利用导数研究函数的单调性 讲义-2026届高三数学一轮复习（含解析）

利用导数研究函数的单调性
课前学习任务
一、课标解读
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
3.能够利用导数解决与函数单调性有关的问题.
二、必备知识
函数的单调性与其导数的关系
条件 导数的符号 函数的单调性
函数f(x)在区间(a,b)内可导 f'(x)>0 不等式中不带“=” f(x)在(a,b)内　　　　　　　
f'(x)<0 不等式中不带“=” f(x)在(a,b)内　　　　　　　
[教材知识深化]
利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)求函数的定义域;
(2)求f(x)的导数f'(x);
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若函数f(x)在其定义域上有f'(x)<0,则f(x)在定义域上单调递减. (　　)
(2)若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递增. (　　)
(3)一个函数在某一范围内变化得越快,其导数就越大. (　　)
(4)若函数f(x)=x3+ax2+bx在R上单调递增,则a2-3b<0. (　　)
2.
(人教A版选择性必修第二册复习参考题5第3题改编)函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A B C D
3.(人教A版选择性必修第二册5.3.1节例1(2)改编)函数f(x)=sin x-x在(0,π)内的单调递减区间是　　　　.
二、连线高考
4.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
5.(2024·新高考Ⅰ,10)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　)
A.x=3是函数f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
课堂核心考点
考点一 利用导数研究不含参数函数的单调性
1.(1)(2024·山西太原二模)函数f(x)=xex的单调递增区间是　　　　　　.
(2)(2024·福建福州期中)函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间是　　　　　.
(2)注意点:①不能忽视函数定义域;②当函数有多个单调递增区间(或单调递减区间)时,不能用“∪”连接;③当不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)不可解时,可通过二次求导,分析f'(x)的零点情况,借助图象等得到其解集,进而得到单调区间.
[对点训练1](1)(2024·广东清远期末)函数f(x)=ex-ex+2 025的单调递减区间为　　　　　.
(2)(2024·福建莆田期中)已知函数f(x)=,其单调递增区间为　　　　.
考点二 利用导数研究含参数函数的单调性
2.(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=(x-2)(aex-x).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性.
[对点训练2]已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,讨论函数f(x)的单调性.
考点三 与导数有关的函数单调性的应用
考向1　比较大小或解不等式
3.(1)(2024·天津期中)已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f,c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.aC.c(2)(2024·广东东莞模拟)已知函数f(x)=2ln x+-x,则不等式f(3x-1)A.0, B.
C.,1 D.,+∞
(2)比较大小时,若只给出了要比较的函数值,则需要根据所给函数值的特征构造函数,将所给函数值视为相应的函数值,再借助导数确定所构造函数的单调性,从而比较大小.
(3)解不等式时,一方面要借助导数确定单调性,另一方面还要巧妙地将常数转化为函数值,同时注意函数定义域对变量的限制.
[对点训练3](1)(2024·山东菏泽模拟)已知a=ln,b=ln,c=ln,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
(2)(2024·四川泸州检测)已如函数f(x)=ln x+(x-1)ex,则f(3x-2)A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(0,1)∪(2,+∞)
C.,1∪(2,+∞)
D.(1,2)
考向2　根据单调性求参数
4.(2024·陕西西安模拟)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,3]
C.[3,e2+1] D.[3,e2-1]
变式探究1
本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x的单调递减区间是,1”,则实数a的值等于　　　　.
变式探究2
本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是　　　　　　　　.
变式探究3
本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
规律方法
根据函数单调性求参数的值或取值范围的类型及解法
已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到
已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数 先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解
已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上有解求解
已知函数f(x)在区间I上不单调 方法一:转化为f'(x)=0在I上有解,求解后注意验证; 方法二:运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集
答案解析
[知识梳理]
单调递增　单调递减
微思考　提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.
[自主诊断]　1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.D　解析 由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以在(0,+∞)内f'(x)≤0,在(-∞,0)内f'(x)≥0,观察四个图象可知选D.
3.(0,π)　解析 由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).
