利用导数研究函数的极值、最值 讲义-2026届高三数学一轮复习（含解析）

利用导数研究函数的极值、最值
课前学习任务
一、课标解读
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系.
二、必备知识
1.函数的极值与导数
条件 f'(x0)=0
x0附近的左侧f'(x)　　　0,右侧f'(x)　　　0 x0附近的左侧f'(x)　　　0,右侧f'(x)　　　0
图象 形如山峰 形如山谷
极值 f(x0)为极　　　值 f(x0)为极　　　值
极值点 x0为极　　　值点 极值点是一个实数 x0为极　　　值点
[教材知识深化]
1.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
2.在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.
2.函数的最值与导数
(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　　;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　比较,其中最大的一个是　　　　　,最小的一个是　　　　　　.
[教材知识深化]
1.函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值.
2.函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得.
3.函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值.
4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念.
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若函数f(x)可导,且在x=x0取得极值,则必有f'(x0)=0. (　　)
(2)一个函数的极大值一定比极小值大. (　　)
(3)函数在闭区间上的最值一定在端点处取得. (　　)
(4)函数在开区间上的最值一定是相应的极值. (　　)
2.(人教B版选择性必修第三册6.2.2节练习B第3题改编)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是　　　　　　　,函数的极值点是　　　　.
3.(人教A版选择性必修第二册5.3.2节例7改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为　　　　.
二、连线高考
4.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
5.(2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为　　　　　.
课堂核心考点
考点一 利用导数研究函数的极值
考向1　由函数图象判断函数极值情况
1.(2024·重庆渝中月考)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)3f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)
D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)
[对点训练1]
(2024·河北石家庄期中)已知定义在(-2,2)内的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)在(-2,2)内的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.1是f(x)的极小值点
B.1是f(x)的极大值点
C.-1是f(x)的极小值点
D.-1是f(x)的极大值点
考向2　已知函数解析式求极值或极值点
2。(多选题)(2025·辽宁开学考试)对于函数f(x)=-2ln x+x2-3x,下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)在区间(2,+∞)内单调递增
B.x=2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0,2)
D.函数f(x)的最小值是-2ln 2-2
[对点训练2](多选题)(2024·四川南充期中)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　)
A.x=e是函数f(x)定义域内的极大值点
B.f(x)在(1,e2]上的最小值为e
C.x=e是函数f(x)定义域内的极小值点
D.f(x)在定义域内既无最大值又无最小值
考向3　已知函数的极值(点)求参数
3.(1)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)(多选题)(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex的极大值点为0,极小值点为m(m>0),且极小值为0,则下列说法正确的是(　　)
A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.m=2

变式探究1
本例(1)中,其他条件不变,将“若1不是函数f(x)的极值点”改为“若-1是函数f(x)的极值点”,则实数a的值为　　　　.
变式探究2
本例(1)中,其他条件不变,将“若1不是函数f(x)的极值点”改为“若1是函数f(x)的极大值点”,则实数a的取值范围为　　　　.
考点二 利用导数研究函数的最值
考向1　求函数的最值
4.(2024·江苏南京期末)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,x∈0,,则f(x)的最大值为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.2 B. C.+1 D.+1
[对点训练3](1)(2024·河北邢台模拟)函数f(x)=+x-ln x的最小值为(　　)
A.e B.e+1 C.1 D.e-1
(2)(2024·广东期中)函数y=(x+1)ex+1,x∈[-3,4]的最小值为(　　)
A.2e-2 B.5e5 C.4e5 D.-e-1
考向2　由函数的最值求参数
5.(2024·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=mln x+的最小值为-m,则m=(　　)
A. B. C.e D.e2
[对点训练4](2024·江苏期中)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且当x>0时,f(x)=x++1.若函数y=f(x)在(-∞,-2]上的最小值为4,则实数a的值为(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
考点三 利用导数解决实际问题
6.(2024·广东清远期中)已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产一千件该产品需另投入2.7万元,若该企业一年内共生产此种产品x千件,并且全部销售完,每一千件该产品的销售收入为f(x)万元,且f(x)=
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大 最大年利润是多少
(注:年利润=年销售收入-年总成本)
[对点训练5]
(2024·福建厦门模拟)某城市举办花市,如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD摆放菊花“泥金香”,弓形CMD摆放菊花
“紫龙卧雪”,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD)摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/平方米,紫龙卧雪30元/平方米,朱砂红霜40元/平方米,则当∠COD=　　　　时,日效益总量达到最大值.
