)cos 15°等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.± D.±
3.(人教A版必修第一册5.5.2节练习第3题改编)已知等腰三角形的顶角的余弦等于,则这个三角形的一个底角的正切为　　　　.
二、连线高考
4.(2023·新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
5.(2020·全国Ⅲ,理9)已知2tan θ-tanθ+=7,则tan θ=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
课堂核心考点
考点一 三角函数式的化简
1.化简:(1)-tan1+tan αtan=　　　　;
(2)-2cos(α+β)=　　　　.
[对点训练1]化简:=　　　　.
考点二 三角函数式的求值
考向1　给角求值
2.(1)(2024·河北保定模拟)黄金三角形有两种,一种是顶角为36°的等腰三角形,另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中,36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618,这个值被称为黄金比例.若t=,则等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)(2024·湖北武汉二中模拟)= (　　)
A.-3 B.-6 C.3 D.6
[对点训练2](1)求值:=(　　)
A.1 B.2 C. D.
(2)(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)·…·(1+tan 44°)的值为(　　)
A.222 B.223 C.211 D.212
考向2　给值求值
3.(1)设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知α∈-,0,且cos 2α=sinα+,则sin 2α=(　　)
A.- B. C.-1 D.1
[对点训练3](2024·四川绵阳诊断测试)已知sin αsin-α=3cos αsinα+,则cos2α+=(　　)
A.- B.-1 C. D.
考向3　给值求角
4.(1)(2024·广东广州期中)已知cos α=,α∈0,,角β的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,且β∈(0,π),则α-β=(　　)
A. B.- C. D.-
(2)(2024·江西九江二模)已知α,β∈0,,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β=(　　)
A. B. C. D.
(2)通过求角的某种三角函数值来求角,其关键是选取函数,若选取不当,容易导致多解或错解,函数的选取一般遵循以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正弦、余弦函数值,选正弦函数或余弦函数;若角的范围是0,,选正弦、余弦均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是-,选正弦较好.
[对点训练4](1)(2024·湖北襄阳模拟)已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,则β-α=(　　)
A. B. C. D.
(2)已知tan β=,tan(α+β)=,若β∈0,,则β=(　　)
A. B.
C. D.
考点三 三角恒等变换的综合应用
5.(2025·江苏扬州开学考试)已知a=2cos x,,b=sinx-,1,设f(x)=a·b.
(1)若x∈,求函数f(x)的值域;
(2)若x0∈,且f=,求tan2x0-的值.
[对点训练5](2025·辽宁沈阳开学考试)已知函数f(x)=2cos2x-+2sin(x-2 024π)cos x-.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴;
(2)已知25fm-=14,m∈,求sin 2m的值.
答案解析
[自主诊断]　1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.A　解析 因为15°是第一象限角,所以cos 15°>0,由半角的余弦公式可知cos 15°=故选A.
3　解析 设顶角为θ,则底角为,cos θ=,sin θ=,于是tan
4.D　解析 sin21-==2.
因为0<α<,所以0<,
所以sin>0,所以sin
故选D.
5.D　解析 由已知得2tan θ-=7,即tan2θ-4tan θ+4=0,解得tan θ=2.
研考点·精准突破
考点一
例1　(1)　(2)　解析 (1)原式=1+=
(2)原式=
=
=
=
=
对点训练1　cos 2x　解析 原式=
=
=cos 2x.
考点二
例2　(1)D　(2)A　解析 (1)依题意,得t==2cos 72°,则
=
=
(2)
=
=
=
=
==-3
对点训练2　(1)C　(2)A　解析 (1)原式==
=
=
=
(2)由tan 1°+tan 44°=1-tan 1°tan 44°,得(1+tan 1°)(1+tan 44°)=1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=1+1-tan 1°tan 44°+tan 1°tan 44°=2.所以(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)·…·(1+tan 44°)=222.故选A.
例3　(1)A　(2)C　解析 (1)因为sin 20°=m,cos 20°=n,所以故选A.
(2)cos 2α=sinα+=(sin α+cos α),∴cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α)=(cos α+sin α),∴(cos α+sin α)cos α-sin α-=0,∴cos α+sin α=0或cos α-sin α=,由cos α+sin α=0两边平方可得1+sin 2α=0,即sin 2α=-1;由cos α-sin α=两边平方可得1-sin 2α=,即sin 2α=,∵α∈-,0,∴2α∈(-π,0),∴sin 2α<0,∴sin 2α=-1.
对点训练3　C　解析 由sin αsin-α=sin αsin-α+=sin αcosα+=3cos αsinα+,
所以tan α=3tanα+,则tan α=3,
所以tan2α+2tan α+3=0,
则tan α=-,故tanα+=-,
由cos2α+=
=
例4　(1)A　(2)A　解析 (1)因为角β的终边经过点P,所以cos β=,sin β=,又cos α=,α∈0,,所以sin α=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=
因为β∈(0,π),α∈0,,所以α-β∈-π,,所以α-β=故选A.
(2)因为cos(α-β)=,tan αtan β=,
所以
解得所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,又α,β∈0,,所以α+β∈(0,π),所以α+β=故选A.
对点训练4　(1)C　(2)C　解析 (1)由π,得2α≤2π,又sin 2α=>0,故<2α<π,cos 2α=-因为<α<,π,所以<β-α<<α+β<2π,又cos(α+β)=-<0,故<α+β<,sin(α+β)=-所以cos(β-α)=cos[(β+α)-2α]=cos(β+α)·cos 2α+sin(β+α)sin 2α=--+-=-,故β-α=故选C.
(2)因为tan α=tan(α+β-β)=,又因为tan β=,tan(α+β)=,所以tan α=
因为sin2α+cos2α=1,所以tan α=0,
所以α=kπ,k∈Z,
所以当k为奇数时,cos α=-1,sin α=0,
当k为偶数时,cos α=1,sin α=0.
因为tan β=,所以tan β=±1.
因为β∈0,,所以β=故选C.
考点三
例5　解 (1)因为a=2cos x,,b=sinx-,1,所以f(x)=a·b=2cos xsinx-+=cos xsin x-cos2x+sin 2x-cos 2x=sin2x-.
因为x∈,所以2x--,sin2x-∈-,1,
所以函数f(x)的值域为-,1.
(2)由题设f=sinx0-=,又x0∈,则x0-,所以cosx0-=,所以tanx0-=,所以tan2x0-=tan 2x0-==-,所以tan2x0-=tan2x0-+==-
对点训练5　解 (1)f(x)=2cos2x-+2sin(x-2 024π)cos x-
=2sin2x+2sin xcos x-
=2sin xcos x-(1-2sin2x)
=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,
由2x-+kπ(k∈Z),得函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=(k∈Z).
(2)由题意可得fm-=,即sin2m-=,又m∈,则2m-,π,即cos2m-<0,所以cos2m-=-=-,故sin 2m=sin2m-+=sin2m-cos+cos2m-sin-+-=-