4.C　解析 由题意可知f'(x)=aex-0在区间(1,2)内恒成立,即a在区间(1,2)内恒成立.
设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,则0<,即a≥e-1.故选C.
5.ACD　解析 ∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当10,即f(2x-1)>-4,∴C正确.当-1f(x),∴D正确.故选ACD.
研考点·精准突破
考点一
例1　(1)(-1,+∞)　(2)-,0　解析 (1)因为f(x)=xex的定义域为R,则f'(x)=(x+1)ex,且ex>0,令f'(x)>0,则x+1>0,解得x>-1,所以函数f(x)=xex的单调递增区间是(-1,+∞).
(2)函数f(x)=xln(-x)的定义域为(-∞,0),f'(x)=1+ln(-x),由f'(x)=1+ln(-x)<0,解得-对点训练1　(1)(-∞,1)　(2)(0,1)　解析 (1)函数f(x)=ex-ex+2 025的定义域为R,求导得f'(x)=ex-e,由f'(x)<0,得ex(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
由f(x)=,得f'(x)=,
令f'(x)=>0,解得0所以f(x)的单调递增区间为(0,1).
考点二
例2　解 (1)因为f(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).
当a=4时,f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+8=-2x,即2x+y+8=0.
(2)由(1)知,f'(x)=(x-1)(aex-2).
①当a≤0时,aex-2<0,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.
②当a>0时,由f'(x)=(x-1)(aex-2)=0,得x1=1,x2=ln
(ⅰ)当00,f(x)在(-∞,1),ln,+∞上单调递增;当x∈1,ln时,f'(x)<0,f(x)在1,ln内单调递减.
(ⅱ)当a=时,x1=x2=1,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增.
(ⅲ)当a>时,x1>x2,当x∈-∞,ln∪(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在-∞,ln,(1,+∞)上单调递增;当x∈ln,1时,f'(x)<0,f(x)在ln,1内单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0时,f(x)在-∞,ln和(1,+∞)上单调递增,在ln,1内单调递减.
对点训练2　解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax=
当a≥0时,f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a≤-1时,f'(x)<0恒成立,故f(x)在(0,+∞)内单调递减;当-10,故f(x)在0,内单调递增;当x∈,+∞时,f'(x)<0,故f(x)在,+∞内单调递减.
综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a≤-1时,f(x)在(0,+∞)内单调递减;当-1考点三
例3　(1)D　(2)C　解析 (1)f'(x)=-sin x+ex,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增.
因为2>ln 2>ln,所以f(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),又f'(x)=-1=--12≤0且不恒为0,所以f(x)在(0,+∞)内单调递减.又f(3x-1)对点训练3　(1)A　(2)C　解析 (1)构造函数f(x)=ln x+1-x,则f'(x)=-1=
当00,f(x)单调递增,所以f>f>f,即a>b>c.故选A.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+xex>0对任意的x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,由f(3x-2)2,因此不等式f(3x-2)例4　B　解析 因为f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,所以f'(x)=2x-a+0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+(10,所以g(x)在(1,e)内单调递增,又g(1)=3,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].故选B.
变式探究1　3　解析 依题意,不等式f'(x)=2x-a+<0的解集为,1,即2x2-ax+1<0的解集为,1,因此方程2x2-ax+1=0的两实数根是和1,解得a=3.
变式探究2　-∞,2e+　解析 依题意,f'(x)=2x-a+0在区间(1,e)内有解,即a≤2x+在区间(1,e)内有解,令g(x)=2x+(10,所以g(x)在(1,e)内单调递增,又g(e)=2e+,所以a≤2e+,即实数a的取值范围是-∞,2e+.
变式探究3　3,2e+　解析 由本例知,当f(x)在区间(1,e)内单调递增时,a≤3;又f(x)在区间(1,e)内单调递减时,应有f'(x)≤0在区间(1,e)内恒成立,即a≥2x+在区间(1,e)内恒成立,解得a≥2e+,因此当f(x)在区间(1,e)内不单调时,a的取值范围是3