答案解析
[知识梳理]
1.>　<　<　>　大　小　大　小
微思考　提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处没有极值.
2.(1)连续不断　(2)①极值　②f(a),f(b)　最大值　最小值
[自主诊断]　1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.(-∞,0)　±　解析 当a=0时,f(x)=3x+2没有极值,不合题意;当a≠0时,f'(x)=3ax2+3,则f'(x)=3ax2+3=0应有两个不相等的实数根,所以Δ=-36a>0,解得a<0,此时f'(x)=0的根是x=±,此即为极值点.
3.-　解析 由已知得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)=0,得x=-2,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=-,所以由f(x)的图象(图略)可知,函数的最小值为-
4.BCD　解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设为x1,x2,所以所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.
5.1　解析 f(x)=
当x>时,f'(x)=2-,令f'(x)=0,则x=1,所以当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)在区间内的最小值为f(1)=1;当01.综上,f(x)min=f(1)=1.
研考点·精准突破
考点一
例1　D　解析 当x<-3时,(x-1)3f'(x)>0且x-1<0,可得f'(x)<0,则f(x)单调递减;当x=-3时,(x-1)3f'(x)=0,可得f'(x)=0;当-30,则f(x)单调递增;当x=1时,(x-1)3f'(x)=0,但不能确定f'(x)是否等于0;当10且x-1>0,可得f'(x)>0,则f(x)单调递增;当x=3时,(x-1)3f'(x)=0,可得f'(x)=0;当x>3时,(x-1)3·f'(x)<0且x-1>0,可得f'(x)<0,则f(x)单调递减.故f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3).故选D.
对点训练1　D　解析 由题图可知,f(x)的定义域为(-2,2).
当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,2)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(-1,2)内单调递减,所以-1是f(x)的极大值点,无极小值点,故选D.
例2　ACD　解析 ∵f(x)=-2ln x+x2-3x,x∈(0,+∞),
∴f'(x)=-+2x-3=
令f'(x)=0,则x=2.
令f'(x)<0,解得00,解得x>2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,x=2是函数f(x)的极小值点,故A,C正确,B错误;又f(x)min=f(2)=-2ln 2+4-6=-2ln 2-2,故D正确.故选ACD.
对点训练2　BCD　解析 对于A,由f'(x)=,知当0e时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)和(1,e)内单调递减,在[e,+∞)内单调递增,所以x=e是f(x)的极小值点,A错误,C正确;对于B,根据f(x)的单调性,知f(x)在(1,e2]上的最小值为f(e)==e,B正确;对于D,由于对任意的M>0,有f()==M>M,f()==-(3M+1)<-(3M+1)e-1<-3Me-1<-M.
所以f(x)没有最大值,也没有最小值,D正确.故选BCD.
例3　(1)D　(2)ACD　解析 (1)由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0 a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2且x≠1时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D.
(2)由函数f(x)=(ax2+bx+c)ex,可得f'(x)=[ax2+(2a+b)x+b+c]·ex.
令f'(x)=0,即ax2+(2a+b)x+b+c=0,设g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c,因为f(x)的极大值点为0,极小值点为m,可得0和m为关于x的方程g(x)=0的两个根,且函数g(x)的图象开口向上,所以a>0,且
解得又因为m>0,所以b<0,c>0,所以A正确,B错误,C正确;易知f(x)=a[x2-(m+2)x+m+2]·ex,因为f(m)=0,即a[m2-(m+2)m+m+2]·em=0,化简为a(-m+2)em=0,又因为a>0,em>0,所以-m+2=0,解得m=2,所以D正确.故选ACD.
变式探究1　-4　解析 由于-1是函数f(x)的极值点,所以f'(-1)=g(-1)=0,即(-1-1)(1+3+a)=0,解得a=-4,此时f'(x)=(x-1)(x2-3x-4)=(x-1)(x+1)(x-4),经验证符合题意,故实数a的值为-4.
变式探究2　(-∞,2)　解析 由题意f'(x)=(x-1)(x2-3x+a),令h(x)=x2-3x+a,当h(x)≥0恒成立时,有Δ=9-4a≤0,则a,此时,若x∈(-∞,1),则f'(x)<0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以1是f(x)的极小值点,不合题意;设h(x)=x2-3x+a=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1即解得a<2,此时f'(x)=(x-x1)(x-1)(x-x2),当x∈(x1,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,所以x=1是f(x)的极大值点,符合题意.所以实数a的取值范围为(-∞,2).
考点二
例4　B　解析 f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(2cos2x+cos x-1)=2(cos x+1)(2cos x-1),由于x∈0,,则cos x≥0.
令f'(x)>0,即cos x>,解得0对点训练3　(1)B　(2)D　解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+1-(ex+x),因为x>0,所以ex+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值且极小值为最小值,故f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=e+1,故选B.
(2)由函数f(x)=(x+1)ex+1,可得f'(x)=(x+2)ex+1,当x∈[-3,-2)时,f'(x)<0;当x∈(-2,4]时,f'(x)>0,所以f(x)在[-3,-2)内单调递减,在(-2,4]上单调递增,所以当x=-2时,函数取得极小值,也是最小值f(-2)=-e-1.故选D.
例5　D　解析 由f(x)=mln x+,得f'(x)=,x>0,当m≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,函数无最小值,不合题意;当m>0,且0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以当x=时,函数f(x)取得最小值,且最小值mln+m=-m,解得m=e2,故选D.
对点训练4　B　解析 因为y=f(x)是定义域为R的偶函数,且函数y=f(x)在(-∞,-2]上的最小值为4,所以函数y=f(x)在[2,+∞)上的最小值为4.
当x>0时,f(x)=x++1,此时f'(x)=1-
当a≤4时,f'(x)=1-0在[2,+∞)内恒成立,函数f(x)在[2,+∞)内单调递增,当x=2时,函数f(x)取得最小值f(2)=2++1=4,解得a=2,符合题意;当a>4时,x∈[2,],f'(x)<0,函数f(x)单调递减;x∈[,+∞),f'(x)>0,函数f(x)单调递增,x=时,函数f(x)取得最小值f()=2+1=4,解得a=,不符合题意.
综上,a=2.故选B.
考点三
例6　解 (1)由题意,当010时,W=x-2.7x-10=98-+2.7x,综上可得W=
(2)①当00,则W在(0,9)内单调递增;当9所以当x=9时,W取最大值,且Wmax=38.6.
②当x>10时,W=98-+2.7x≤98-2=38,当且仅当=2.7x,即x=时,等号成立.
综上,当年产量为9千件时,该企业生产此产品所获年利润最大,最大年利润为38.6万元.
对点训练5　　解析 设∠COD=θ,依题意得∠AOC=,则日效益总量y=×202×40×2+202×50sin θ+202θ-202sin θ×30=16 000+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ=+4 000sin θ-2 000θ,其中0<θ<
所以y'=4 000cos θ-2 000,令y'=0,得θ=,当0<θ<时,y'>0,函数单调递增;当<θ<时,y'<0,函数单调递减,所以θ=是函数唯一的极大值点,从而当θ=时,日效益总量可取得最大值.